2022-2023学年山东省济南市市中区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省济南市市中区九年级上学期数学期末试题及答案，共30页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
第Ⅰ题卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 如图所示的几何体的左视图是（ ）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】从左向右看，得到的几何体的左视图是．
故选B．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2. 如果 ，那么（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查分式求值，根据分式性质进行化简，是解题的关键．
3. 已知反比例函数图象经过点，则下列点中不在此函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可求得函数的解析式，然后把各点的坐标代入验证即可．
【详解】解：由于反比例函数图象经过点，则有，
即反比例函数解析式为，或者，
由于，而，
所以点不在反比例函数的图象上，其余点都在反比例函数的图象上，
故选：B．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、判断点与反比例函数图象的关系，求出反比例函数的解析式是关键．
4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5. 在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有( )个
A. 10B. 15C. 20D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】设白球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，
∴口袋中得到红色球的概率为0.2，
∴，
解得：x=20，
经检验x=20是原方程的根，
故白球的个数为20个．
故选C．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
6. 如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，过点作于，利用勾股定理求出，再根据，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于．
在中，，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7. 如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，，则点的纵坐标为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】由得；由得，由对应边成比例即可求得的长，从而求得点B的纵坐标．
【详解】解：，
；
，
，
,
即，
所以点B的纵坐标为6，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，相似三角形的判定与性质，关键是运用相似三角形的判定与性质．
8. 如图，点，，均在上，若，则的度数为（ ）
A. 120°B. 130°C. 100°D. 110°
【答案】A
【解析】
【分析】由圆周角定理、周角即可完成计算．
【详解】由圆周角定理得：，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，这里可能部分学生不习惯圆心角大于时的情况．
9. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致；
【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；
B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；
C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；
D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．
10. 函数，当时，函数图象上的点到轴的距离不超过4，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】的对称轴为直线，对、和考虑即可．
【详解】解：∵，且当时，函数图象上的点到轴的距离不超过4，
若，则，
若，解得：，
所以；
若和，则有和，
若，解得：，
则，
综上，；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，分类讨论是本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（共共24分，6小题，每小题4分）
11. 已知α是说角，如果，那么α＝___．
【答案】##30度
【解析】
【分析】根据是锐角，，可以得到，由此求解即可．
【详解】解：∵是锐角，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据特殊角的三角函数求角的度数，求特殊角的三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握30度角的三角函数值．
12. 如图，已知二次函数与一次函数的图象交于点，．如图所示，则能使成立的的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】观察图象，当抛物线位于直线的下方时，即可求得x的取值范围．
【详解】解：由图象知，当时，抛物线位于直线的下方，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象，数形结合是关键．
13. 如图，在直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，且，
点的坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
14. 如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过点的直线轴，分别与反比例函数和的图象交于、两点，若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由直线轴，得到轴，轴，于是得到，，再根据即可求得的值．
【详解】解：直线轴，
轴，轴，
，，
，，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴或轴作垂线，与原点形成的三角形的面积等于．
15. 如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，由翻折的性质及圆的性质可得是等边三角形，则扇形面积减去等边三角形的面积即为所求的阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接，设l交于点D，
由翻折的性质得：，，，
，
，
即是等边三角形，
