重难点专题02 函数值域与最值十四大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题02函数值域与最值十四大题型汇总
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc144322182" 题型1幂函数值域问题 PAGEREF _Tc144322182 \h 1
\l "_Tc144322183" 题型2指数函数值域问题 PAGEREF _Tc144322183 \h 3
\l "_Tc144322184" ◆类型1值域相关问题 PAGEREF _Tc144322184 \h 3
\l "_Tc144322185" ◆类型3由函数奇偶性求解析式 PAGEREF _Tc144322185 \h 5
\l "_Tc144322186" 题型3对数函数值域问题 PAGEREF _Tc144322186 \h 5
\l "_Tc144322187" ◆类型1值域相关问题 PAGEREF _Tc144322187 \h 5
\l "_Tc144322188" ◆类型2定义域与值域为R问题 PAGEREF _Tc144322188 \h 6
\l "_Tc144322189" ◆类型3新定义相关问题 PAGEREF _Tc144322189 \h 7
\l "_Tc144322190" 题型4分式型函数值域问题 PAGEREF _Tc144322190 \h 7
\l "_Tc144322191" 题型5对钩与双刀函数值域问题 PAGEREF _Tc144322191 \h 9
\l "_Tc144322192" 题型6分段函数值域问题 PAGEREF _Tc144322192 \h 10
\l "_Tc144322193" 题型7绝对值函数值域问题 PAGEREF _Tc144322193 \h 11
\l "_Tc144322194" 题型8高斯函数值域问题 PAGEREF _Tc144322194 \h 12
\l "_Tc144322195" 题型9“倍缩”函数值域问题 PAGEREF _Tc144322195 \h 14
\l "_Tc144322196" 题型10“类周期函数”值域问题 PAGEREF _Tc144322196 \h 15
\l "_Tc144322197" 题型11抽象函数值域问题 PAGEREF _Tc144322197 \h 17
\l "_Tc144322198" 题型12复合函数值域问题 PAGEREF _Tc144322198 \h 17
\l "_Tc144322199" 题型13三角函数值域问题 PAGEREF _Tc144322199 \h 18
\l "_Tc144322200" 题型14函数中的两边逼近思想 PAGEREF _Tc144322200 \h 20
题型1幂函数值域问题
【例题1】（2022·全国·高三专题练习）对于函数f(x)=ax2+bx,其中b>0,若fx的定义域与值域相同,则非零实数a的值为 .
【变式1-1】1. （2023·全国·高三对口高考）若函数f(x)=x2−6x−16的定义域为[0,m]，值域为[−25,−16]，则m的取值范围为 .
【变式1-1】2．（2017春·贵州贵阳·高三阶段练习）若函数f(x)=ax2+bx+c（a,b,c∈R）的定义域和值域分别为集合A,B，且集合{(x,y)|x∈A,y∈B}表示的平面区域是边长为1的正方形，则b+c的最大值为 ．
【变式1-1】3．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=−x2+2x.另一个函数y=g(x)的定义域为[a，b]，值域为[1b,1a]，其中a≠b，a，b≠0.在x∈[a，b]上，g(x)=f(x).求a，b.
【变式1-1】4. b，c∈R，二次函数f(x)=x2+bx+c在(0,1)上与x轴有两个不同的交点，求c2+(1+b)c的取值范围.
