内蒙古自治区巴彦淖尔市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 在正中，向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A. 或B. 或C. D.
4. 某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则该商场这个月所有销售员销售额的平均数为（ ）
A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元
5. 已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
6. 某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 极差D. 众数
7. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知四边形的顶点都在半径为2的圆上，且经过圆的圆心，，四边形的面积为，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知事件两两互斥，若，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 在长方体中，，点在线段上，则直线与平面所成角的正弦值可能为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 复数虚部为______．
13. 如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为__________.
14. 已知是外心，若，则内角的最大值是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
16. 某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g）进行统计，并将样本数据分为六组，得到如下频率分布直方图．

（1）试估计样本数据的分位数；
（2）从样本数据在内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在内的概率；
（3）若规定质量在内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．
17. 某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的.
（1）求甲第二次答题通过初赛的概率；
（2）求乙通过初赛的概率；
（3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.
18. 是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记．在中，角的对边分别是，点在射线上．
（1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值；
（2）若，由点对施以视角运算，，求的周长．
19. 在四棱锥中，平面，平面平面分别为的中点．

（1）证明：平面．
（2）证明：．
（3）若二面角的正切值为，求三棱锥的体积．