苏教版（中职）第一册第2章 不等式测试题

这是一份苏教版（中职）第一册第2章 不等式测试题，共28页。试卷主要包含了 应用导数证明不等式基础思维， 泰勒公式形式， 常见函数的泰勒展开式， 麦克劳林 公式， 常见函数的麦克劳林展开式， 两个超越不等式等内容，欢迎下载使用。

导数不等式证明 18 种题型归类
目录
1. 应用导数证明不等式基础思维：
(1) 直接构造函数法：证明不等式f (x( > g(x((或f (x( < g(x() 转化为证明f (x(-g (x( > 0(或f (x( - g (x( < 0)，进而构造辅助函数h(x( =f (x(-g (x( ；
(2) 适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
(3) 构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2. “切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：y = ex 在点 (0,1(处的切线为y = x + 1，如图所示，易知 除切点 (0,1(外，y = ex 图象上其余所有的点均在y = x + 1 的上方，故有 ex≥ x + 1 ．该结论可构造函数 f (x( = ex-x - 1 并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.
3. 泰勒公式形式：
泰勒公式是将一个在 x0 处具有n 阶导数的函数利用关于 (x -x0) 的n 次多项式来逼近函数的方法.
若函数f(x) 在包含 x0 的某个闭区间 [a,b] 上具有n 阶导数，且在开区间 (a,b) 上具有 (n + 1) 阶导数，则对 闭区间 [a,b] 上任意一点x，成立下式：
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一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
题型一：不等式证明基础
题型二：三角函数型不等式证明
题型三：数列“累加型”不等式证明
题型四：双变量构造换元型不等式证明 题型五：同构型不等式证明
题型六：双变量“比值代换”型不等式证明
题型七：凸凹反转型不等式证明
题型八：极值点偏移型不等式证明 题型九：“极值型偏移”不等式证明
题型十：三角函数型极值点偏移不等式证明
题型十一：三个零点型不等式证明
题型十二：三个极值点型不等式证明
题型十三：系数不一致型不等式证明
题型十四：极值构造 (利用第一问结论)
题型十五：先放缩型不等式证明
题型十六：切线放缩型不等式证明
题型十七：利用韦达定理置换型不等式证明
题型十八：泰勒展开型不等式证明
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
知识梳理与二级结论
f(x) =f(x0) +f/(x0) (x -x0) + (x -x0)2+ ⋯+(x -x0)n+Rn (x)
其中：f(n)(x0 ) 表示f(x) 在 x = x0 处的 n 阶导数，等号后的多项式称为函数f(x) 在 x0 处的泰勒展开式，剩 余的R(n)(x) 是泰勒公式的余项，是 (x -x0)n 的高阶无穷小量.
4. 常见函数的泰勒展开式：
(1)ex= 1 + + + +⋯+ + eθx，其中 (0 < θ < 1( ；
(2)ln (1 + x( = x - + -⋯+(-1(n-1 +Rn，其中Rn= (-1(nn+1；
(3)sinx = x - + -⋯+(-1(k-1- +Rn，其中Rn= (-1(kcsθx；
(4)csx = 1 - + -⋯+(-1(k-1- +Rn，其中Rn= (-1(kcsθx；
(5)- = 1 + x + x2+ ⋯+xn+(xn)；
(6) (1 + x)n= 1 +nx + x2+(x2)；
(7)tanx = x + + x5+ ⋅⋅⋅+ (x2n( ；
(8) 1 + x = 1 + x - x2+x3+ ⋅⋅⋅+(xn( .
5. 麦克劳林 (Maclaurin) 公式
f(x) =f(0) +f/(0)x + fⅡ2(!0) x2+ ⋯+xn+Rn (x)
虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取x0 = 0 的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方 便，在高考中经常会涉及到.
6. 常见函数的麦克劳林展开式：
(1)ex= 1 + x + +⋯+ + xn+1
(2)sinx = x - + -⋯+ (-1)n + (x2n+2)
(3)csx = 1 - + - +⋯+ (-1)n + (x2n)
(4)ln(1 + x) = x - + -⋯+ (-1)n + (xn+1)
(5)- = 1 +x + x2+ ⋯+xn+(xn)
(6) (1 + x)n= 1 +nx + x2+(x2)
7. 两个超越不等式：(注意解答题需先证明后使用)
(1)、对数型超越放缩： ≤ lnx ≤ x - 1(x > 0)
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(2)、指数型超越放缩：x + 1 ≤ ex≤
8. 极值点偏移问题的一般题设形式：
(1) 若函数f(x) 存在两个零点 x1,x2 且 x1≠ x2，求证：x1+x2> 2x0 (x0 为函数f(x) 的极值点)；
(2) 若函数f(x) 中存在 x1,x2 且 x1≠ x2 满足f(x1) =f(x2)，求证：x1+x2> 2x0 (x0 为函数f(x) 的极值点)；
(3) 若函数f(x) 存在两个零点 x1,x2 且 x1≠ x2，令x0= ，求证：f'
(4) 若函数f(x) 中存在 x1,x2 且 x1≠ x2 满足f(x1) =f(x2)，令 x0= ，求证：f'(x0) > 0.