【变式1-1】5．（多选）（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数fx=ax3+1−ax，则（ ）
A．函数fx为奇函数
B．当f1a=1时，a=−12或1
C．若函数fx有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为0,1
D．若函数fx在区间−1,1上的值域为−1,1，则实数a的取值范围为−12,4
【变式1-1】6．（2023·全国·高三专题练习）定义：区间x1,x2的长度为x2−x1.已知函数y=x2+1的定义域为a,b，值域为1,2，记区间a,b的最大长度为m，最小长度为n.则函数gx=ex−mx+n的零点个数是（ ）
A．1B．2C．0D．3
【变式1-1】7．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知f(x)=x3−3x，函数y=f(x)的定义域为a,b(a,b∈Z),y=f(x)的值域为a,b的子集，则这样的函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．无数个
题型2指数函数值域问题
◆类型1值域相关问题
【例题2-1】（2023·全国·高三专题练习）若2x2+1≤14x−2，则函数y=2x的值域是（ ）
A．18,2B．18,2
C．−∞,18D．[2,+∞)
【变式2-1】1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=22x−2x+1+2的定义域为M，值域为[1,2]，下列结论中一定成立的结论的序号是（ ）
A．M⊆(−∞,1]B．M⊇[−2,1]C．1∈MD．0∈M
【变式2-1】2．（2023·全国·模拟预测）使函数f(x)=ex−a的值域为[0,+∞)的一个a的值为 ．
【变式2-1】3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）对任意实数a>1，函数y=a−1x−1+1的图象必过定点Am,n，fx=nmx的定义域为[0，2]，gx=f2x+fx，则下列结论正确的是（ ）
A．m=1，n=2B．gx的定义域为[0，1]
C．gx的值域为[2，6]D．gx的值域为[2，20]
【变式2-1】4．（2020·全国·高三专题练习）设函数f(x)=axax+1，(a>0且a≠1)，m表示不超过实数m的最大整数，则函数f(x)−12+f(−x)+12的值域是（ ）
A．0,1,2B．−1，0C．−1,0,1D．0,1
◆类型2定义域与值域为[ma,na]型
【例题2-2】（2023秋·山东济南·高三济南市历城第二中学校考开学考试）给出定义：如果函数y=f(x)的定义域为[a ， b]，值域也是[a ， b]，那么称函数f(x)为“保域函数”.下列函数中是“保域函数”的有 （填上所有正确答案的序号）.
①f(x)=2x，x∈[0,2]；
②f(x)=x2+x−1，x∈[−1,1]；
③f(x)=43⋅2x−53，x∈[−1,1]；
④f(x)=e2−12lnx+1，x∈1,e2.
【变式2-2】1. （2020春·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考开学考试）若函数y=ax(a>1)的定义域和值域均为m,n,则a的范围是 .
【变式2-2】2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)=ax(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是 ．
【变式2-2】3．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知f(x)=x3−3x，函数y=f(x)的定义域为a,b(a,b∈Z),y=f(x)的值域为a,b的子集，则这样的函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．无数个
【变式2-2】4．（2023·全国·高三专题练习）对于区间a,ba◆类型3由函数奇偶性求解析式
【例题2-3】（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考三模）已知fx，gx分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且fx+gx=ex，若关于x的不等式2fx−ag2x≥0在0,ln3上恒成立，则正实数a的取值范围是（ ）
A．158,+∞B．0,+∞C．−∞,158D．0,158
【变式2-3】（2022春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知定义域为R的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足：f(x)+g(x)=2x．若存在实数a，使得关于x的不等式(nf(x)−a)(g(x)−a)≤0在区间[1,2]上恒成立，则正整数n的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型3对数函数值域问题
◆类型1值域相关问题
【例题3-1】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）定义域为R的函数fx满足：当x∈0,1时，fx=2x−x，且对任意的实数x，均有fx+fx+1=1，记a=lg23，则fa+f2a+f3a=（ ）
A．−32B．32C．1716D．−1716
【变式3-1】1．（2021秋·湖南益阳·高三益阳市箴言中学校考阶段练习）设函数f(x)=lgax(a>0且a≠1)的定义域为[m,n]（m【变式3-1】2．（2019秋·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知y=lg2(x2−2x+17)的值域为[m,+∞)，当正数a,b满足23a+b+1a+2b=m时，则7a+4b的最小值为（ ）
A．94B．1C．5+224D．2
【变式3-1】3．（2019秋·江苏盐城·高三校考阶段练习）已知fx=lnx+82−x定义域为D，对于任意x1，x2∈D，当x1−x2=2时，则fx1−fx2的最小值是 ．
【变式3-1】4．（2023·高三课时练习）已知函数fx=lgax−3x+3的定义域为α,β，值域为lgaaβ−1,lgaaα−1，且函数fx为α,β上的严格减函数，求实数a的取值范围.
◆类型2定义域与值域为R问题
【例题3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lg3mx2+8x+nx2+1的定义域为R，值域为[0,2]，求m，n的值．
【变式3-2】1．（2019·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=1g[(m2−3m+2)x2+2(m−1)x+5]，m∈R.
