2025年高考数学一轮复习-第二板块-数列-微专题(二)数列的递推关系与子数列问题【课件】

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1．在数列{an}中，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，则a2 023的值为(　 )A．1 517×22 024 B．1 517×22 023C．1 517×22 022 D．无法确定解析：∵a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，∴S2＝a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝5.∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2，两式相减得，an＋2＝4an＋1－4an，∴an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，∴{an＋1－2an}是以a2－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，
命题点(二)　数列的奇偶项问题　数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.数列中的奇、偶项问题的常见题型：(1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；(2)含有(－1)n的类型；(3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型；(4)已知条件明确的奇、偶项问题.
[例2]　已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}前n项和为Sn，且满足S3＝a4，a3＋a5＝2＋a4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}前2k项和S2k；(3)在数列{an}中，是否存在连续的三项am，am＋1，am＋2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由．[关键点拨]
1．奇偶两重天(1)项的奇偶性：数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列划分成两个新的数列进行考查，很多同学对n为奇数时的情形产生混淆，往往会弄错新数列与原数列的项数；(2)项数的奇偶性：数列{an}中的任意一项an的角标不是奇数就是偶数．2．处理策略奇偶分离法，其本质其实就是分类讨论，只不过分类标准是项的奇偶性，按照奇数项与偶数项分而治之地进行操作．分类讨论的一层涵义是不能合而分，我们也不要忽视分类讨论的另一层涵义是能合而不分，能够站在整体视角看的就可以通过具体手段巧妙地避免分类讨论．
2．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则其前60项的和为________．
命题点(三)　数列的公共项问题　将数列{an}与{bn}看成两个集合，这两个集合的交集中的元素按照一定的顺序排成一列数，形成的新数列，成为两个数列的公共数列，其中的这些元素就是数列的公共项.[典例]　(1)(2020·新高考全国卷Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．(2)已知两个等差数列{an}：5,8,11，…与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________．
求两个数列的公共项有两种方法
1．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an}，所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn}，把{an}和{bn}的公共项从小到大得到数列{cn}，则(　 )A．a3＋b5＝c3 B．b28＝c10C．a5b2>c8 D．c9－b9＝a26解析：根据题意数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，数列{bn}是首项为2，公差为5的等差数列，bn＝2＋5(n－1)＝5n－3，数列{an}与{bn}的公共项从小到大得到数列{cn}，故数列{cn}是首项为2，公差为15的等差数列，cn＝2＋15(n－1)＝15n－13.
对于A，a3＋b5＝(3×3－1)＋(5×5－3)＝30，c3＝15×3－13＝32，a3＋b5≠c3，A错误；对于B，b28＝5×28－3＝137，c10＝15×10－13＝137，b28＝c10，B正确；对于C，a5＝3×5－1＝14，b2＝5×2－3＝7，c8＝15×8－13＝107，a5b2＝14×7＝98