题型一 : 不等式证明基础
1 已知函数f (x( = xlnx .
(1) 求曲线y =f(x) 在点 ( 1,f (1(( 处的切线方程；
(2) 求证：f (x( < x2+x .
【变式演练】
题目 1 (甘肃省武威市凉州区 2022 届高三下学期质量检测数学 (文) 试题) 设函数f (x( = (x2-2x(ex+aex
- e2lnx，其中 e 为自然对数的底数，曲线y =f (x(在 (2,f (2(( 处切线的倾斜角的正切值为 e2+2e ． (1)
求 a 的值；
(2) 证明：f (x( > 0 .
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热点考题归纳
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已知函数f(x) = lnx + x2-ax.
(1) 若函数f(x) 在定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围；
(2) 若 a = 0 且 x ∈ (0，1)，求证：x ⋅ [1 + x2-f(x)] < (1 + x -x3) ⋅ ex.
题型二 : 三角函数型不等式证明
1 (北京市第八中学 2023 届高三上学期 12 月测试数学试题) 已知函数f (x( = xn+2-xncsx(其中n ∈ Z).
(1) 若n=-1，判断函数f (x(在 (0, 上的单调性；
(2) 若n = 1，判断函数f (x(零点个数，并说明理由；
若n = 0，求证：f (x( + 2 -
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【变式演练】
题目 1 (江苏省连云港市灌南高级中学、灌云高级中学 2022 - 2023 学年高三上学期 10 月联考数学试题)
已知函数函数
(1) 当 x> 0 时，f(x) < a，求实数 a 的取值范围；
(2) 证明：x3ex> xlnx + sinx.
题型三 : 数列“累加型”不等式证明
1 (2023·四川成都·石室中学校考模拟预测) 已知函数f (x( = lnx - a(1 -
(1) 若f (x(≥ 0，求实数 a 的值；
已知n ∈ N* 且n ≥ 2，求证： +⋅⋅⋅+ < lnn.
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【变式演练】
1 (2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模) 已知函数f (x( = lnx -
(1) 证明：f (x( ≥ 0；
证明：ln2 + ,n ∈ N
题型四 : 双变量构造换元型不等式证明
1 (2021·黑龙江·校联考模拟预测) 已知f(x) = ex.
(1) 求关于 x 的函数g(x) =f(x) - 4f(-x) - 5x 的单调区间；
已知 a > b，证明：(ea+eb+4e
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【变式演练】
1 (2021·广东·统考一模) 已知f = lnx，g x2+mx + ，直线 l 与函数f(x)、g(x) 的
图象都相切，且与函数f(x) 的图象的切点的横坐标为 1.
( Ⅰ) 求直线 l 的方程及m 的值；
(Ⅱ) 若h(x) =f(x + 1) - g/ (x) (其中g/ (x) 是g(x) 的导函数)，求函数h(x) 的最大值；
(Ⅲ) 当 0 b，证明：ab+1> ba+1 .
题型六 : 双变量“比值代换型”不等式证明
1 (2020·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考三模) 函数f (x( = lnx -
(1) 求证：函数f (x(在 (0,+∞) 上单调递增；
(2) 若m,n 为两个不等的正数, 试比较 与 的大小, 并证明.
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(2022·湖北黄冈·统考一模) 已知函数f (x( = lnx -mx + m.
【变式演练】
(1) 求函数f (x( 的单调区间；
(2) 若f (x(≤ 0 在x ∈ (0,+∞(上恒成立，求实数m 的取值范围；
(3) 在 (2) 的条件下，对任意的 0 2a.
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已知函数f (x( = lnx - ax2+1. 讨论函数f (x( 的单调性；
【变式演练】
(2) 当 a = 1 时，设函数f (x( 的两个零点为 x1，x2，试证明：x1+x2> 2.
题型九 : “极值型偏移”型不等式证明
1 (湖北省新高考联考协作体 2021 - 2022 学年高三上学期 12 月联考数学试题) 已知函数f (x( = alnx +
(1) 求函数f (x( 的单调区间；
(2) 若 a > 1，h(x( =f (x( + g(x(，x1，x2 为h(x( 的两个极值点，证明：h(x1( + h(x1( <
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(2023·贵州毕节·校考模拟预测) 已知函数f (x( = (2x + a(lnx - 3(x - a( ,a > 0.