(1)若函数f(x)的定义域为R求实数m的取值范围；
(2)若函数f(x)的值域为R求实数m的取值范围．
【变式3-2】2．（2022·全国·高三专题练习）若函数fx=lg2kx2+2k−1x+14的值域为R，则实数k的取值范围为 ．
【变式3-2】3．（2020·全国·高三专题练习）设函数y=lga(ax2+x+a) 的定义域是R时，a的取值范围为集合M；它的值域是R时，a的取值范围为集合N，则下列的表达式中正确的是（ ）
A．M⊇NB．M∪N=RC．M∩N=∅D．M=N
◆类型3新定义相关问题
【例题3-3】（2022·全国·高三专题练习）设函数fx的定义域为I，若存在a,b⊆I，使得fx在区间a,b上的值域为ka,kbk∈N∗，则称fx为“k倍函数”.已知函数fx=lg33x−m为“3倍函数”，则实数m的取值范围为（ ）
A．0,239B．−239,0C．239,+∞D．−∞,239
【变式3-3】1．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)的定义域为D，若满足：（1）f(x)在D内是单调函数；（2）存在m2,n2⊆D，使得f(x)在m2,n2上的值域为[m,n]，那么就称函数f(x)为“梦想函数”．若函数f(x)=lgaax+t(a>0,a≠1)是“梦想函数”，则t的取值范围是 ．
【变式3-3】2．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a,b]⊆D使f(x)在[a,b]上的值域为[na,nb](n∈N+,n>1)，那么就称y=f(x)为“域n倍函数”，若函数f(x)=lga(ax+t),(a>0,a≠1)是“域2倍函数”，则t的取值范围为
题型4分式型函数值域问题
【例题4】（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知函数fx=x2x−3,下列结论正确的是（ ）
A．fx在0,6上单调递减B．fx的图象关于点3,6对称
C．曲线y=fx与x轴相切D．fx的值域为−∞,0∪12,+∞
【变式4-1】1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=1−4xx2+4的定义域是a,b（a，b∈Z），值域为0,1，则满足条件的整数对a,b可以是（ ）
A．−2,0B．−1,1
C．0,2D．−1,2
【变式4-1】2．（多选）（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数fx=ax+2x+2a∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．fx的定义域为−∞,−2∪−2,+∞
B．fx在−1,0上的值域为2−a,1
C．若fx在−∞,−2上单调递减，则a<1
D．若a>1，则fx在定义域上单调递增
【变式4-1】3．（2022·全国·高三专题练习）定义区间x1,x2长度x2−x1x2>x1为，已知函数fx=a2+ax−1a2x(a∈R,a≠0) 的定义域与值域都是m,n，则区间m,n取最大长度时a的值为 .
【变式4-1】4．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称取整函数，例如：[−3.7]=−4，[2.3]=2.已知f(x)=3x−13x+2,则函数y=f(x)的值域为（ ）
A．−12,1B．−12,1C．−1,0D．−1,0
【变式4-1】5．（2020·全国·高三对口高考）已知函数gx=ax2+8x+bx2+1的值域是{y∣1≤y≤9}，求函数fx=ax2+8x+b的定义域和值域．
【变式4-1】6. 已知a,b,c为非零实数，f(x)=ax+bcx+d,x∈R，且f(2)=2,f(3)=3.若当x≠−dc时，对于任意实数x，均有f(f(x))=x，则f(x)值域中取不到的唯一的实数是_________．
【变式4-1】7.（多选） （2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知函数fx=2x2x+1，则（ ）
A．函数fx是增函数
B．曲线y=fx关于0,12对称
C．函数fx的值域为0,12
D．曲线y=fx有且仅有两条斜率为15的切线
题型5对钩与双刀函数值域问题
【例题5】（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x+kx具有以下性质：如果常数k>0，那么函数f(x)在区间(0,k)上单调递减，在区间[k,+∞）上单调递增，若函数y=x+a−1x(x≥1)的值域为[a,+∞)，则实数a的取值范围是 .
【变式5-1】1. （2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=x−1x2+xx>1，则函数的值域是 .
【变式5-1】2. （2023·全国·高三专题练习）对于定义在R上的奇函数y=fx，当x>0时，fx=2x+92x+1，则该函数的值域为 .
【变式5-1】3．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）下列函数f1x=sin2x+1sin2x,f2x=x+1x,f3x=ex+1ex,f4x=lnx+1lnx中，函数值域与函数fx=x+1x的值域完全相同的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式5-1】4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=x4−x2x6−16x3−1,x∈0,1，则该函数的值域为 .
