2022-2023学年山东省济南市历城区九年级上学期数学12月月考试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省济南市历城区九年级上学期数学12月月考试题及答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】俯视图是从物体的上面看所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
【详解】如图所示，俯视图为：
故选：B
【点睛】本题考查了三视图，注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
2. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则csB的值是( ) .
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦的定义解答即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，

故选C.
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦是解题的关键．
3. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ）
A. 15个B. 20个C. 30个D. 35个
【答案】D
【解析】
【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，根据概率公式计算即可．求出黄球的个数，即可求解．
【详解】解：∵摸到黄球的频率稳定在左右
∴黄球的个数为
∴布袋中白球可能有
故选：D
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：
且
故选：B
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
5. 若A（﹣3，y1），，C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y2＜y1＜y3B. y1＜y3＜y2C. y1＜y2＜y3D. y3＜y2＜y1
【答案】A
【解析】
【分析】求出二次函数对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．
【详解】解：对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∵a＝1＞0，
∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴y2＜y1＜y3．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解是解题的关键．
6. 如图，是的直径，点D在上，若，则的度数是（ ）
A. 20°B. 30°C. 40°D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】根据邻补角的性质求得的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求得的度数．
【详解】解：∵
∴，
∴
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握相关定理是解本题的关键．
7. 如图，点，，，在上，是的一条弦，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接CD，由圆周角定理可得出∠OBD=∠OCD，根据点D(0，3)，C(4，0)，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形OCD中利用三角函数即可求出答案．
【详解】解：连接CD，
∵D(0，3)，C(4，0)，
∴OD=3，OC=4，
∵∠COD=90°，
∴，
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD=，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
8. 如图，当ab＞0时，函数y＝ax2与函数y＝bx+a的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据一次函数和二次函数图像得出a、b的取值，看看是否一致，且ab＞0即可．
【详解】A．根据一次函数得出a＜0，b＞0，根据二次函数得出a＞0，则ab＜0，故本选项错误；
B．根据一次函数得出a＞0，b＜0，根据二次函数得出a＞0，则ab＜0，故本选项错误；
C．根据一次函数得出a＜0，b＜0，根据二次函数得出a＜0，则ab＞0，故本选项正确；
D．根据一次函数得出a＜0，b＞0，根据二次函数得出a＜0，则ab＜0，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像和性质的应用，能根据函数图像正确判断a、b的取值范围是解答此题关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，在中，点在轴上，，函数的图象经过点与边的中点，则的值为（ ）
A. 24B. C. 36D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点B作轴于点C，设，由勾股定理得，再根据中点公式得，由点D在反比例函数图象上，求出x的值，再代入即可求出k的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵点B在反比例函数上，
∴设，
如图，过点B作轴于点C，
由勾股定理，，即，
∵D是AB中点，
∴由中点公式，，
∵点D在反比例函数上，
∴，解得，经检验是方程的解，
将代入，解得，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的特点，利用数形结合的思想求解．
10. 已知函数（a为常数），当时，y随x增大而增大．是该函数图象上的两点，对任意的和，总满足，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】抛物线的对称轴为，当时，y随x增大而增大．由，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，抛物线对称轴在x=4及左侧，,解得，对任意的和，总满足，由，差的最大值是上的最大值与最小值的差，抛物线的最小值为y2=，抛物线的最大值为，x=5时，y1=，可得-，解得，可得实数a的取值范围是．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
当时，y随x增大而增大．
∵，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴，
解得，
对任意的和，总满足，
∵，
∴差的最大值是上的最大值与最小值的差，
把抛物线配方得：，
在区间内，
抛物线的最小值为y2=，
抛物线的最大值为，x=5时，y1=，
∵总满足，
∴-，
解得，
∴实数a的取值范围是，
故选择：B．
【点睛】本题考查抛物线中参数的范围，掌握抛物线的对称轴，抛物线的增减性，抛物线的最大值与最小值，一元一次不等式．
二、填空题（每题4分）
11. 如图，在中，，，，，则的长_____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例进行求解即可．
【详解】解：∵
∴，
∴