【变式演练】
(1) 当 x≥ 1 时，f (x(≥ 0，求 a 的取值范围.
1
(2) 若函数f (x(有两个极值点 x1,x2，证明：x1+x2> 2e- 2 .
题型十 : 三角函数型极值点偏移不等式证明
1 (2022·河南郑州·校联考二模) 已知函数f (x( = e-x ⋅ sinx，x ∈ (0,π ( .
(1) 求函数f (x( 的单调区间；
(2) 若 x1≠ x2，且f (x1( =f (x2(，证明：x1+x2> .
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【变式演练】
1 (2023·福建宁德·统考模拟预测) 已知函数f (x( = ,x ∈ (0,π ( .
(1) 若f (x(≤ 1，求实数 a 的取值范围；
(2) 若 a = 4，且f (x1( =f (x2( ,x1< x2，求证：x1+x2> 且 < sinx2.
题型十一 : 三个零点型不等式证明
1 (浙江省舟山中学 2021 - 2022 学年高三上学期 12 月月考数学试题) 已知函数 f (x( = (x + 1(lnx + a(x - 1( ,a ∈ R ． (1) 求函数y =f/ (x( 的最小值；
(2) 若f (x(有三个零点x1,x2,x3，
①求 a 的取值范围；
②求证：
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【变式演练】
题目 1 (浙江省杭州市第十四中学 2021 届高三下学期 5 月模拟考试数学试题) 已知函数
f (x( = xlnx,g(x( = x2+ax - 1,a ∈ R.(1) 若对任意x ∈ [ 1,+∞(，不等式f (x( ≤ g (x(恒成立，求 a 的取值
范围；(2) 已知函数h(x( = |f (x(|- a 有 3 个不同的零点 x1,x2,x3 (x1< x2< x3( ..
(i) 求 a 的取值范围；(ii) 求证：x3-x2> 、1 + 2a - 、1 - 2a.
题型十二 : 三个极值点型不等式证明
1 已知函数f (x( = (x - 2(ex+a(
(1) 讨论f(x) 的极值点的个数；
(2) 若f(x) 有 3 个极值点 x1，x2，x3 (其中 x1< x2< x3)，证明：x1x3< xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),2).
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【变式演练】
1 已知函数f(x) = (其中 a 为常数).
(1) 当 a = 0 时，求函数f(x) 的单调减区间和极值点；
(2) 当 a> 0 时，设函数f(x) 的 3 个极值点为x1，x2，x3，且 x1< x2< x3，
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①求 a 的取值范围；
.
②证明：当 0
e
题型十三 : 系数不一致型不等式证明
1 (浙江省浙南名校联盟 2021 - 2022 学年高三上学期期末联考数学试题) 设实数 a> 0，且 a≠ 1，函数
f (x( = - lgax,x ∈ (0,+∞( .
(1) 求函数f (x( 的单调区间；
(2) 若函数y =f (x(有两个不同的零点 x1,x2 (x1< x2( .
(i) 求 a 的取值范围；
(ii) 证明：x1+2x2> 3a.
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【变式演练】
题目 1 (浙江省绍兴市诸暨市 2021 - 2022 学年高三上学期期末数学试题) 已知函数
(1) 当 a = 0 时，求y =f (x(在 (0,f (0(( 处的切线方程；
(2) 若y =f (x(有两个极值点 x1、x2，且 x1< x2.
( ⅰ) 求实数 a 的取值范围；( ⅱ) 求证：xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),2)-x1< a + 3.
题型十四 : 极值构造型 (利用第一问结论)
1 (2022·海南·统考一模) 已知函数f(x) = ax - ex+1,a ∈ R.
(1) 求f(x) 的单调区间；
(2) 若f(x) ≤0 在 x ∈ R 上恒成立，求实数 a 的取值集合；
(3) 当 a = 1 时，对任意的 0 g(x( .
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(山东省 2021 - 2022 学年高三上学期 12 月备考监测第二次联合考试数学试题) 函数f (x( = lnx -
【变式演练】
ax + 1.
(1) 若f (x(≤ 0 恒成立，求 a 的取值范围.
证明：( + 1((e-x+1( <
题型十六 : 切线放缩型不等式证明
1 ( 2021 年 高 考 数 学 押 题 预 测 卷 ( 天 津 卷 ) 01 ) 已 知 函 数 f (x( = m ( - klnx( + ex+1( ex+1-ax + a - 1( ，其中 e = 2.718 ⋯ 是自然对数的底数，f/ (x(是函数f (x( 的导数.
(1) 若m = 1，n = 0 时 .
(i) 当 k = 1 时，求曲线f (x(在 x = 1 处的切线方程.
