广东省湛江市第二中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

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（满分：150分，考试时间：120分钟）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解一元二次不等式求出集合，再按集合的并集运算即可.
【详解】由题意得，因为，所以.
故选：D.
2. 下列函数中，既是偶函数，又是周期函数的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的周期与奇偶性，综合即可得答案
【详解】对于A，是偶函数，但不是周期函数，则A错误；
对于B，为周期为的函数，但不是偶函数，则B错误；
对于C，既不是偶函数也不是周期函数，则C错误；
对于D，，即为周期为的周期函数，且为偶函数，则D满足.
故选：D.
3. 在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质和充分和必要条件的概念即可判断．
【详解】中，，则或，
∴在中，“”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式的性质逐个判断各个选项即可．
【详解】对于A，若，又，则，故A正确，
对于B，若，，满足，但是，故B错误，
对于C，若，则，故C错误，
对于D，若，，满足，但是，故D错误，
故选：A．
5. 若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值等于（ ）
A. 2B.
C. －2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象的平移变换可得定点的坐标，再根据三角形函数的定义可得结果.
【详解】因为函数的图象经过定点，所以函数的图象经过定点，
因为点在角的终边上，所以.
故选：A.
【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，考查了三角函数的定义，属于基础题.
6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.
【详解】设g（x）＝x2﹣ax+1，
则要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增，
由复合函数单调性可得：
满足，即，
得a，
即实数a的取值范围是，
故选C．
【点睛】本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键，注意真数大于0的条件的应用，属于易错题型.．
7. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数函数的单调性即可得出答案．
【详解】依题意，，，，
所以．
故选：D
8. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图像关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数，若的对称中心为，则（ ）
A. B. C. 8084D. 8086
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意及特点，构造出，并得到其为奇函数，从而，求出结果为.
【详解】令，则
则，
所以为奇函数，
所以的图象关于对称，
所以，
故，
且，
所以
故选：A
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若，则角θ的终边可能落在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】AB
【解析】
【分析】当，则与同号，从而可判断．
【详解】当，则与同号，
角θ的终边可能落在第一或第二象限．
故选：AB．
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数
B. 函数的定义域为
C. 若函数的值域为，则实数的取值范围为
D. 函数的定义域为则的定义域为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特例可判断A，求函数定义域可判断B，根据对数函数及二次函数的性质可判断C，根据抽象函数的定义域可判断D.
【详解】对于A，如与定义域与值域相同，但不是同一个函数，故A不正确；
对于B，函数定义域为，故B正确；
对于C，要使函数的值域为R，令，则，故C错误；
对于D，因为函数定义域为，则要使有意义，必须，
所以定义域为，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的单调递增区间是
B. 函数的值域是R
C. 函数的图象关于对称
D. 不等式的解集是
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.
【详解】对于A:因为为增函数,所以求的单调递增区间即求的单调递增区间,即.又对数函数的定义域有,解得.故函数的单调递增区间是.A错误；
对于B：，由对数函数的定义域解得：，则，由于，所以，即函数的值域是，B正确；
对于C: ,关于对称，所以函数的图象关于对称，故C正确；
对于D: ,即，解得：，故D正确；
故选：BCD.
12. 设函数，则下列结论正确的是（ ）
A. ，使得
B. ，使得
C. ，都有
D. ，都有
【答案】BD
【解析】
【分析】假设，使得推出矛盾可判断A,取特殊值可判断BC，利用解析式化简可判断D.
【详解】对A，若，使得，即，
所以，可得，即，显然不存在满足此条件的整数，故不存在，A错误；
对B，当时，成立，故B正确；
对于C，取时，，故C错误；
对于D，，，故D正确.
故选：BD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用对数函数的定义可得，求解即得.
【详解】由函数有意义，得，则，
所以函数的定义域是.
故答案为：.
14. 已知函数，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.
【详解】因为，则，故.
故答案为：.
