2023-2024学年江西省宜春三中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年江西省宜春三中高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知z=−1−i，则|z|=( )
A. 0B. 1C. 2D. 2
2.已知向量a=−i+j，b=2i+3j，(i,j分别为正交单位向量)，则a⋅b=( )
A. −1B. 1C. 6D. −5
3.某班同学利用课外实践课，测量A，B两地之间的距离，在C处测得A，C两地之间的距离是4千米，B，C两地之间的距离是6千米，且∠ACB=60°，则A，B两地之间的距离是( )
A. 2 7千米B. 4 3千米C. 2 19千米D. 6 2千米
4.设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若α⊥β，m//α，l//β，则m⊥l B. 若m⊂α，l⊂β，m//l，则α//β
C. 若α∩β=m，l//α，l//β，则m//l D. 若m⊥α，l⊥β，m//l，则α⊥β
5.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若asin(π2−A)=b2cs2B2−1=ccsC，则△ABC是( )
A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 锐角三角形D. 等腰直角三角形
6.如图，平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，点E是AC的三等分点EC=13AC，则DE=( )
A. 13a−23b
B. 23a−13b
C. 13a+23b
D. 23a+13b
7.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为( )
A. 2 3πB. 3 3πC. 6 3πD. 9 3π
8.在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B=π3，b2=94ac，则sinA+sinC=( )
A. 32B. 2C. 72D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=sin(2x+π6)，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+π3)的图象
B. 直线x=π3是f(x)图象的一条对称轴
C. f(x)在[π4,π2]上单调递减
D. f(x)的图象关于点(5π12,0)对称
10.已知向量a=( 3,sinθ)，b=(csθ,1)，0≤θ≤π，下列说法正确的是( )
A. 若a⊥b，则tanθ=− 3
B. 设函数f(θ)=a⋅b，则f(θ)的最大值为2
C. |a+b|的最大值为2 2
D. 若|a|= 62|b|，且b在a上的投影向量为− 33a，则a与b的夹角为3π4
11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2AD=2，点P为线段C1D上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 直线PB//平面AB1D1
B. 直线PB与AD1是异面直线
C. 三棱锥P−AB1D1的体积为定值13
D. 直线PB与平面ABB1A1所成角的正弦值的最大值为 53
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角α的终边与单位圆交于点P(−35,45)，则tanα= ______．
13.已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是 ．
14.设向量a,b,c满足|a|=|b|=2，a⋅b=−2，a−c与b−c的夹角为60°，则|c|的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知角α∈(0,π)，且csα=−35．
(1)求sin(π−α)的值；
(2)求cs(α−π4)的值．
16.(本小题15分)
已知向量a=(1,2)，b=(0,2)，向量c满足a⊥c，且b//(2a+c)．
(1)求c的坐标；
(2)若c与a+λb的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．
17.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 3acsπ−B2=bsinA．
(1)求B；
(2)∠ABC的角平分线与AC交于点D,BD= 3，求2a+c的最小值．
18.(本小题17分)
已知四边形ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AD//BC，△ABD为等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA的中点，AD=2BC=2 2，PA=3PD=3．
(1)求证：BE//平面PDC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PBD．
(3)求异面直线AD与PB所成角的余弦值；
19.(本小题17分)
设平面内两个非零向量m,n的夹角为θ，定义一种运算“⊗”：m⊗n=|m||n|sinθ．
试求解下列问题：
(1)已知向量a,b满足a=(2,1),|b|=2,a⋅b=4，求a⊗b的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点A(2,1)，B(−1,2)，C(0,4)，求AB⊗BC的值；
(3)已知向量a=(1csα,2sinα),b=(2sinα,−1csα),α∈(0,π2)，求a⊗b的最小值．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.C
5.B
6.B
7.B
8.C
9.CD
10.ABD
11.ACD
12.−43
13.1
14.4
15.解：α∈(0,π)，且csα=−35．
则sinα= 1−cs2α=45，
(1)sin(π−α)=sinα=45；
(2)cs(α−π4)= 22csα+ 22sinα= 22×(−35)+ 22×45= 210．
16.解：(1)设c=(x,y)，因为a=(1,2)，b=(0,2)，
所以2a+c=2(1,2)+(x,y)=(2+x,4+y)，
又因为a⊥c，且b//(2a+c)，
所以x+2y=02(2+x)=0(4+y)，解得x=−2y=1，所以c=(−2,1)；
(2)因为a=(1,2)，b=(0,2)，
所以a+λb=(1,2)+λ(0,2)=(1,2+2λ)，
因为c与a+λb的夹角为钝角，
所以c⋅(a+λb)=−2×1+1×(2+2λ)