浙江省鄞州区四校联考2022-2023学年数学九年级第一学期期末经典试题含解析

这是一份浙江省鄞州区四校联考2022-2023学年数学九年级第一学期期末经典试题含解析，共26页。试卷主要包含了将两个圆形纸片，已知下列命题，关于二次函数，下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
2．式子有意义的的取值范围（ ）
A．x ≥4B．x≥2C．x≥0且x≠4D．x≥0且x≠2
3．如图，△OAB与△OCD是以点0为位似中心的位似图形，相似比为1:2，∠OCD=90，CO=CD．若B(2，0)，则点C的坐标为( )
A．(2，2)B．(1，2)C．（，2）D．(2，1)
4．二次函数化为的形式，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．将两个圆形纸片（半径都为1）如图重叠水平放置，向该区域随机投掷骰子，则骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，已知为的直径，直线为圆的一条切线，在圆周上有一点，且使得，连接，则的大小为( )

A．B．C．D．
7．若是方程的解，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知下列命题：①等弧所对的圆心角相等；②90°的圆周角所对的弦是直径；③关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则ac< 0；④若二次函数y= 的图象上有两点（－1，y1）、（2，y2），则>；其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象开口方向向上B．它的图象顶点坐标为（0，4）
C．它的图象对称轴是y轴D．当时，y有最大值4
10．已知点是一次函数的图像和反比例函数的图象的交点，当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
11．的绝对值为（ ）
A．B．C．D．
12．下图是用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，对其对称性表述，正确的是（ ）
A．轴对称图形B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在平行四边形中，点、在双曲线上，点的坐标是，点在坐标轴上，则点的坐标是___________.
14．已知y与x的函数满足下列条件：①它的图象经过（1，1）点；②当时，y随x的增大而减小．写出一个符合条件的函数：__________．
15．正的边长为，边长为的正的顶点与点重合，点分别在，上，将沿边顺时针连续翻转（如图所示），直至点第一次回到原来的位置，则点运动路径的长为 （结果保留）
16．一元二次方程x2﹣x=0的根是_____．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，反比例函数的图象经过线段OA的中点B，则k=_____．
18．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是__．
三、解答题（共78分）
19．（8分）定义：如果函数C：（）的图象经过点（m，n）、（-m，-n），那么我们称函数C为对称点函数，这对点叫做对称点函数的友好点．
例如：函数经过点（1，2）、（-1，-2），则函数是对称点函数，点（1，2）、（-1，-2）叫做对称点函数的友好点．
（1）填空：对称点函数一个友好点是（3，3），则b= ，c= ；
（2）对称点函数一个友好点是（2b，n），当2b≤x≤2时，此函数的最大值为，最小值为，且=4，求b的值；
（3）对称点函数（）的友好点是M、N（点M在点N的上方），函数图象与y轴交于点A．把线段AM绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段A′M′．若线段A′M′与该函数的图象有且只有一个公共点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣1．动点P在抛物线上运动（不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当PQ不与y轴重合时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，连结PM．设点P的横坐标为m．
（1）求b、c的值．
（2）当点N落在直线AB上时，直接写出m的取值范围．
（3）当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQMN周长为c，求c与m之间的函数关系式，并写出c随m增大而增大时m的取值范围．
（4）当△PQM与y轴只有1个公共点时，直接写出m的值．
21．（8分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，若，点的横坐标为-2.
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）若一次函数的图象交轴于点，过点作轴的垂线交反比例函数图象于点，连接，求的面积.
22．（10分）重庆八中建校80周年，在体育、艺术、科技等方面各具特色，其中排球选修课是体育特色项目之一．体育组老师为了了解初一年级学生的训练情况，随机抽取了初一年级部分学生进行1分钟垫球测试，并将这些学生的测试成绩（即1分钟的垫球个数，且这些测试成绩都在60～180范围内）分段后给出相应等级，具体为：测试成绩在60～90范围内的记为D级（不包括90），90～120范围内的记为C级（不包括120），120～150范围内的记为B级（不包括150），150～180范围内的记为A级．现将数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图，其中在扇形统计图中A级对应的圆心角为90°，请根据图中的信息解答下列问题：
（1）在这次测试中，一共抽取了 名学生，并补全频数分布直方图：在扇形统计图中，D级对应的圆心角的度数为 度．
（2）王攀同学在这次测试中1分钟垫球140个．他为了了解自己垫球个数在年级排名的大致情况，他把成绩为B等的全部同学1分钟垫球人数做了统计，其统计结果如表：
（垫球个数计数原则：120＜垫球个数≤125记为125，125＜垫球个数≤130记为130，依此类推）请你估计王攀同学的1分钟垫球个数在年级排名的大致情况．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A（﹣2，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求双曲线与直线AC的解析式；
（2）求△ABC的面积．
24．（10分）如图，在边长为的正方形中，点是射线上一动点(点不与点重合)，连接，点是线段上一点，且，连接.