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到新抛物线的表达式是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的表达式为：，
故答案是：．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
13. 育才学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的3名同学（1男2女）组成了“关爱老人”志愿小分队．若从该小分队中任选2名同学参加周末的志愿活动，则恰好是1男1女的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果，求出有4种情况，利用概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意，画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中一男一女的共有4种，
所以恰好是1男1女的概率为．
故答案为：
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
14. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长．
【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，
∵OE=3，OA=4，
∴根据勾股定理得，
∵AE=BE，
∴，
在Rt△AOB中，
即菱形的边长为，
∵点F为的中点，点O为DB中点，
∴ ．
故答案为
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．
15. 如图，为等腰直角三角形，，，与相切于，则图中阴影部分的面积是______________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，求得的面积和扇形的面积，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
由题意可得：，
又∵，，
∴，，
则阴影部分的面积=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了不规则图形的面积求解，涉及了直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
16. 如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为__．
【答案】
【解析】
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【详解】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OMCD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝21，
∴OMCD，
即OM的最大值为；
故答案为．
【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键，也是难点．
三、解答题
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】利用特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式，负整数指数幂法则计算即可求出值．
【详解】解：原式=
．
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂，二次根式，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：整理得：，
，
，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
19. 如图，矩形ABCD中，点M在DC上，AM=AB，且BN⊥AM，垂足为N，证明：△ABN≌△MAD；
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得对边平行，四个角都是直角，进而可得两对相等的角，再利用“AAS”即可求证结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠D=90°
∴∠DMA=∠MAB
∵BN⊥AM，
∴∠D=∠ANB=90°
又∵AM=AB
∴△ABN≌△MAD（AAS）．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的对边平行、四个角都是直角的性质．
20. 在中国共青团成立一百周年之际，某校举行了以“青春心向党，建功新时代”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图．“”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．
竞赛成绩分组统计表
请根据以上信息，解答下列问题：
（1） ；
（2）“”这组数据的众数是 分；
（3）扇形统计图中第3组对应圆心角为 ；
（4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．
【答案】（1）12 （2）96
（3）
（4）120
【解析】
【分析】（1）先由1组的信息求解总人数，再利用总人数乘以，可得的值；
（2）由这一组出现次数最多的是分，从而可得答案；
（3）用乘以第3组所对应百分比，即可得到答案；
（4）由1200乘以96分及96分以上的学生的占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：由扇形图可得：1组频数为8人，占比，
所以总人数为：人，
由2组占，
所以：，
故答案为：12；
【小问2详解】
解：由这一组的数据为：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．
出现次数最多的是：分，
所以这一组的众数为：分，
故答案为：96；
【小问3详解】
解：由扇形图可得：3组占：，
所以第3组对应圆心角的度数为；
故答案为：；
【小问4详解】
解：由题意可得96分及96分以上的学生有5人，
所以全校1200名学生中获奖的人数为：人．
【点睛】本题考查是从扇形图与频数分布表中获取信息，频数与频率，利用样本估计总体，众数的含义，加权平均数的计算，熟悉扇形图与频数分布表之间的关联关系是解题的关键．
21. 开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）．
【答案】拂云阁DC的高度约为32m
【解析】
【分析】延长交于点，则四边形是矩形，则，，在，中，分别表示出，根据，建立方程，解方程求解可得，根据即可求解．
【详解】如图，延长交于点，则四边形是矩形，
则，，
在中，，
在中，，
，
即，
解得，
(m)．
拂云阁DC的高度约为32m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
22. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）；
（2）19，605．
【解析】
【分析】（1）根据题中已给的数据，利用待定系数法即可求解；
（2）根据每天的销售利润等于每天的销量乘以每件的销售利润，即可得出w关于x的函数解析式，再利用二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设每天的销量y与每件售价x之间的函数关系式为：，
