2022-2023学年山东省济南市槐荫区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省济南市槐荫区九年级上学期数学期末试题及答案，共25页。试卷主要包含了 已知， 如图，在中，，，，则的值是， 二次函数得顶点坐标是， 如图所示，若，则需满足， 下列关于抛物线的说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡-并交回．本考试不允许使用计算器．
第Ⅰ卷（选择题共40分）
注意事项：
第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
━、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的．）
1. 已知（），则下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别将四个选项根据“内项之积等于外项之积”进行计算，然后与条件进行对比即可判断．
【详解】解：A.，由内项之积等于外项之积得，与条件不符，故选项A不符合题意；
B.，由内项之积等于外项之积得，与条件相符，故选项B符合题意；
C.，由内项之积等于外项之积得，与条件不符，故选项C不符合题意；
D.，由内项之积等于外项之积得，与条件不符，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
2. 反比例函数经过经过下面哪一个点( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将横坐标分别代入函数解析式求出纵坐标，进一步比较即可．
【详解】解：当时，，
故A选项不符合题意；
当时，，
故B选项符合题意；
当时，，
故C选项不符合题意；
当时，，
故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
3. 如图，在中，，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接运用正切的定义解答即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了正切的定义，在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么角A的对边与邻边的比值随之确定,这个比叫做角A的正切．
4. 二次函数得顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【详解】解：抛物线的解析式为：，
其顶点坐标为：．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的顶点式．
5. 反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A. B. 函数图象分布在第二、四象限
C. 当时，y随x的增大而增大D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，故A选项正确，不符题意；
∵，
∴反比例数的图象分布在第二、四象限，故B选项正确，不符题意；
在每一个象限内，函数值随的增大而增大，故C选项正确，D选项不正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，求得的值是解题的关键．
6. 如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 40°B. 50°C. 35°D. 55°
【答案】A
【解析】
【分析】连接AC，由圆周角定理可求得∠ACB＝90°，∠ACD＝∠ABD，则可求得答案．
【详解】如图，连接AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠ACD＝∠ABD＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣50°＝40°，
故选A．
【点睛】此题主要考查圆周角定理的运用，熟练掌握，即可解题.
7. 若两个相似三角形的面积比是，则它们对应边的中线之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的面积比等于相似比的平方，它们对应边的中线之比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是，
∴两个相似三角形的相似比是，
∴它们对应边的中线之比为，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8. 如图所示，若，则需满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用相似三角形的判定，有一个公共角，再添加夹着这个公共角的对应边成比例即可．
【详解】是公共角，要使
只需，即
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，找准对应边是解题的关键．
9. 下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
①开口方向向上； ②对称轴是直线：
③当时，y随x的增大而减小； ④当或时，．
A. ①③B. ①④C. ①③④D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】将解析式化为顶点式，进而判断①②③，令，得出与轴的交点，根据函数图象即可判断④，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小；
故①正确，②错误，③正确；
令，即，
解得：，
如图，当或时，，故④不正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，图象法求不等式的解集，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
10. 如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A. πB. πC. πD. 2π
【答案】A
【解析】
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，
∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，
∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，
∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
11. 已知锐角满足，则锐角度数是______度
【答案】60
【解析】
【详解】分析：根据特殊角三角函数值，可得答案．
详解：由锐角α满足csα=，则锐角α的度数是60度，
故答案为60．
点睛：本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
12. 如图，的内接四边形中，， 则的度数为____________．
【答案】##度
【解析】
【分析】由圆的内接四边形的对角互补直接可得答案．
【详解】解：∵的内接四边形中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，掌握“圆的内接四边形的对角互补”是解本题的关键．
13. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线向向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
14. 如图是反比例函数和在第一象限的图像，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】应用反比例函数比例系数的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可．
【详解】解：如图，设直线与轴交于点，
由反比例函数比例系数的几何意义可知，
，，
∵，
∴，
解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数比例系数的几何意义．根据图形中三角形面积关系构造方程是解题的关键．
15. 如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径作，分别交于点E，F．若，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先证明再利用阴影部分的面积等于三角形面积减去扇形面积即可得到答案．
【详解】解：如图，连接OB，是的切线，

设





故答案为：
【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，扇形面积的计算，掌握“整体求解扇形的面积”是解本题的关键．
16. 如图，已知抛物线与直线交于O，A两点．点B是个抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作两条坐标轴的平行线，与直线OA交于点C，E，以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为，则m关于n的函数关系式是______．
【答案】
【解析】
【分析】据点D的坐标，可得出点E的坐标，点C的坐标，继而确定点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线解析式可求出m，n之间的关系式．
【详解】解：∵直线OA的解析式为：y=2x，
点D的坐标为（m，n），
∴点E的坐标为（n，n），点C的坐标为（m，2m），
∴点B的坐标为（n，2m），
把点B（n，2m）代入，
