福建省宁德市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份福建省宁德市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附答案），共13页。

注意事项：
1．答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名。学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数在时的瞬时变化率为
A．0B．2C．4D．6
2．已知向量，，若a∥b，则实数
A．B．C．1D．2
3．根据分类变量 X 和Y 的样本观察数据的计算结果，有不少于95%的把握认为 X 和Y 有关，则的值不可能为
A．2.819B．5.512C．6.635D．8.243
4． 已知函数在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
5．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与夹角的余弦值为
A． B． C． D．
6．在标准正交基下，已知向量，则在上的投影等于
A. B. C. D.
7．一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为
A. ​ B. ​ C. ​ D. ​
8．若不等式有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9． 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是
A．函数在上单调递增
B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极小值
D．函数在处取得最大值
10．有甲乙两个袋子，甲袋中装有2个白球，1个红球，乙袋中装有1个白球，2个红球，除颜色外，各个球完全相同.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球，记事件表示从甲袋中取出的球是白球，表示从甲袋中取出的球是红球，事件表示从乙袋中取出的球是白球，则下列选项中正确的是
A. 事件与事件不相互独立 B.
C. D.
11． 如图，正八面体的每个面都是正三角形，四边形是边长为2的正方形，M是DE中点，N在正方形ABCD（含边界）内运动，点分别在线段和上运动，则下列结论正确的是
A．点D到平面的距离为
B．二面角的余弦值为
C． 当//平面时，点N的轨迹长度为
D ．线段长度的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若数据的方差为3，则数据的方差为_________．
13．四棱锥的底面是平行四边形，且，若则_________．
14．若不等式恒成立，则实数的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
设函数 是的极值点.
（1）求实数的值;
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．
16．（15分）
注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平.某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植豆角，某同学针对“豆角亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的关系”进行研究，得出了y与x具有线性相关关系的结论．现从劳动基地的豆角试验田中随机抽取亩，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表：
（1）求豆角亩产量的增加量y对该液体肥料每亩使用量x的线性回归方程．
预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为多少百千克？
（2）若豆角亩产量的增加量不低于5百千克的试验田称为“优质试验田”，现从抽取的5亩试验田中随机选出亩，记其中优质试验田的数量为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，．参考数据：，.
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，
，，为的中点，点在线段上运动.
（1）线段上是否存在点，满足∥平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由；
（2）当直线与平面所成的角最大时，求线段的长度.
18．（17分）
毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），.现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为，求随机变量的期望．（结果精确到0.01）；
（3）全市组织各校知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整，第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为，已知甲同学第一关通过的概率为，记甲同学通过第关的概率为，请写出的表达式，并求出的最大值.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
19．（17分）
已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）记曲线在两点处切线的斜率为、，直线的斜率为，其中.求证：当时，有.2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
某种液体肥料每亩使用量x（千克）
2
4
5
6
8
豆角亩产量的增加量y（百千克）
3
4
4
5
5
宁德市2023-2024学年第二学期期末高二质量检测
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则．
2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分．
1．B 2．C 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9． AC 10．ABD 11．ABD
三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分15分．
12．12 13. 14．
四、解答题：本大题共5小题，满分77分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15. 本题主要考三次函数极值、零点、图象等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分13分．
（1） , …………………………………………………………………………1分
因为是极值点，所以,
解得 , ……………… …………………………………………………………………………………3分
经检验，符合题意，所以..……………………………………………………………………4分
（2）若函数有三个零点，则曲线与直线有三个不同的交点, ………………5分
由（1）可得,
,………………………………………………………………………………6分
令，则或.……………………………………………………………………………7分
当时，，此时单调递增,
当时，，此时单调递减,
当时，，此时单调递增
所以在和上单调递增，在上单调递减. .……………………………………10分
所以;…………………………………………………………………………………11分
..…………………………………………………………………………………12分
又时,；,
所以
即实数的取值范围为.. …………………………………………………………………………13分
16. 本小题主要考查一元线性回归方程、概率分布列、超几何分布、期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解、数学建模能力，考查然与必然思想、化归与转化思想等，考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析和数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性．满分15分．
（1），, ………………………………………………………2分
,………………………………………………………………3分
,………………………………………………………………………………4分
所以,………………………………………………………………………………………5分
当时，（百千克）. ……………………………………………………………………7分
所以预测当液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为6.65百千克..………………8分
（2）由表可知，优质试验田有2亩，…………………………………………………………………………9分
所以的可能取值为0，1，2，……………………………………………………………………………10分
；；..……………………………………13分
故分布列为
……………………………………………………………………………14分
……………………………………………………………………15分
或因为,所以
17．本小题主要考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，空间角的计算、函数的最值等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分15分
解法一：（1）存在符合题意的点，
此时点为线段的中点……………………………………………………1分
因为底面为正方形
所以也为线段的中点……………………………………………………2分
又为的中点
则为的中位线.……………………………………………………3分
.………………………………………………………………………4分
因为平面，
平面……………………………………………………………………………………5分
所以平面………………………………………………………………………………6分
此时………………………………………………………………………………………7分
（2）如图，
以为原点，分别以的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系……8分
则……………………………………9分
则，
设平面的一个法向量为
则，即
令，则，即…………………………………………………………10分
因为点在线段上运动，可设
则………………………………………………………………………………………11分
设直线与平面所成角为
则………………………………………………………12分
所以
设，则……………………………………………………13分
因为当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减
所以当时，取得最大值，即取得最大值…………………………………………14分
又时，函数单调递增.