求证:；
求证:；
直接写出的最小值.
25．（12分）已知二次函数y = x2 -4x + 1．
（1）用配方法将y = x2 -4x + 1化成y = a(x - h)2 + k的形式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象．
（1）结合函数图象，直接写出y＜0时自变量x的取值范围 ．
26．如图，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且当x＝﹣1和x＝3时，y值相等．直线y＝与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．
(1)求这条抛物线的表达式．
(2)动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒．
①求t的取值范围．
②若使△BPQ为直角三角形，请求出符合条件的t值；
③t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？直接写出答案．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】如图，连接BP，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=BP，再根据OQ的最大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，继而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B坐标，再根据点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，利用待定系数法即可求出k的值.
【详解】如图，连接BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=BP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为×2=3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+BD2，
∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，
t=0（舍）或t=﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴k=﹣×（-）=，
故选C．
【点睛】
本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.
2、C
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：且．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值．
3、A
【解析】连接CB.
∵∠OCD=90°，CO=CD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴∠COB=45°.
∵△OAB与△OCD是位似图形，相似比为1:2，
∴2OB=OD，△OAB是等腰直角三角形.
∵2OB=OD，
∴点B为OD的中点，
∴BC⊥OD.
∵B（2，0），
∴OB=2，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴∠COB=45°.
∵BC⊥OD，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴BC=OB=2，
∴点C的坐标为（2，2）.
故选A.
4、A
【分析】将选项展开后与原式对比即可；
【详解】A：，故正确；
B：，故错误；
C：，故错误；
D：，故错误；
故选A.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的三种形式，掌握二次函数的三种形式是解题的关键.
5、B
【解析】连接AO1，AO2，O1O2，BO1，推出△AO1O2是等边三角形，求得∠AO1B=120°，得到阴影部分的面积=-，得到空白部分的面积=+，于是得到结论．
【详解】
解：连接AO1，AO2，O1O2，BO1，则O1O2垂直平分AB
∴AO1=AO2=O1O2=BO1=1，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2=60°，AB=2AO1sin60°=
∴∠AO1B=120°，∴阴影部分的面积=2×（）=-，
∴空白部分和阴影部分的面积和=2π-（-）=+，
∴骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为≈，
故选B．
【点睛】
此题考查了几何概率，扇形的面积，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．
6、C
【分析】连接OB，由题意可知，△COB是等边三角形，即可求得∠C，再由三角形内角和求得∠BAC,最后根据切线的性质和余角的定义解答即可.
【详解】解：如图：连接OB
∵为的直径
∴∠ACB=90°
又∵AO=OC
∴OB=AC=OC
∴OC=OB=BC
∴△COB是等边三角形
∴∠C=60°
∴∠BAC=90°-∠C=30°
又∵直线为圆的一条切线
∴∠CAP=90°
∴=∠CAP-∠BAC=60°
故答案为C.
【点睛】
本题主要考查了圆的性质、等边三角形以及切线的性质等知识点，根据题意说明△COB是等边三角形是解答本题的关键.
