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    2023-2024学年广西南宁三中高一(下)期末数学试卷(含答案)

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    这是一份2023-2024学年广西南宁三中高一(下)期末数学试卷(含答案),共8页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.若复数z=(3−4i)i,则z的虚部为( )
    A. 3iB. 3C. 4iD. 4
    2.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用按比例分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从乙种型号的产品中抽取件数为( )
    A. 24B. 9C. 36D. 18
    3.四名同学各掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据四名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数6的是( )
    A. 平均数为3,中位数为2B. 中位数为3,众数为2
    C. 平均数为2,方差为2.4D. 中位数为3,方差为2.8
    4.已知在平行四边形ABCD中,E为AC上靠近点A的三等分点,设BA=a,BC=b,则BE=( )
    A. 23a−+13b−B. 13a+23bC. 512a−12bD. 43a−13b
    5.已知圆锥的底面半径为 2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为( )
    A. 63πB. 2 63πC. 4 63πD. 8 63π
    6.已知向量m=(2,λ),n=(2−λ,−4),若m与n共线且反向,则实数λ的值为( )
    A. 4B. 2C. −2D. −2或4
    7.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑P−ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥CB,PA=2BC=2,AC= 3,则此四面体的外接球表面积为( )
    A. 3πB. 8πC. 9πD. 8 23π
    8.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )
    A. 甲与乙互斥B. 丙发生的概率为16C. 甲与丁相互独立D. 乙与丙相互独立
    二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法中正确的是( )
    A. 若bcsC+ccsB=b,则△ABC是等腰三角形
    B. 若B=30°,b=2,c=2 2,则C=45°
    C. 若a=2,b=4,csC=14,则c=4
    D. 若△ABC面积为S=14(a2+b2−c2),则C=45°
    10.某市2023年经过招商引资后,经济收入较前一年增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该市的经济收入的变化情况,统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例,得到如图扇形图,则下列结论中正确的是( )
    A. 招商引资后,工资净收入较前一年减少
    B. 招商引资后,转移净收入是前一年的2.5倍
    C. 招商引资后,转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的13
    D. 招商引资后,经营净收入较前一年增加了一倍
    11.如图,直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,底面是AB=8,BC=4的矩形,直四棱柱的高为4,E,F分别为棱AB,A1D1的中点,则下列说法中正确的有( )
    A. 直线A1B与CF相交 B. 异面直线DB1与CE所成角为90°
    C. 二面角D1−CE−D的平面角为45° D. 平面CEF截该长方体所得的截面为五边形
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.已知z1=2+3i,z2=−4+i,则|z1+z2|= ______.
    13.已知互不相等的4个正整数从小到大排序为a1,a2,a3,a4,若它们的和为12,且这4个数据的极差是中位数的2倍,则这4个数据的第75百分位数为______.
    14.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,点D是AB的中点.若2a+b=2ccsB,且AC=1,CD= 32,则AB= ______.
    四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题13分)
    已知向量a与b的夹角θ=5π6,且|a|=3,|b|=2 3.
    (1)求(a+b)⋅b;
    (2)求|a+2b|.
    16.(本小题15分)
    某社区为了解志愿者每周志愿服务的时长,在全社区300名志愿者中随机抽取20名志愿者在某个星期的志愿服务记录,统计他们当周在社区的志愿服务时长,按时长分组,得到频率分布直方图如图所示:
    (1)求a的值;社区对志愿服务时长大于或等于11小时的志愿者认定为优秀志愿者,如果以当周志愿服务统计结果作为依据,请估计该社区每周获得优秀的志愿者的人数;
    (2)求出这20名志愿者当周志愿服务时长的样本众数、中位数、平均数(结果保留一位小数).
    17.(本小题15分)
    如图,在三棱锥P−ABC中,AC⊥平面PAB,E,F分别为BC,PC的中点,且PA=AC=2,AB=1,EF= 52.
    (1)证明:AB⊥PC;
    (2)求二面角F−AE−C的余弦值.
    18.(本小题17分)
    如图,在平面四边形ABCD中,AD= 3,CD=1,∠ACD=60°,∠ABC=30°.
    (1)证明:AD⊥CD;
    (2)求△ABC面积的最大值;
    (3)设E为线段AB的中点,求DE的最大值.
    19.(本小题17分)
    在某抽奖活动中,初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球,颜色为2白1红.每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下:设定抽中红球为中奖,抽中白球为未中奖;若抽到白球,放回后把袋中的一个白色小球替换为红色;若抽到红球,放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态.记第n次抽奖中奖的概率为Pn.
    (1)求P2,P3;
    (2)若存在实数a,b,c,对任意的不小于4的正整数n,都有Pn=aPn−1+bPn−2+cPn−3,试确定a,b,c的值,并证明上述递推公式;
    (3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章,则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少?
    参考答案
    1.B
    2.A
    3.C
    4.A
    5.B
    6.A
    7.B
    8.C
    9.ACD
    10.BD
    11.AD
    12.2 5
    13.92
    14. 7
    15.解:因为a与b的夹角θ=5π6,且|a|=3,|b|=2 3,
    所以a⋅b=|a||b|csθ=3×2 3×(− 32)=−9,
    所以(a+b)⋅b=a⋅b+b2=−9+12=3;
    (2)|a+2b|′= (a+2b)2= a2+4a⋅b+4b2= 9+4×(−9)+4×12= 21.