【变式5-1】5.函数f(x)=4x+2x+1+52x+1的值域为（ ）
A．[5,+∞)B．[4,+∞)C．(5,+∞)D．(4,+∞)
题型6分段函数值域问题
【例题6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=−x2+2x+3,x≤26+lgax,x>2(a>0且a≠1)，若函数fx的值域是−∞,4，则实数a的取值范围是（ ）
A．22,1B．22,1
C．1,2D．1,2
【变式6-1】1. （2023·全国·高三专题练习）设函数y=fx由关系式xx+yy=1确定，函数gx=−fx,x≥0,f−x,x<0.，则（ ）
A．gx为增函数B．gx为奇函数
C．gx值域为[−1,+∞)D．函数y=f−x−gx没有正零点
【变式6-1】2. （2023·北京·高三专题练习）设函数f(x)=lnx,x>0,x2+4x+1,x≤0.给出下列四个结论：①函数f(x)的值域是R；②∀a>1，方程f(x)=a恰有3个实数根；③∃x0∈R+，使得f−x0−fx0=0；④若实数x1【变式6-1】3. （2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数sgn(x)=−1,x<00,x=01,x>0，关于函数f(x)=sgn(x−π)sinx有如下四个命题：
①fx在π2，π上单调递减； ②f(lg2)=−flg12；
③fx的值域为−1，1； ④fx的图象关于直线x=π对称.
其中所有真命题的序号是 .
【变式6-1】4. （2023·北京·高三专题练习）设函数f(x)=e−x,x<0x,x≥0，f(x)的值域是 ，设g(x)=f(x)−a(x−1)，若g(x)恰有两个零点，则a的取值范围为 ．
题型7绝对值函数值域问题
【例题7】（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设0【变式7-1】1. （2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)=2x−1的定义域和值域都是[a,b]，则a+b= ．
【变式7-1】2. （2022秋·上海嘉定·高三校考期中）已知f(x)=(x−a)⋅(x−3a)，若函数y=f(x),x∈[0,1]的值域为[0,f(1)]，则实数a的取值范围是 .
【变式7-1】3. （2022·全国·高三专题练习）已知fx是定义在R上的奇函数，且fx+1=2fx−1.若当x∈0,1时，fx=1−2x−1，则fx在区间−1,3上的值域为 ，gx=fx−45x在区间−1,3内的所有零点之和为
【变式7-1】4. （2020秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数fx＝−13x3＋4x，且函数g(x)=f(x)−k−1有且只有两个零点，若ℎ(k)=lg(9k2−360)，则ℎ(k)的值域为（ ）
A．(−∞,3) B．(−193,0)
C．(0,+∞) D．(−9,163)
【变式7-1】5.（2023·北京·高三专题练习）设函数f(x)=lnx,x>0,x2+4x+1,x≤0.给出下列四个结论：①函数f(x)的值域是R；②∀a>1，方程f(x)=a恰有3个实数根；③∃x0∈R+，使得f−x0−fx0=0；④若实数x1题型8高斯函数值域问题
【例题8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ex−e−xex+e−x，g(x)=[f(x)]（[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.5]=1，[−0.5]=−1），则关于f(x)和g(x)这两个函数，以下说法错误的是（ ）
A．f(x)是R上的增函数B．f(x)是奇函数
C．g(x)是非奇非偶函数D．g(x)的值域是{−1,0,1}
【变式8-1】1. （2023·全国·高三对口高考）给定集合A=a1,a2,a3⋯ann∈N,n≥2，定义ai+aj1≤i①若A=0,1,2,3，则LA= ；
②定义函数fx=x⋅x其中x表示不超过x的最大整数，如1.5=1，−1.3=−2，当x∈n,n+1n≥3,n∈N时，函数fx的值域为A，若LA=2013，则n= ；
【变式8-1】2. （2023春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知x∈R，符号x表示不超过x的最大整数，若函数fx=xxx>0，则给出以下四个结论：
①函数fx的值域为0,1；
②函数fx的图象是一条连续的曲线；
③函数fx是(0,+∞)上的减函数；
④方程fx=a有且仅有3个根时，34其中正确的序号为 ．
【变式8-1】3. （2022秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考开学考试）定义函数f(x)=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1，[-1.5]=-2，[2]=2，当x∈[0,n)时，f(x)的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋯+1a2021−1的值为 .