可得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，矩形的性质，函数图象上点的坐标特征，解答本题需要同学们能理解矩形四个顶点的坐标之间的关系．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】把各特殊角的三角函数值代入算式求解即可 ．
【详解】解：原式=
=
=，
故答案为 ．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值的应用，正确记忆特殊角的三角函数值并灵活运用是解题关键．
18. 已知一个二次函数的图象经过点和．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象的顶点坐标．
【答案】（1）
（2）这个二次函数图象顶点坐标为
【解析】
【分析】（1）将点和代入二次函数，待定系数法求解析式即可求解；
（2）将一般形式化为顶点式即可求解．
小问1详解】
解：将点和代入二次函数，得
，
解得：
∴这个二次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴这个二次函数图象的顶点坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将一般式化为顶点式，掌握以上知识是解题的关键．
19. 如图，在中，，是边上的点，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据两边成比例，夹角相等，证明，根据相似三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
又，
∴
∴，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20. 如图所示的拱桥，用表示桥拱．
（1）若所在圆的圆心为点是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心．（不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）若拱桥的跨度（弦的长）为，拱高（的到弦的距离）为，求拱桥的半径．
【答案】（1）见解析 （2）拱桥的半径为米
【解析】
【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，即可求解；
（2）根据垂径定理得出，，设拱桥的半径为，在中，勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，作的垂直平分线，交于点，
【小问2详解】
解：如图，
设为的中点，交于点，
∵，
∴，，
设拱桥的半径为，在中，，，
∵，
∴
解得：
∴拱桥的半径为米．
【点睛】本题考查了确定圆心的位置，垂径定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
21. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，求的长．（参考数据：，结果保留整数）
【答案】的长为
【解析】
【分析】根据题意得出，在，中，分别求出，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，
，
∴，
在中，，
∴（），
在中，，
∴（），
∴（），
即的长为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
22. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）
（3）该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】（1）在中，令，进行计算即可得；
（2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；
（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．
【小问1详解】
解：在中，令得，，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得，，
即w与x之间的函数关系式为：；
【小问3详解】
解：，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为，
即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．
23. 如图，为的直径，切于点，于点，交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）可利用是圆的切线来求证，根据切于点，于点，得到（都和垂直），可根据内错角相等和等边对等角，将相等角进行替换即可得出；
（2）连接交于，交于，得到，从而，有，由（1）知，，由垂径定理可得，，由三角形中位线定理可知，，由得到 ，，代入得到，解得．
【小问1详解】
证明：切于点，
，
于点，
，
，
在中，，
，
，
平分；
【小问2详解】
解：连接交于，交于，如图所示：
，
由（1）知，
，
由垂径定理可得
，
由三角形中位线定理可知，
，
由（1）知，，
，
，
，
，，
，
，即，解得．
【点睛】本题考查圆的综合，涉及圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，灵活掌握圆中求线段长的方法是解决问题的关键．
24. 已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，点坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式的解集；
（4）若为直角三角形，直接写出值．
【答案】（1），
（2）
（3）不等式的解集为：或
（4）n的值为：-6，6，，
【解析】
【分析】（1）根据待定系数求得反比例函数解析式，进而求得点的坐标，根据的坐标待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）求得直线与轴交于点，根据求解即可
（3）由图象可得，直线在双曲线上方部分时，求得的取值范围；
（4）分分别为直角三角形的斜边，三种情况讨论，根据勾股定理建立方程求解即可．
【小问1详解】
把代入，得，
所以反比例函数解析式为，
把代入，得，
解得，
把和代入，得，
解得，
所以一次函数的解析式为；
【小问2详解】
设直线与轴交于点，
中，令，则，
即直线与轴交于点，
∴；
【小问3详解】
由图象可得，不等式的解集为：或.
【小问4详解】
，， ，
，，
①当是斜边时，
解得: 或.
①当是斜边时，
解得:
①当是斜边时，
解得:
的值为：-6，6，，.
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数结合，勾股定理，解一元二次方程，第三问中注意分类分类是解题的关键．
25. 【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．易知___________．
【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则___________．
【拓展提升】
如图3，和都是直角三角形，，且，连接，．
（3）求的值；
（4）延长交于点，交于点．求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的性质及SAS证明，从而得出结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质，证明，进而得出结果；
（3）先证明，再证得，根据相似三角形的性质进而得出结果；
（4）在（3）的基础上得出，进而，再根据勾股定理及正弦的定义进一步得出结果．
【小问1详解】
证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵和都是等腰直角三角形，
，，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：；
【小问3详解】
解： ，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
；
【小问4详解】
由（3）得：，
∴，
∵，
∴，
∵，设，则，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了求正弦，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
26. 若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．
①若点N在线段上，且，求点M的坐标；
②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为
根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解．
【小问1详解】
解：二次函数的图象经过点，
．
又抛物线经过点，对称轴直线，
解得∶
抛物线的表达式为．
小问2详解】
解∶①设直线的表达式为．
点A，B的坐标为，，
∴， 解得∶ ，
直线的表达式为．
根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称，
．
设点N的坐标为．
轴，
．
∴
．
，
解，得．
点M的坐标；
②连接与交与点E．
设点M的坐标为，则点N的坐标为
四边形是正方形，
，，．
∵MN⊥x轴，
轴．
E的坐标为．
．
．
∴P的坐标．
点P在抛物线上，
．
解，得，．
点P在第四象限，
舍去．
即．
点M坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．