15. 若函数在上单调递增，则的取值范围是__．
【答案】，
【解析】
【分析】由题意结合正弦函数的性质可得，解不等式组可求出的取值范围
【详解】解：因为，，所以，
因为函数在上单调递增，
所以，，
解得，，
因为，所以当时上式有解，
所以，
故答案为：，．
16. 已知函数，若，且，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，由且，可求得，，，利用直线和圆的位置关系，结合线性规划的知识进行求解即可．
【详解】作出的图象如图，由图可知，的对称轴为：．
∵且
∴，，
则，
即，
则，，，
则的轨迹是圆上的一个部分，（黑色部分），
由得，
平移，当直线和圆在第三象限相切时，截距最小，此时u最小，
此时圆心到直线的距离，
即，
得或（舍），
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查带绝对值的函数，作出函数结合已知求得，，，利用线性规划以及直线和圆相切的位置关系是解决本题的关键．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 计算．
（1）；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用有理数指数幂和对数的运算性质求解．
（2）原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，将的值代入计算即可求出值．
【小问1详解】
原式．
【小问2详解】
原式．
【点睛】（1）主要考查了有理数指数幂的运算性质，以及对数的运算，是基础题．
（2）考查了运用诱导公式化简求值，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
18 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可得出函数的单调递增区间；
（2）由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的值域.
【小问1详解】
解：，
所以，函数的最小正周期为，
由得，
故函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
解：当时，，，所以，，
即函数在区间上的值域为.
19. 某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）的部分数据如下表所示：
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
（1）求k的值；
（2）给出以下四种函数模型：
①，②，③，④．
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入（元）的最小值．
【答案】（1）
（2）选②，
（3）121元．
【解析】
【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，代入即可得解；
（2）根据所给数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③，④中的函数为单调函数，故只能选②，再代入题表数据即可得解；
（3）由（2）可得
分类讨论求最小值即可.
【小问1详解】
由题意得，解得．
【小问2详解】
由题表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③，④中的函数为单调函数，故只能选②，即．
由题表可得，，
即解得
故．
【小问3详解】
由（2）知
∴
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴当时，取得最小值，且；
当时，是单调递减的，
∴当时，取得最小值，且．
综上所述，当时，取得最小值，且．
故该商品的日销售收入的最小值为121元．
20. 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义加以证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）函数在定义域内单调递增，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由是奇函数可得，求出a的值，再验证此时是奇函数；
（2）先分离常数，再判断其单调性，利用定义证明函数在R上单调递增；
（3）等价于恒成立，求函数的最小值即得解.
【小问1详解】
因为函数的定义域为R，所以，∴.
经检验当时，，
，
所以.
【小问2详解】
，
函数在定义域内单调递增，证明如下：
设，所以，
因为，所以，所以函数在R上单调递增.
【小问3详解】
∵是奇函数，由已知可得，
所以，
所以，
设，当.
所以.
∴实数m的取值范围为.
21. 对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数.
（1）设，，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围.
（2）设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由.
【答案】（1）；
（2）存在，，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意新定义得到的解析式，然后将问题转化为在上有解，利用换元法转化为二次函数求解最值即可；
（2）利用待定系数法设，根据，得到对任意恒成立，从而得到，再利用换元法以及对勾函数进行分析求解，即可得到答案．
【小问1详解】
由题意可得，， ，，，
所以，
不等式在上有解，
等价于在上有解，
令，则，
由在上单调递减，
所以当时，取得最大值，故．
即
【小问2详解】
设，则．
由，得，
整理得，即，即对任意恒成立，
所以．
所以
．
设，
令，则，
由对勾函数的性质可知在单调递减，上单调递增，
∴在单调递增，
∴，且当时取到“”．
∴，
又在区间的最小值为，
∴，且，此时，．
所以．
【点睛】关键点点睛：考查新定义函数问题，实质上还是对函数性质、恒成立、存在性问题、求值域等问题的考查，关键点是能够正确读懂题意，理解其本质.
22. 已知函数（m∈R）．
（1）若关于x的方程在区间上有三个不同解，求m与的值；
（2）对任意，都有，求m的取值范围．
【答案】（1）m＝4，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题设及同角三角函数平方关系有，令，根据已知条件、二次函数的性质及三角函数的对称性求参数m，以及的关系，进而求.
（2）由（1）得且恒成立，讨论t的范围，结合对勾函数的性质求参数m的范围.
【小问1详解】
,
设，在上，则，
若有三个不同解，则有两个不同的根，其中，，
所以，得：m＝4，
由得：，
由，知：两个解关于对称，即，
综上，；
【小问2详解】
由（1），当时，，
要使恒成立，即，得，
当t＝0时，不等式恒成立，
当t＞0时，恒成立，又，当且仅当时取等号，此时，
当t＜0时，，而时为减函数，而，此时，
综上，实数m的取值范围是．x/天
10
20
25
30
/个
110
120
125
120