重难点专题19 三角函数零点与恒成立问题四大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题19三角函数零点与恒成立问题四大题型汇总
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145951465" 题型1含有x1与 x2 型 PAGEREF _Tc145951465 \h 1
\l "_Tc145951466" 题型2恒成立问题 PAGEREF _Tc145951466 \h 2
\l "_Tc145951467" 题型3存在成立问题 PAGEREF _Tc145951467 \h 3
\l "_Tc145951468" 题型4零点问题 PAGEREF _Tc145951468 \h 4
题型1含有x1与 x2 型
【例题1】（2023秋·江西抚州·高三阶段练习）已知函数fx=asinx−bcsx（其中a,b为正实数）的图象关于直线x=−π6对称，且∀x1,x2∈R，x1≠x2且fx1fx2≤4恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．a=3,b=1
B．不等式fx1fx2≤4取到等号时x2−x1的最小值为2π
C．函数fx的图象的一个对称中心为23π,0
D．函数fx在区间π6,π上单调递增
【变式1-1】1. （2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知函数fx=acs2x−π4+6sinxcsx−2cs2x+1的图象关于直线x=3π8对称．若对任意x1∈0,π2，存在x2∈0,+∞，使fx1≤2mx22+x2+12成立，则m的取值范围是（ ）
A．m≥−1B．m≥−12C．m≥−14D．m≥−18
【变式1-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知f(x)=|sinx|+csx，g(x)=f(x)+f(x+π2)，若存在x1,x2∈R，对任意x∈R，g(x1)≤g(x)≤g(x2)恒成立，则g(x1)+g(x2)= .
【变式1-1】3. （2021秋·江西南昌·高三阶段练习）函数f(x)=x−2x，x∈1,2，g(x)=acsπx2+5−2a，(a≠0)，对任意的x1∈1,2，总存在x2∈0,1，使得gx2=fx1成立，则a的取值范围为 ．
【变式1-1】4. （2020春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数f(x)=2sinωx，（ω>0）若存在x1∈−23π,0，x2∈0,π4，使得f(x1)=f(x2)则ω的取值范围 ．
【变式1-1】5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=AsinωxA>0,ω>0，若至少存在两个不相等的实数x1,x2∈π,2π，使得fx1+fx2=2A，则实数ω的取值范围是 ．
题型2恒成立问题
【例题2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=sin(wx+ϕ)，(w>0,ϕ<π2),f(−π8)=0,f(x)≤f(3π8)恒成立，且fx在区间−π12,π24上单调，则ω的最大值为 .
【变式2-1】1. （2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=sinωx+acsωx，周期T<2π，f(π3)=3，且在x=π6处取得最大值，则使得不等式λ|ω|≥a恒成立的实数λ的最小值为（ ）
A．310B．311C．312D．313
【变式2-1】2. （2020·全国·高三专题练习）函数f(x)=ex+ax−xcs(x−1)，当x>0时，f(x)>0恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．0,+∞B．1−e,+∞C．−∞,eD．e,+∞
【变式2-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|≤π2,−π4为f(x)的零点：且f(x)≤|f(π4)|恒成立，f(x)在(−π12,π24)区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）
A．11B．13C．15D．17
【变式2-1】4. （2022·上海·高三专题练习）已知函数fx定义在R上的偶函数，在0,+∞是增函数，且fx2+ax+b≤f2x2+4x+1恒成立，则不等式asinπ2x≥b2x−x2−2的解集为 .
题型3存在成立问题
【例题3】（2023·全国·高三专题练习）若对∀x,y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)−4，函数g(x)=2sinxcsx+1+f(x)在区间[−2021,2021]上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【变式3-1】1. （2022·全国·高三专题练习）函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在区间[−5π6,2π3]上单调递增，且存在唯一x0∈[0,5π6]，使得f(x0)=1，则ω的取值范围为（ ）
A．[15,12]B．[25,12]C．[15,45]D．[25,45]
【变式3-1】2. （多选）（2023秋·浙江杭州·高三期末）若函数f(x)=sin(2ωx+π6)−12(ω>0)在区间(0,π24)上单调递增，则（ ）
A．存在ω，使得函数f(x)为奇函数
B．函数f(x)的最大值为12
C．ω的取值范围为(0,4]
D．存在4个不同的ω，使得函数f(x)的图象关于直线x=π2对称
【变式3-1】3. （2023·上海·高三专题练习）若存在实数φ，使函数fx=csωx+φ−12ω>0在x∈π,3π上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为
【变式3-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知fx=sin3x+φφ<π2为奇函数，若对任意α∈−π9,2π9，存在β∈−π9,α，满足fα+fβ=0，则实数α的取值范围是 ．
【变式3-1】5.（2023·全国·高三专题练习）已知θ>0，存在实数φ，使得对任意n∈N∗，cs(nθ+φ)<32，则θ的最小值是 .