，由勾股定理得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积等知识，得到等边三角形是解题的关键．
16. 如图，正方形中，，点沿线段由向运动（到停止运动），点沿线段由向运动（到停止运动），两点同时出发，速度相同，连接，作于点，则在整个运动过程中点的运动轨迹长为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接交于点O，根据正方形的性质可证得，可得到，再由，可得点P在以为直径半圆上运动，即可求解．
【详解】解：如图，连接交于点O，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴点P在以为直径半圆上运动，
∴点沿线段由向运动时，点P的运动路径为的长，
的长为，
即在整个运动过程中点的运动轨迹长为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，根据题意得到点P在以为直径半圆上运动是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值、特殊角的三角函数值、乘方计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题是实数的运算，考查了绝对值、特殊角的三角函数值、乘方，掌握这些知识是关键．
18. 如图，在中，点是边上的一点，．若，，求边的长．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，由相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】，，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握此知识点是关键．
19. 如图，小明同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为3米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了6米到处（即米），此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知小明身高1.6米，路灯高8米）．
（1）小明站在处在路灯下的影子是线段______；
（2）计算小明站在处在路灯下的影长．
【答案】（1）
（2）m
【解析】
【分析】（1）根据他行到处时发现，他在路灯下的影长为3米，且恰好位于路灯的正下方即可得到答案；
（2）根据题意可得线段为小明站在处在路灯下的影长，，即，从而可求得的长．
【小问1详解】
解：根据他行到处时发现，他在路灯下影长为3米，且恰好位于路灯的正下方，得：小明站在处在路灯下的影子是线段；
【小问2详解】
解：根据题意可得：线段为小明站在处在路灯下的影长，
，
，
，，，
即，
解得：，
故小明站在处在路灯下的影长为：m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，用到的知识点为：两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例．
20. “四面荷花三面柳，一城山色半城湖”，常用来描绘济南的风景名胜．周末妈妈计划带哥哥和弟弟出去玩，他们打算从A．千佛山、B．大明湖、C．趵突泉、D．五龙潭，四个景点中选择游玩地点．
（1）弟弟选择“C．趵突泉”景点的概率是______；
（2）请利用树状图或表格求弟弟和哥哥两人选择的景点相同的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）显然，所有可能结果数为4，选择选择“C．趵突泉”景点的结果数只有一种，从而可求得概率；
（2）画出树状图或列出表格，由图或表可得所有可能的结果数及弟弟和哥哥两人选择的景点相同的结果数，即可求得概率．
小问1详解】
解：所有可能结果数为4，选择选择“C．趵突泉”景点的结果数只有为1，弟弟选择选择“C．趵突泉”景点的概率为；
故答案为：；
【小问2详解】
列出表格如下：
由表知，所有可能的结果数有16种，弟弟和哥哥两人选择的景点相同的结果数有4种，弟弟和哥哥两人选择的景点相同的概率为：．
【点睛】本题考查了求概率，对于较复杂的概率，常常用树状图或列表求解，无论简单的或较复杂的事件的概率，由公式知，都要求出所有可能的结果数及事件发生的结果数，这是问题的关键．
21. 某学校教学楼（甲楼）的顶部和大门之间挂了一些彩旗．小颖测得大门距甲楼的距离是，在处测得甲楼顶部处的仰角是．
（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；
（2）若小颖在甲楼楼底处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶处的仰角为，爬到甲楼楼顶处测得乙楼楼顶处的仰角为，求乙楼的高度．（，，）
【答案】（1）甲楼的高度为，彩旗的长度
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，根据锐角三角函数，即可求解；
（2）过点F作于点M，在中，根据锐角三角函数可得，
在中，根据锐角三角函数可得，再由，求出x的值，即可求解．
【小问1详解】
解：在中，，，
∴，，
解得：，，
答：甲楼的高度为，彩旗的长度；
【小问2详解】
解：如图，过点F作于点M，
设两楼间距离为，则，
根据题意得：，，
在中，，
∴，即，
在中，，
∴，即，
∴，
解得：，
∴乙楼的高度．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
22. 如图，在中，，以为直径的与交于点，过作的切线交的延长线于，交于．
（1）求证：；
（2）已知，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，再由，，可得，从而得到，即可；
（2）设的半径为r，在中，根据勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设的半径为r，则，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
解得：，
即的半径为．
【点睛】本题考查的是切线的性质、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
23. 已知：如图是边长为8的等边三角形，与原点重合，点分别从两点同时出发，速度为每秒1个单位长度，交于．运动时间为秒，．
（1）写出点的坐标______；
（2）当时，求的值；
（3）若的面积为，求与的函数关系式，并求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3），的最大值为
【解析】
【分析】（1）过点作于，由是边长为8的等边三角形，可得，在通过勾股定理可得，从而得出了点的坐标；
（2）由，为等边三角形，可得，从而得到，再分别用表示出、的长度，列出关系式，即可求解；
（3）作于点，根据题意可得，，，，再由勾股定理可得，再由列出关系式即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作于，
是等边三角形，
，
，
点的坐标为：；
【小问2详解】
解：，为等边三角形，
，
，
，
，，
，
解得：，
所以的值为：；
【小问3详解】
解：如图所示，作于点，
根据题意可得：，，，
，
，
，
∵，，