【变式8-1】4. （多选）（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2．下列命题是真命题的是（ ）
A．∃x∈R，x⩾[x]+1
B．∀x,y∈R，[x]+[y]⩽[x+y]
C．函数y=x−[x](x∈R)的值域为[0,1)
D．若∃t∈R，使得[t3]=1，[t4]=2，[t5]=3，…，[tn]=n−2同时成立，则正整数n的最大值是5
题型9“倍缩”函数值域问题
【例题9】（2023春·浙江宁波·高三宁波市北仑中学校考期中）已知函数fx=x+1+m，若存在区间a,b(b>a≥−1)，使得函数fx在a,b上的值域为2a,2b，则实数m的取值范围是（ ）
A．m>−178B．0C．m≤−2D．−178【变式9-1】1. （2023·全国·高三专题练习）对于函数y=f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时，f(x)的值域为[ka,kb]，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=ex是k倍值函数，则k的取值范围为（ ）
A．(0,1e)B．(1,e)C．(e,+∞)D．(1e,+∞)
【变式9-1】2. (多选)（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间[a,b]⊆D，使得函数f(x)同时满足①f(x)在[a,b]上是单调函数；②f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb](k>0)，则称区间[a,b]为f(x)的“k倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（ ）
A．f(x)=lnxB．f(x)=1x(x>0)
C．f(x)=x2(x≥0)D．f(x)=x1+x2(0≤x≤1)
【变式9-1】3. （2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)=xlnx+2，若存在区间[a,b]⊆1e,e，使f(x)在[a,b](a≠b)上的值域为[k(a+1),k(b+1)]，则实数k的取值范围是 ．
【变式9-1】4. （2022秋·江苏宿迁·高三校考开学考试）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)，满足f(x+1)为偶函数，且方程f(x)=x有两个相等的实数根，若存在区间[m,n]使得f(x)的值域为[3m,3n]，则m+n= ．
【变式9-1】5. （2022秋·重庆北碚·高三统考阶段练习）已知0≤m(1)若f(x)=1−1x是第k类函数，求k的取值范围；
(2)若f(x)=4x−x2是第2类函数，求m,n的值.
题型10“类周期函数”值域问题
【例题10】（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数f(x)，当x∈[−1,1]时，f(x)=x2+x，且对任意x，满足f(x+3)=2f(x)，则f(x)在区间[5,7]上的值域是 .
【变式10-1】1. （2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=1−1−x,0≤x≤22f(x−2),x>2，其中a∈R，给出以下关于函数fx的结论：
①f92=2②当x∈0,8时，函数fx值域为0,8③当k∈45,1时方程fx=kx恰有四个实根④当x∈0,8时，若fx≤2x2+a恒成立，则a≥1−2．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式10-1】2. （多选）（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）已知函数fx=8−81−x,0≤x≤2,12fx−2,x>2,则下列说法正确的是（ ）
A．f112=1
B．当x∈2,6时，函数fx值域为0,4
C．当k∈17,25时，方程fx=kx恰有6个实根
D．若fx≥2−x+aa∈R恒成立，则a≤−1．
【变式10-1】3. （多选）（2022秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）已知函数fx的定义域为0,+∞，且满fx=2x−1,x∈0,1lg23−x,x∈1,2当x≥2时，fx=λfx−2，λ为非零常数，则下列说法正确的是（ ）
A．当λ=−1时，flg280=14
B．当λ>0时，fx在10,11单调递增
C．当λ<−1时，fx在0,4nn∈N∗的值域为λ2n−1,λ2n−2
D．当λ>0时，且λ≠1时，若将函数gx=λx−12与fx的图象在0,2nn∈N∗的m个交点记为xi,yi（i=1，2，3，…m），则i=1mxi+yi=n2+λn−1
【变式10-1】4.（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)的定义域为R，满足f(x−2)=2f(x)，且当x∈(0,2]时，f(x)=x(2−x).若对任意x∈[a,+∞)，都有f(x)≤38成立，则a的取值范围是（ ）
A．72,+∞B．52,+∞
C．−∞,−32D．−∞,−52
【变式10-1】5.（2022秋·广东深圳·高三北师大南山附属学校校考阶段练习）设函数fx的定义域为R，满足f(x−2)=2f(x)，且当x∈−2,0时，f(x)=−2x(x+2)．若对任意x∈m,+∞，都有f(x)≤34，则m的取值范围是
题型11抽象函数值域问题
【例题11】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数fx的定义域为R，值域为0,+∞，且fx−yfx+y=f2x,f12=2，函数gx=fx+f−x的最小值为2，则k=16fk2=（ ）
A．12B．24C．42D．126
【变式11-1】1. （2023·全国·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，值域为0,+∞，若fx+1fx−1=4，函数fx−2为偶函数，f2024=1，则n=12023fn=（ ）
A．4050B．4553C．4556D．4559
【变式11-1】2. （2022秋·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）设定义在R上的函数fx满足f0=1，且对任意的x、y∈R，都有2fxy+1=fx⋅fy−fy −2x+6，则函数gx=x−fx的值域为（ ）
A．1,+∞B．−1,+∞
C．0,+∞D．−12,+∞
题型12复合函数值域问题
【例题12】（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)={−x+1,(x≤1)2x−1,(x>1)，则函数F(x)=f(f(x))−2f(x)的值域为 .