题型4零点问题
【例题4】（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知定义在R上的奇函数fx满足f2−x+fx=0，当x∈0,1时，fx=−lg2x．若函数Fx=fx−sinπx在区间−1,m上有10个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．3.5,4B．3.5,4C．5.5,5D．5.5,5
【变式4-1】1. （2023·河北沧州·统考三模）已知函数fx=Asinωx+2csωx(A>0,ω>0)的所有极值点为π6+kπ2k∈Z，且函数gx=fx−a在0,nπn∈N*内恰有2023个零点，则满足条件的有序实数对a,n（ ）
A．只有2对B．只有3对
C．只有4对D．有无数对
【变式4-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=3sinωx+4csωx ω>0在区间0,π内没有零点，但有极值点，则3csπω+4sinπω的取值范围（ ）
A．75,5B．245,5C．75,245D．75,245
【变式4-1】3. （2023·上海·高三专题练习）已知fx=cs2x−asinx，若存在正整数n，使函数y=fx在区间0,nπ内有2023个零点，则实数a所有可能的值为（ ）
A．1B．－1C．0D．1或－1
【变式4-1】4.（多选） （2023秋·福建福州·高三福建省福州第一中学校考开学考试）已知函数fx=sinx+csx2−m1+sin2x，则（ ）
A．fx的最小正周期为2π
B．fx图象的一条对称轴为直线x=3π4
C．当m>0时，fx在区间3π4,π上单调递增
D．存在实数m，使得fx在区间0,1012π上恰有2023个零点
【变式4-1】5．（2022春·安徽滁州·高三校考期中）已知y=f(x)是周期为4的奇函数，且当x∈[0,2]时，f(x)=0.9x(2−x)，方程f(x)=sinπx2在区间(0,1)内有唯一解x=a，则方程f(x)=sinπx2在区间[0,2018]上所有解的和为
A．2018a+2034144B．036162C．3053234D．3055252
1. （2023·江西·统考模拟预测）已知函数fx=2sinωx+φω>0的最小正周期T<π，f(π5)=1，且fx在x=π10处取得最大值．现有下列四个结论：①sinφ=22；②ω的最小值为152；③若函数fx在(π20,π4)上存在零点，则ω的最小值为352；④函数fx在(13π20,11π15)上一定存在零点．其中结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2. （2022春·新疆·高三校考阶段练习）定义：设不等式fx>0的解集为A，若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”．若关于x的不等式sinx+csx>2mx+sinx−csx在(0,π)上存在“和谐解集”，则实数m的取值范围为（ ）
A．[cs22,cs1)B．(cs22,cs1]C．cs2,cs1D．cs2,sin2
3. （多选）（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知函数fx=sinωx+φ(ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示，则（ ）
A．φ=4π3
B．fx在区间−5π6,−π2上单调递增
C．将函数y=csx图象上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移π12个单位长度，可得函数fx的图象
D．函数y=4fx+2x+π3的零点个数为7
4. （2023·福建厦门·统考模拟预测）函数fx=csπx,05. （2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）设a∈R，函数f(x)=cs(2πx−2πa),x6. （2023·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知函数fx=2sinωx+φ（ω>0）的一个对称中心为π4,0，且将y=fx的图象向右平移π6个单位所得到的函数为偶函数.若对任意ω，不等式ω2+m2⋅f−π62>m2恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．−95,45B．−45,95
C．−∞,−95∪45,+∞D．−∞,−45∪95,+∞
7. （2022·安徽·南陵中学校联考模拟预测）将函数f(x)=2sinx−1的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，再向下平移1个单位长度，最后向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象.若对任意x1∈0,π2，都存在x2∈−π2,0，使得fx1=gx2，则φ的值可能是（ ）
A．π4B．5π12C．7π12D．3π4
8．（2022·全国·统考高考真题）设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．53,136B．53,196C．136,83D．136,196
9．（2019·全国·统考高考真题）设函数fx=sin（ωx+π5）(ω＞0)，已知fx在0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：
①fx在（0,2π）有且仅有3个极大值点
②fx在（0,2π）有且仅有2个极小值点
③fx在（0,π10）单调递增
④ω的取值范围是[125，2910)
其中所有正确结论的编号是
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
10．（2023·全国·统考高考真题）已知函数fx=csωx−1(ω>0)在区间0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ．
11．（2022·全国·统考高考真题）记函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)=32，x=π9为f(x)的零点，则ω的最小值为 ．
不等式恒成立问题的结论：
（1）∀x1∈A,∀x2∈B，f(x1)≥g(x2)恒成立⇔ f(x)min≥g(x)max；
（2）∀x1∈A,∃x2∈B，使得f(x1)≥g(x2)成立⇔ f(x)min≥g(x)min；
（3）∃x1∈A,∀x2∈B，使得f(x1)≥g(x2)成立⇔ f(x)max≥g(x)max.
不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数a≥fx恒成立(a≥fxmax即可)或a≤fx恒成立（a≤fxmin即可）；
②数形结合(y=fx 图像在y=gx 上方即可)；
③讨论最值fxmin≥0或fxmax≤0恒成立.
有关三角函数综合问题的求解策略:1.根据题意问题转化为三角函数的解析式和图像，然后再根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.
2.熟练应用三角函数的图像与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如:单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.