所以直线与平面所成角最大时，线段的长度为………………………………15分
解法二：
（1）如图，
以为原点，分别以的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系.……1分
.……………………………………………………2分
假设存在满足题意的点，
设，
则 .
.………………………………………………3分
因为平面的一个法向量为…………………………………4分
若平面，
则即 .
解得.………………………………………………………………………………………5分
又平面，
所以平面.………………………………………………………………………………6分
所以存在满足题意的点，此时.………………………………………………………7分
（2）， …………………………………………………………………8分
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，即…………………………………………………………10分
又点在线段上运动，设，
则………………………………………………………………………………………11分
设直线与平面所成角为，
则………………………………………………………12分
令
则
……………………………………………………………………13分
当时，取得最小值.
此时，解得.……………………………………………………………………14分
又时，函数单调递增.
所以直线与平面所成角最大时，线段的长度为.………………………………15分
解法三：
（1）同解法一、解法二
（2）过点作平面的垂线，垂足为 ,
连接交于,…………………………………………………8分
则直线与平面所成角即为.……………………………9分
所以 ……………………………………………………10分
又为定值,
当最小时，最大…………………………………………11分
此时，.
即……………………………………………………………12分
如图建立平面直角坐标系,
…………………………………13分
.
因为.
解得…………………………………………………………14分
所以直线与平面所成角最大时，线段的长度为……………………………15分
18. 本小题主要考查全概率公式、概率的分布列及期望、递推数列及等比数列等基础知识，考查数学建模能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析和数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性．满分17分．
（1）由频率分布直方图，得，
解得．…………………………………………………………………………………………2分
（2）由题意得
…………………………………………………………………4分
，……5分
…………………………………………………………………………………………6分
…………………………………………………………………………………7分
（3）记甲同学第关通过为事件，依题意，，……………………………………8分
当时，，，，………………………………………10分
所以，………………………………………………11分
所以，
所以，…………………………………………………………………………11分
又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列， ………………………………………12分
所以．……………………………………………………………………………13分
当n为奇数时，，…………………………………………14分
当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，……………………………………15分
所以， ………………………………………………………………………………………16分
又，
所以的最大值为……………………………………………………………………………………17分
19. 本小题主要考查导数及其应用、函数的零点和不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性，满分17分．
解法一：（1）函数的定义域为，…………………………………………………………………1分
.
令，
= 1 \* GB3 ①当即时，在上恒成立，
此时在上恒成立，
所以当时，在上单调递增..…………………………………………………………………3分
= 2 \* GB3 ②当即时，
当时，由可解得此时
由可解得此时
所以当时，在上单调递减，在上单调递增.………………5分
(ii)当 时， 在上恒成立，此时在上单调递增. ……………………6分
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.…………………………………………………………………………………7分
(也可表述为：当时，的单调增区间为，无单调减区间；当时，的单调减区间为，单调增区间为 )
因为，所以
，
要证，只要证，……………………9分
不妨设，则只要证，
只要证，
只要证.……………………………………………………………10分
令，因为且，则，
所以只要证.…………………………………………………………………12分
设，，
则，当时恒成立，
所以在上单调递增，所以…………………………………………………………14分
设
，当时恒成立，
所以在上单调递减，所以………………………………………………………16分
因为所以
所以原不等式得证.……………………………………………………………………………………………17分
解法二:
（1）函数的定义域为，…………………………………………………………………………1分.…………………………………………………………………………………2分
令，
= 1 \* GB3 ①当时，在上恒成立，此时在上单调递增；…………………………4分
= 2 \* GB3 ②当时，，
若时，，此时单调递减，
若时，，此时单调递增.………………………………………………………6分
所以当时，在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，
在上单调递增.………………………………………………………………………………7分
（注：此处综上所述未写不扣分）
（2）因为，所以
，
要证，只要证，……………………9分
不妨设，则只要证，
只要证，
只要证，…………………………………………………………10分
令，因为且，则，
所以只要证.…………………………………………………………………12分
设，，
则，当时恒成立，
所以在上单调递增，所以…………………………………………………………14分
因为，
所以…………………………………………………………………………15分
所以只要证，
设，
，………………………………………………16分
所以在上单调递增，所以
所以得证.…………………………………………………………………………17分
0
1
2