    16.解:(1)根据题意可得(a+0.075+0.175+0.15+a)×2=1,
    ∴a=0.05;
    ∵服务时长大于或等于11小时的频率为0.05×2=0.1,
    ∴估计该社区每周获得优秀的志愿者的人数为300×0.1=30;
    (2)这20名志愿者当周志愿服务时长的样本众数为8小时;
    中位数为7+0.5−0.1−≈8.4小时;
    平均数为4×0.1+6×0.15+8×0.35+10×0.3+12×0.1=8.3小时.
    17.解:(1)证明:∵E,F分别为BC,PC的中点,
    ∴PB=2EF= 5,
    ∵AB2+PA2=PB2,∴AB⊥PA,∵AC⊥平面PAB,
    ∴AB⊥AC,
    ∵AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC,
    ∴AB⊥平面PAC,PC⊂平面PAC,
    ∴AB⊥PC;
    (2)根据题意,取AC的中点M,过M作MN⊥AE交AE于N,
    连接FM,FN,ME,
    因为F为PC中点,M为AC的中点,
    则FM////PA,且FM=12PA=1,
    又PA⊥AB,PA⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,
    ∴PA⊥平面ABC,
    ∴FM⊥平面ABC,而AE⊂平面ABC,
    ∴AE⊥FM,又MN⊥AE,FM∩MN=M,FM,MN⊂平面FMN,
    ∴AE⊥平面FMN,
    ∵FN⊂平面FMN,∴AE⊥FN,
    即∠FNM为二面角F−AE−C的平面角,
    在Rt△AME中,AM=1,ME=12,则AE= 1+14= 52,
    由等面积可得MN=AM⋅MEAE=1×12 52= 55,
    ∴tan∠FNM=FMNM=1 55= 5,
    则cs∠FNM= 66,即二面角F−AE−C的余弦值为 66.
    18.解:(1)由题知,在△ACD中,
    由正弦定理得sin∠CADCD=sin∠ACDAD,∴sin∠ACD=12,
    ∵AD>CD,∴∠ACD>∠CAD,∴∠CAD=π6,
    ∴∠D=π−∠ACD−∠CAD=π2,∴AD⊥CD;
    (2)在△ABC中,根据勾股定理可得AC=2,
    由余弦定理知:cs∠ABC=AB2+BC2−AC22AB⋅BC= 32
    ∴AB2+BC2=4+ 3AB⋅BC,∵AB2+BC2≥2AB⋅BC,∴2AB⋅BC≤4+ 3AB⋅BC
    解得:AB⋅BC≤42− 3=8+4 3,当且仅当AB=BC时取等号,
    ∴S△ABC=12AB⋅BC⋅sinB≤2+ 3;
    (3)在△ABC中,设∠BAC=θ∈(0,5π6),由正弦定理知:ABsin∠ACB=ACsin∠B,
    ∴AB=4sin(5π6−θ),AE=2sin(5π6−θ),
    在△ADE中,由余弦定理知:DE2=AD2+AE2−2AD⋅AEcs∠DAE,
    ∴DE2=3+4sin2(5π6−θ)−4 3sin(5π6−θ)cs(π6+θ)
    =3+4sin2(π6+θ)−4 3sin(π6+θ)cs(π6+θ)
    =3+2[1−cs(π3+2θ)]−4 3sin(π6+θ)cs(π6+θ)
    =5−2cs(π3+2θ)−2 3sin(π3+2θ)=5−4sin(π3+2θ+π6)
    =5−4sin(π2+2θ)=5−4cs2θ∈(1,9],
    ∴DE2≤9,当仅当∠BAC=π2时取等号,∴DE的最大值等于3.
    19.解:(1)P2=13×13+23×23=59,
    P3=P2×13+23×13×1+13×23×23=59;
    (2)因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态,
    从初始状态开始,若第一次中奖,此时第n次抽奖中奖的概率为13Pn−1,
    从初始状态开始,若第一次未中奖而第二次中奖,此时第n次抽奖中奖的概率为23×23×Pn−2=49Pn−2,
    从初始状态开始,若前两次均未中奖,则第三次必中奖,
    此时第n次抽奖中奖的概率为23×13×1×Pn−3=29Pn−3,
    综上所述,对任意的n≥4,Pn=13Pn−1+49Pn−2+29Pn−3,
    又Pn=aPn−1+bPn−2+cPn−3,
    所以a=13,b=49,c=29;
    (3)由题意知每抽三次至少有一次中奖,
    故连抽9次至少中奖3次,
    所以只需排除3次中奖的情况即可获得一枚优胜者勋章,
    另外,每两次中奖的间隔不能超过三次,每次中奖后袋中的球会回到初始状态,
    从初始状态开始,抽一次中奖的概率为Q1=13,
    从初始状态开始抽两次,第一次未中奖而第二次中奖的概率为Q2=49,
    从初始状态开始抽三次,前两次均未中奖而第三次中奖的概率为Q3=29,
    用(i,j,k)表示第i次,第j次,第k次中奖,其余未中奖,
    则三次中奖的所有情况如下:(1,4,7),(2,4,7),(2,5,7),(2,5,8),(3,4,7),(3,5,7),(3,5,8),(3,6,7),(3,6,8),(3,6,9),
    故仅三次中奖的概率为:
    Q1×Q22×23×13×3+Q22×Q3×23×13×3+Q2×Q32×23×3+Q33=2082187,
    所以从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为1−2082187=19792187.
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