( ⅱ) 当 k> 0 时，判断函数f (x(在区间 (1,、e[零点的个数.
若m = 0，n = 1，当 a = 时，求证：若 x1≠ x2，且 x1+x2=-2，则f (x1( +f (x2( > 2.
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【变式演练】
题目 1 (江苏省泰州市姜堰中学 2020 - 2021 学年高三上学期 12 月月考数学试题) 已知函数f(x) = a(x - 1)ex，a ≠ 0.
(1) 讨论f(x) 的单调性；
(2) 当 a = 1 时，
①求函数在 x = 1 处的切线 l，并证明 0 0 时，证明：f (x( > 1；
证明： < ln (n!(- (n + (ln (n( + n ≤ 1 .
2 (2022·全国·统考高考真题) 已知函数f (x( = - lnx + x - a .
(1) 若f (x(≥ 0，求 a 的取值范围；
(2) 证明：若f (x(有两个零点 x1,x2，则 x1x2< 1 .
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高考真题对点练
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(2022·北京·统考高考真题) 已知函数f(x) = exln(1 +x).
(1) 求曲线y =f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程；
(2) 设g(x) =f/ (x)，讨论函数g(x) 在 [0,+∞) 上的单调性；
(3) 证明：对任意的 s,t ∈ (0,+∞)，有f(s + t) >f(s) +f(t).
题目 4 (2021·浙江·统考高考真题) 设 a，b 为实数，且 a> 1，函数f (x( = ax-bx + e2 (x ∈ R)
(1) 求函数f (x( 的单调区间；
(2) 若对任意 b > 2e2，函数f (x(有两个不同的零点，求 a 的取值范围；
(3) 当 a = e 时，证明：对任意 b > e4，函数f (x(有两个不同的零点 x1,x2,(x2> x1(，满足 x2> x1+ .
(注：e =2.71828 ⋅⋅⋅ 是自然对数的底数)
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题目 5 (2021·全国·统考高考真题) 设函数f (x( = ln (a -x(，已知 x = 0 是函数y = xf (x( 的极值点.
(1) 求 a；
(2) 设函数 ．证明:g(x( < 1 .
题目 6 (2021·全国·统考高考真题) 已知函数f (x( = x(1 - lnx( .
(1) 讨论f (x( 的单调性；
(2) 设a，b 为两个不相等的正数，且 blna - alnb = a -b，证明：2 <
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(2023·西藏昌都·校考模拟预测) 已知函数f(x) = lnx - ax + 1,a ∈ R .
(1) 讨论函数f(x) 的单调区间；
(2) 若 x0 为函数g(x) = x[f(x) + lnx - 2] 的极值点，求证：2axEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),0)< ex0-1 .
题目 2 (2023·贵州毕节·校考模拟预测) 已知函数f (x( = (mx + n(ex+mx2+ ( 2m + n(x 在 x=-1 处取得极
小值 求实数m,n 的值；
当 x ∈ (0,+∞(时，证明：f (x( > lnx + x +
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最新模考真题
3 (2023·贵州贵阳·校联考三模) 实数 k > 0，f
(1) 讨论f (x(-g (x( 的单调性并写出过程；
求证： > n + 1 -
题目 4 (2023·四川·校联考一模) 已知函数f (x( = x2-2lnx .
(1) 求f (x( 的单调区间；(2) 令g(x( =f (x(- (a - 2(lnx，若g(x(有两个零点 x1，x2 (x1< x2(，且 x0 是g(x(
的唯一极值点，求证：
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5 (2023·福建三明·统考三模) 已知函数f (x( = - lnx(a ∈ R( .
(1) 讨论f (x( 的单调性；
(2) 若 x ∈ ,1(，证明：( 1 -x(e4x- -4x2+x < 0.
6 (2023·山东济南·校考模拟预测) 设函数f(x) = (x >-1)，已知f(x) ≥1 恒成立.
(1) 求实数m 的值；
(2) 若数列 满足 an+1= lnf，且 a1= 1 - ln2，证明：|ean-1| < (
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(2023·江西赣州·统考模拟预测) 已知函数f (x( = lnx + a(a ∈ R( .
(1) 若函数g(x( =f (x( + x2+ax，讨论函数g(x( 的单调性；
(2) 证明：当 a ≤ 时，f (x( < ex-sinθ .
题目 8 (2023·江西赣州·统考模拟预测) 已知函数f (x( = lnx + a，a ∈ R.
(1) 若g(x( =f (x( + x2+ax，讨论函数g(x( 的单调性；
(2) 证明：当m ≤ 时，函数y =f (x + m(- a 的图象在函数h(x( = ex+sinθ 的图象的下方.
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