【变式12-1】1. （2023·全国·高三专题练习）已知函数fx是0,+∞上的单调函数，且ffx−x−lg2x=5，则fx在1,8上的值域为（ ）
A．2,10B．3,10C．2,13D．3,13
【变式12-1】2. （2022秋·福建福州·高三福州三中校考阶段练习）定义在R上的函数fx的值域为0,π2，且sinfx=csf2x−1.若f2=1，则（ ）
A．f1=π2B．flg23=1C．f7=π2−1D．f127=π2−1
【变式12-1】3. （2022秋·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）（2022秋·上海浦东新·高三上海南汇中学校考期中）已知定义在R上的偶函数f(x)，满足[f(x)]3−[f(x)]2−x2f(x)+x2=0对任意的实数x都成立，且值域为[0,1].设函数g(x)=x−m−x−1（m<1），若对任意的x1∈(−2,12)，存在x2>x1，使得g(x2)=f(x1)成立，则实数m的取值范围为 .
题型13三角函数值域问题
【例题13】（2022秋·福建福州·高三校联考期中）函数fx=csx−π6−sin3x的值域是 .
【变式13-1】1. （多选）（2022·江苏常州·统考模拟预测）已知函数f(x)=|sinx|csx,x∈R，则（ ）
A．函数f(x)的值域为[−12,12]
B．函数f(x)是一个偶函数，也是一个周期函数
C．直线x=3π4是函数f(x)的一条对称轴
D．方程f(x)=lg4x有且仅有一个实数根
【变式13-1】2.（2022·四川泸州·统考一模）已知函数f(x)=sinπ2x，任取t∈R，记函数f(x)在[t,t+1]上的最大值为Mt，最小值为mt，设ℎ(t)=Mt−mt，则函数ℎ(t)的值域为（ ）
A．1−22,1B．1−22,1+22
C．1−22,2D．22,1+22
【变式13-1】3. （2023·北京海淀·高三专题练习）设函数fx=−acsx1+cs2x,0≤x≤π2−acsx+cs2x,π2（1）当a=1时，fx的值域为 ；
（2）若fx=a恰有2个解，则a的取值范围为 ．
【变式13-1】4. （2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知函数fx=4sinωx+φ+1ω>0,|φ|<π2，满足对∀x∈R,fx1≤fx≤fx2恒成立的x1−x2的最小值为π2，且对任意x均有fπ12+x=fπ12−x恒成立.则下列结论正确的有 .
①函数y=fx的图像关于点−π6,0对称：
②函数y=fx在区间π6,5π12上单调递减；
③函数y=f'x在0,π2上的值域为1−23,5
④y=fx表达式可改写为fx=4cs2x−π6+1：
⑤若x1，x2为函数y=fx的两个零点，则x1−x2为π2的整数倍.
【变式13-1】5. （多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数fnx=sinnx+csnx,n∈N*，则下列说法正确的是（ ）
A．f1x在区间−π3,π4上单调递增
B．f4x的最小正周期为π2
C．f3x的值域为−22,22
D．f4x的图象可以由函数gx=14sin4x的图象，先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到
题型14函数中的两边逼近思想
【例题14】（2021春•湖州期末）若存在正实数x，y使得不等式lnx−x2+1≥lny+4y2−ln4成立，则x+y=（ ）
A．22B．2C．322D．522
【变式14-1】1. （上饶二模）已知实数x，y满足ln(4x+3y−6)−ex+y−2≥3x+2y−6，则x+y的值为
A．2B．1C．0D．−1
【变式14-1】2. 已知函数f(x)=x−2x+2−ax−b，若对任意的实数a，b，总存在x0∈[−1,2]，使得fx0⩾m成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．−∞,14B．−∞,12C．−∞,23D．(−∞,1]
【变式14-1】3. 设a∈R，若x>0时均有[(a−1)x−1](x2−32x−1)⩾0，则a= .