当时，最大，最大值为．
【点睛】本题考查了等边三角形边上的动点问题，等边三角形的性质，二次函数综合（面积问题），含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质，利用勾股定理算出边长，求出二次函数的最大值是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，并与轴交于点．点是线段上一点，与的面积比为．
（1）______，______；的坐标______；
（2）点为直线在第一象限部分上一点，连结，将绕点逆时针旋转90°，得到，若点在反比例函数上，求出点坐标；
（3）点为轴上一点，若，求出点的坐标．
【答案】（1），5，
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标分别代入反比例函数与一次函数的解析式中即可求得k与b的值；分别过点A、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则由面积的比可得，再由平行线可得，则有，由点A的坐标即可求得点D的纵坐标，由点D在直线上，即可求得点D的坐标；
（2）设，分别过点P、作x轴的垂线，垂足分别为M、N，由旋转的性质易证，则可得，，则由比例系数的几何意义可求得m的值，从而得点P的坐标；
（3）求出过点A且平行的直线解析式，此直线与y轴的交点即为满足条件的点D．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
∴把点A的坐标分别代入反比例函数与一次函数的解析式中得：，
，；
分别过点A、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，如图，
，
与的面积比为，
，
，
，
，
，
，
，
∴点D的纵坐标为4，
∵点D在直线上，
，即，
∴点D的坐标为；
故答案为：，5，
【小问2详解】
解：设，则，，
分别过点P、作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图，
旋转的性质得：，，
，
，
，
，
，，
由比例系数的几何意义知：，
解得：或，
则或，
则点P的坐标或；
【小问3详解】
设直线的解析式为，把点D的坐标代入得：，
即直线的解析式为，
设过点A且与直线平行的解析式为，
把点A的坐标代入得：，
，
即过点A且与直线平行的解析式为，
上式中，令，得，
即直线与y轴的交点为，
，
、两点到直线的距离相等，
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合，考查了求反比例函数的比例系数及其比例系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，求一次函数的解析式等知识，有一定的综合性，综合运用这些知识是关键．
25. （1）如图，Rt与Rt ，点在上，点在上，，，则 ______， ______；
（2）如图，在（1）的条件下，Rt 绕点逆时针旋转一定角度，连接，，的值是否发生改变？若不变请给出证明，若改变请求出新的比值．
（3）拓展：如图，矩形，为线段上一点，以为边，在其右侧作矩形，且，，连接，，求的最小值．
【答案】（1），；（2）的值没有发生变化，证明见解析；
【解析】
【分析】（1）由题意得，得到，又由得到，令，则可以表示出的长，再由勾股定理求出的长，在进行计算即可得到答案；
（2）令，由（1）得出，，，再由勾股定理计算出的长，从而得到，由旋转可知，从而得到，即可得到的值；
（3）连接，作，连接，延长交的延长线于，过作，交的延长线于，通过，可求出，作平行四边形，是关于的对称点，连接、，交于，从而得到，再通过，即可求得，从而可得到的长，再由勾股定理求出的长，最终可求出的最小值．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
令，则，，，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）的值没有发生变化，
证明：由（1）得：，，
令，则由题意得：，，，
，，
，
，
，
，
，
的值没有发生变化；
（3）解：，
，
，
如图4，连接，作，连接，延长交的延长线于，过作，交的延长线于，
，
，
，
，
，
作平行四边形，是关于的对称点，连接、，交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为：．
【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定与勾股定理解三角形，熟练掌握并运用三角形相似的性质与判定，正确地作出辅助线是解题的关键，此题难度较大，属于压轴题．
26. 如图1，线的图象经过点，交轴于点、（A点在点左侧），顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，在直线上方的抛物线上，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，求矩形的周长最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的纵坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）9 （3）存在两个点，点M的纵坐标为或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出直线的解析式，设点P的坐标，则可得点Q的坐标，从而可分别求得、，则矩形的周长是一个二次函数，求出这个二次函数的最大值即可；
（3）设点，当点M在上方时，把线段绕点C逆时针旋转得到，连接，过点N作y轴的垂线于点P，利用三角形全等可求得点N的坐标，则可求得的中点的坐标；以为圆心，长为直径作圆，则圆与抛物线的对称轴的交点M即满足，连接，由可求得t的值；同理，当点M在下方时，把线段绕点B逆时针旋转得到，连接，以为直径作圆与对称轴的交点即为所满足条件的点M，从而求得其纵坐标t的值．
【小问1详解】
解： 由题意，把、代入中，得：，
解得：，
即所求解析式为；
【小问2详解】
解：在中，令，得，即，
设直线的解析式为，
把B、C的坐标分别代入得：，解得：，
即直线的解析式为；
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
，，
矩形的周长
当时，矩形的周长有最大值9；
【小问3详解】
解：存在
由于抛物线的对称轴为直线，且点M在抛物线的对称轴上，故设点，
①当点M在上方时，如图，把线段绕点C逆时针旋转得到，连接，过点N作y轴的垂线于点P，则，，
，
，
，
，
，，
由C、B的坐标知：，，
，，
，
点N的坐标为，
设的中点为的坐标，则的坐标为，
以为圆心，长为直径作圆，圆与抛物线的对称轴交于点M，连接，
，，
，
即点M满足题意；
，
，
，即
，
解得：，（舍去），
即；
②当点M在下方时，如图，把线段绕点B逆时针旋转得到，连接，以为直径作圆与对称轴的交点即为满足条件的点M，
设的中点为，连接，与前面计算类似，可得：，，，则，
，
解得：，（舍去），
即；
综上，点M的纵坐标为或．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等等知识，综合性较强，涉及的知识点较多，要求灵活运用这些知识．
弟弟 哥哥
A
B
C
D
A
AA
AB
AC
AD
B
BA
BB
BC
BD
C
CA
CB
CC
CD
D
DA
DB
DC
DD