由题意可知：，
解得：，
故y与x之间的函数关系式为：；
【小问2详解】
解：依题意得：
；
，且x为整数，
，w的函数图象开口向下，
当时，w有最大值，最大值为605，
答：当每件消毒用品的售价为19元时，每天的销售利润最大，最大利润是605元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系列出式子．
23. 如图，已知是⊙O的直径，C为⊙O上一点，的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求DE的长．
【答案】（1）见详解 （2）3
【解析】
【分析】（1）连接，先由，可得，再由是⊙O的切线，可得，，即可求证．
（2）先由的值得出和的关系，在利用勾股定理求得的长，通过推理可证，得出成比例线段求解．
【小问1详解】
连接，如图
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是⊙O的切线，
∴，，
∴．
【小问2详解】
∵是⊙O的直径，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，即，
解得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及三角函数逆运用，解答此题的关键是作出辅助线．
24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点C．
（1） ， ；
（2）过点A作轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点E，当时，求点P的坐标．
（3）点M是坐标轴上的一个动点，点N是平面内的任意一点，当四边形是矩形时，求出点M的坐标．
【答案】（1）1,12
（2）
（3）或．
【解析】
【分析】(1)根据点B的坐标，利用待定系数法即可求出、的值；
(2)根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、C的坐标，根据梯形的面积公式求出的值，进而即可得出的值，结合三角形的面积公式即可得出点E的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，再联立直线与双曲线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标；
(3) 过点B作直线交x轴于点交y轴于点，作出符合题意的图形，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出、的坐标即可．
【小问1详解】
解：将点代入，
，
解得：，
故一次函数的解析式为；，
将点代入，
，解得：，
故反比例函数的解析式为；
故答案：1,12
【小问2详解】
解：依照题意，画出图形，如图所示．
当时，，
∴点A的坐标为；
当时，，
∴点C的坐标为，
∵，，
∴，
∴，即点E的坐标为，
设直线的解析式为，
将点代入，得
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得：，，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为；
【小问3详解】
解：过点B作直线交x轴于点交y轴于点，依照题意画出图形，如图所示．
则时，四边形与是满足题意的矩形，
∵直线的解析式为，
∴可设直线的解析式为，
把点代入得到，
解得，
直线解析式为，
当时，，
当时，，解得，
∴，，
故点M的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求出一次函数及反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、梯形(三角形)的面积公式、矩形的性质，解题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线．
25. 在中，，点D，E分别是的中点，点P是射线上一点，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．
（1）问题发现
如图（1），当点P与点D重合时，线段与的数量关系是 ， ．
（2）探究证明
当点P在射线上运动时（不与点E重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明．
（3）问题解决
若，连接，当是等边三角形时，直接写出的长度．
【答案】（1），45
（2）结论成立，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
（2）结论不变．连接．证明，推出，，可得结论．
（3）当点P在点E的上方时，过点P作于Q．设，则，，可得，从而得到，进而得到，即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图（1）中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：，45．
【小问2详解】
结论成立，证明如下：
如图（2）中，连接．
∵，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【小问3详解】
当点P在点E的上方时，如图（3）中，过点P作于Q．
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在直线上方的抛物线上有一动点E，连接，与直线相交于点F，当时，求E点坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是抛物线上一点，当以M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）
（2），
（3）M的坐标为或)或或或
【解析】
【分析】（1）先求出A、C两点坐标，再用待定系数法求解；
（2）如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则易得，设点E的横坐标为t，则，利用相似三角形的性质可求出点F的坐标，再根据与的关系列出关于t的方程，解方程可求出t的值，即可求出点E的坐标；
（3）分两种情况：①当为菱形的边时，②当为菱形的对角线时，分别求解即可.
【小问1详解】
在中，当时，当时，
∴、，
∵抛物线的图象经过A、C两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
令，解得，，∴，
设点E的横坐标为t，则，
如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点F的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得，，
当时，，
当时，，
∴，，
【小问3详解】
∵抛物线的解析式为，
抛物线顶点坐标为，对称轴方程为，
在（2）的条件下，
∵点E位于对称轴左侧，
∴，
∵点M是抛物线对称轴上一点，
∴设，
∵，
∴， ，，
①当为菱形的边时，，即,，
∴，
∴，
∴或；
②当为菱形的对角线时，，即，
∴，
解得，
∴；
③当，即，
∴，
∴或，
∴或；
综上所述，M的坐标为或)或或或
【点睛】本题是二次函数综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，勾股定理及菱形的判断和性质，两点间的距离公式等知识点，解决本题的关键是综合运用以上知识．
组别
竞赛成绩分组
频数
平均分
1
8
65
2
a
75
3
b
88
4
10
95