湘教版（2024）七年级上册第3章 一次方程（组）精品巩固练习

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第三章一次方程综合题
一、单选题
1．若关于x的方程ax－4＝a的解是x＝－3，则a的值是( )
A．－2B．2C．－1D．1
2．二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
3．《九章算术》中有一题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？意思是说：走路快的人走步的时候，走路慢的人才走了步．走路慢的人先走步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人走多少步才能追上？设走路快的人要走步才能追上，此时走路慢的人又走了步，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
4． 解关于，的二元一次方程组，由可直接消去未知数，则和满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
5．某市举办足球比赛，这次足球联赛共赛12场，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记﹣1分，结果某校队共得20分，问该校队胜的场数有几种可能？（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、填空题
6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于1500年前，共三卷，卷上叙述算筹计数的纵横相间制度和筹算乘除法，记有许多有趣的问题．其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”译成白话文：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”你的计算结果是：木头的长度为 尺．
7．在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图1所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务：
图2所表示的方程组为 ．
8．如图1，从一个边长为4的正方形纸片中剪掉两个边长为a的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2的周长为22，则a的值为 ．
9．某种品的标价为120元，若以九折降价出售，仍获利20%，该商品的进货价为 元．
10．、、各代表一个数，根据，=63，，求得
11．一驴友分三次从M地出发沿着不同线路( A线、B线、C线)去N地，在每条线路上行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登这三种.他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等; B线、C线路程相等，都比A线路程多32%; A线总时间等于C线总时间的半;他用了3小时穿越丛林、2小时涉水行走和2小时攀登走完A线;在B线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比A线上升了20%、50%、50%.若他用了x小时穿越丛林、V小时涉水行走和z小时攀登走完C线，且x,y,z都为正整数，则 .
三、计算题
12．解方程组：
（1）
（2）
13．解方程组： ．
14．
四、解答题
15．解方程组
（1）；
（2）．
16．利用两块完全相同的长方形木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图一方式放置，再交换两木块的位置，按图二方式放置，测量数据如图，求桌子的高度.
17．根据以下素材，探索完成任务.
五、综合题
18．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为8元/辆，小型汽车的停车费为5元/辆．现在停车场内停有100辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费590元，求中、小型汽车各有多少辆？
19．某蔬菜种植户有甲、乙两块菜地，甲菜地去年收获西蓝花，乙菜地去年收获西蓝花，今年在县技术专家的帮助下，甲菜地增收，乙菜地增收．
（1）今年两块菜地共收获__________西蓝花；（用含，的代数式表示）
（2）若去年两块菜地共收获西蓝花，今年共收获西蓝花，求甲、乙两块菜地今年分别收获多少千克西蓝花．
20．如图，在以点 为原点的数轴上，点 表示的数是3，点 在原点的左侧，且 ．
（1） 点表示的数是多少？请说明理由．
（2）若动点 从 点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后 ？并求出此时 点在数轴上对应的数．
六、实践探究题
21．阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③
把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1，
所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为 ，
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 ，
（2）已知x，y满足方程组 ，求x2+4y2的值与xy的值；
（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】估计方程的解
2．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
4．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
6．【答案】6.5
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
7．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
8．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
9．【答案】90
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
10．【答案】
【知识点】等式的基本性质
11．【答案】6
【知识点】三元一次方程组解法及应用
12．【答案】（1）
（2）
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
13．【答案】解：
解：①×2得 4x-6y=-10 ③
②×3得 9x+6y=36 ④
③+④得 13x=26
X=2
把x=2代入②得3×2+2y=12
y=3
∴方程组解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
14．【答案】解：，
（1）-（2）得：
4y-4z=2a-2b（4），
（1）×3+（3）得：
4y-8z=6a+2c（5），
（4）-（5）得：
z=-，
∴y=-，x=-.
∴原方程组的解为：.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
15．【答案】（1）
（2）
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
16．【答案】解：设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 ，
根据题意，可列方程组
两式相加得：
答：桌子高度 .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
17．【答案】解：任务一：4，1070；
任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券（x-1）张，由题意可得，
解得： ，
∴C型的消费券5张，
答：A型的消费券6张，B型的消费券1张，则C型的消费券5张；
任务三：设小明一家共使用A型的消费券a张，B型的消费券b张，C型的消费券c张，且a、b、c都是正整数，
①A、B型：，
∴，
∵a，b都是正整数，
∴无解；
②B、C型：，
∴，
∵b、c都是正整数，，
∴或或；
③A、C型：，
∴，
∵a、c都是正整数，，
∴
综上所述，4张B，5张C使得使用消费券张数最少．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
18．【答案】中型汽车有30辆，小型汽车有70辆
【知识点】二元一次方程组的其他应用
19．【答案】（1）
（2）甲菜地今年收获西蓝花，乙菜地今年收获西蓝花．
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
20．【答案】（1）解： 点表示的数是-15，理由如下：
∵点 表示的数是3
∴
∵
∴
∴
又∵ 点在原点的左侧
∴ 点表示的数是-15．
（2）解：设经过 秒钟后 ．
①当P点在线段OB上时，则 ， ，
由题意得： ，
解得： ．
∴ ，
此时点P在数轴上所表示的数为 ；
②当P点在线段OB延长线上时，则 ， ，
由题意得： ，
解得： ．
∴ ．
此时点P在数轴上所表示的数为-24；
所以经过 秒钟或24秒钟后 ，此时 点在数轴上对应的数为 或-24．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的其他应用
21．【答案】（1） ，
把②变形为9x−6y＋2y＝19，即3（3x−2y）＋2y＝19③.
把①代入③，得3×5＋2y＝19，
∴y＝2.
把y＝2代入①，得3x−2×2＝5，
∴x＝3.
∴方程组的解为 ；
（2） ，
把②变形为： ③，
由①+③得： ，解得：x2+4y2=17，
把x2+4y2=17，代入②得：2×17+xy=36，解得：xy=2，
综上所述：x2+4y2=17，xy=2；
（3）在（2）的条件下：x，y同号，
∵x，y为整数，
∴ 或 .
【知识点】解二元一次方程组
如何合理搭配消费券？
素材一
温州市人民政府决定，发放2023年“春暖瓯越·温享生活”消费券（如图），一人可领取的消费券有：A型消费券（满25减10元）2张，B型消费券（满58减20元）2张，C型消费券（满168减60元）1张.
素材二
在此次活动中，小明一家5人都领到了消费券.某日小明一家在超市使用消费券共减了380元，请完成以下任务.
任务一
若小明一家用了2张A型消费券，6张B型的消费券，则用了 ▲ 张C型的消费券，此时实际消费的最少为 ▲ 元.
任务二
若小明一家用12张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张?
任务三
若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用消费券张数最少，并求出此时消费券的搭配方案.