7、A
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义求解，把x＝1代入方程ax2＋bx＋c＝1得，a＋b＋c＝1．
【详解】∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝1的解，
∴将x＝1代入方程得a＋b＋c＝1，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．解该题的关键是要掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝1中几个特殊值的特殊形式：x＝1时，a＋b＋c＝1；x＝−1时，a−b＋c＝1．
8、B
【分析】利用圆周角定理、一元二次方程根的判别式及二次函数的增减性分别判断正误后即可得到正确的选项．
【详解】解：①等弧所对的圆心角也相等，正确，是真命题；
②90°的圆周角所对的弦是直径，正确，是真命题；
③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，
则b2－ac＞0，但不能够说明ac< 0，所以原命题错误，是假命题；
④若二次函数的图象上有两点（－1，y1）（2，y2），则y1＞y2，不确定，因为a 的正负性不确定，所以原命题错误，是假命题；
其中真命题的个数是2，
故选：B．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆周角定理、一元二次方程根的判别式及二次函数的增减性，难度不大．
9、D
【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、函数的最值即可判断．
【详解】∵，
∴抛物线开口向上，
对称轴为直线x＝0，顶点为（0，4），当x＝0时，有最小值4，
故A、B、C正确，D错误；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
10、C
【分析】把代入一次函数和反比例函数分别求出k和m,再将这两个函数解析式联立组成方程组，解出方程组再结合图象进行判断即可.
【详解】解：依题意，得：
2k+1=3和
解得，k=1，m=6
∴
解得， 或 ，
函数图象如图所示：
∴当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围是或.
故选C.
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用图象确定不等式的取值范围，准确画出图形，利用数形结合是解题的关键.
11、C
【分析】根据绝对值的定义即可求解．
【详解】的绝对值为
故选C．
【点睛】
此题主要考查绝对值，解题的关键是熟知其定义．
12、B
【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念判断即可．
【详解】“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查轴对称和中心对称，会判断轴对称图形和中心对称图形是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】先根据点A的坐标求出双曲线的解析式，然后根据点B,C之间的纵坐标之差和平行四边形的性质求出点D的坐标即可.
【详解】∵点在双曲线上
∴
∴
∴
∵点B,点在坐标轴上
∴B,C两点的纵坐标之差为1
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC
∴A,D两点的纵坐标之差为1
∴D点的纵坐标为
∴
∴
∴的坐标是
故答案为
【点睛】
本题主要考查反比例函数及平行四边形的性质，掌握待定系数法及平行四边形的性质是解题的关键.
14、y=-x+2（答案不唯一）
【解析】①图象经过（1，1）点；②当x＞1时．y随x的增大而减小，这个函数解析式为 y=-x+2，
故答案为y=-x+2（答案不唯一）．
15、
【解析】从图中可以看出翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在BC边上，第一次第二次同样没有路程，AC边上也是如此，点P运动路径的长为
16、x1=0，x2=1
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】方程变形得：x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
17、-2
【解析】由A，B是OA的中点，点B的坐标，把B的坐标代入关系式可求k的值．
【详解】∵A（-4，2），O（0，0），B是OA的中点，
∴点B（-2，1），代入得：
∴
故答案为：-2
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及线段中点坐标公式；根据中点坐标公式求出点B坐标，代入求k的值是本题的基本方法．
18、25%
【分析】设每次降价的百分比为x，根据前量80，后量45，列出方程，解方程即可得到答案.
【详解】设每次降价的百分比为x，
，
解得：x1=0.25=25%，x2=1.75（不合题意舍去）
故答案为：25%.
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题，代入公式：前量（1x）2=后量，即可解答此类问题.
三、解答题（共78分）
19、（1）b=1，c=9；（2）b=0或b=或b=；（3） 或
【分析】（1）由题可知函数图象过点（3，3），（-3，-3），代入即可求出b，c的值；
（2）代入函数的友好点，求出函数解析式y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2，再根据二次函数的图象及性质分三种情况分析讨论；
（3）由 推出 ，再根据“友好点”是M（2，2）N（-2，-2）旋转后M′（2，-2） A′（-4a，0），将（-4a，0）代 得出，根据图象即可得出结论．
【详解】解：（1）由题可知函数图象过点（3，3），（-3，-3），代入函数（），得
解得：b=1，c=9；
（2）由题意得另一个友好数为（-2b，-n）
∴-n=4b2-4b2+c
∴c=-n
∴y=x2+2bx-n
把（2b，n）代入y=x2+2bx-n
n=4b2+4b2-n
∴n=4b2
∴y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2
当-b0时
∵抛物线开口向上
∴在对称轴右侧，y随x增大而增大
∴当x=2b时，y1=4b2
当x=2时，y2=-4b2+4b+4
∵y1-y2=4
∴-4b2+4b+4-4b2=4
∴-8b2+4b=0
∴b1=0（舍）b2=
当2