【变式14-1】4. 设函数fx=ax2+bx+c，gx=ax+b，a>0，当x∈−1,1时，fx≤1，且gx的最大值为2，则a−b= ．
【变式14-1】5. 已知a,b为实数，不等式x2+ax+b≤x2−7x+12对一切实数x都成立，则a+b= .
1．（多选）（2023·吉林白山·统考二模）设函数fx的定义域为R，且满足fx=f2−x，fx=−fx+2，当x∈0,1时，fx=xlnx，则（ ）．
A．fx是周期为2的函数
B．f2022=0
C．fx的值域是−e,e
D．方程efx=1在区间0,20232内恰有1011个实数解
2．（多选）（2022·江苏南京·校考模拟预测）已知函数f(x)=−xx−1,x<1lnx+x−1,x≥1，g(x)=kx−k，k∈R，则下列结论正确的是（ ）
A．fx在0,2上单调递增
B．当k=14时，方程fx=gx有且只有2个不同实根
C．fx的值域为−1,+∞
D．若对于任意的x∈R，都有x−1fx−gx≤0成立，则k∈2,+∞
3．（2022·河南驻马店·河南省驻马店高级中学校考模拟预测）设函数f(x)=lg2(1−x),−1≤xA．1B．2C．3D．4
4．（2023·山东·模拟预测）定义在0,π2上的可导函数fx的值域为R，满足f'xtanx≥2sinx−1fx，若fπ6=1，则fπ3的最小值为 .
5．（2008·重庆·高考真题）函数f(x)=sinx5+4csx(0≤x≤2π)的值域是
A．[-14,14]B．[-13,13]
C．[-12,12]D．[-23,23]
6．（2010·天津·高考真题）设函数g(x)=x2−2(x∈R)，f(x)={g(x)−x,x≥g(x).g(x)+x+4,xA．−94,0∪(1,+∞)B．[0,+∞)
C．[−94,+∞)D．−94,0∪(2,+∞)
7．（2008·江西·高考真题）若函数y=f(x)的值域是[12,3]，则函数F(x)=f(x)+1f(x)的值域是
A．[12,3]B．[2,103]C．[52,103]D．[3,103]
8．（2015·福建·高考真题）若函数fx=−x+6,x≤23+lgax,x>2（a>0且a≠1）的值域是4,+∞，则实数a的取值范围是 ．
9．（2011·上海·高考真题）设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若f(x)=x+g(x)在[0,1]上的值域为[−2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为 ．
幂函数主要考察一元二次函数
二次函数在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开口或者讨论△
指数函数画图规律：
1、底数讨论单增单减讨论.
2、“一点一线”伴随.
对于单调函数定义域值域都已知可转化成两个函数相交问题
对数函数画图规律：
1.对数函数中要注意f（b）=f（c）时.bc=1这个特征，.
2.对数函数源于指数函数，所以和指数函数互为反函数.
分式型函数值域问题：
1.分离常数，通过“左加右减上加下减”可求得分式函数的对称中心.
2.特殊的，形如(内反表对称可以证明)
3.注意“水平渐近线和竖直渐近线”
4.分式型函数值域的方法：分离常数法，换元法，判别式法
1.对勾函数图像的特征：(1)渐近线；（2）拐点.
2.双刀函数，可用或者简单判断，要注意“渐近线”.
分段函数的值域等于各段函数值域的并集，同时要注意两段交接处，函数的变化
绝对值函数，主要是分类讨论.
1.一元一次函数加绝对值，是 折线
2.一元二次函数加绝对值，要注意与轴的交点
3.指数函数上下平移后加绝对值，要注意“一点一线”的位置
取整函数（高斯函数）
1.具有“周期性”
2.一端是“空心头”，一端是“实心头”
3.还可以引入“四舍五入”函数作对比因为它具有“类周期性”，所以考查函数值域多与数列关联..
当函数的定义域与值域成倍数时，可以将问题转化为图像有两个交点的问题.
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大.
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0.
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移.