2023-2024学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z=3−i，则|z|=( )
A. 10B. 10C. 2 5D. 20
2.已知集合M={x|−3A. {x|−1≤x<1}B. {x|x>−3}C. {x|−33.为了得到函数f(x)=sin(2x−π4)的图象，只需要把函数y=sinx图象( )
A. 先将横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π4个单位
B. 先将横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π8个单位
C. 先向左平移π4个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
D. 先向右平移π8个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3+a7=6，则S9=( )
A. 27B. 272C. 54D. 108
5.设a=lg0.60.8，b=1.10.8，c=lg1.10.8，则( )
A. b6.函数f(x)=2cs2x+3sinx在[π4,π2]上的值域为( )
A. [3,4]B. [3,258]C. [3,3 22+1]D. [3 22+1,258]
7.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x3+ax2+b，若f(x)的图象在x=−1处的切线方程为3x+y=0，则a−b=( )
A. 4B. −4C. 2D. −2
8.已知3a=11，4b=18，5c=27，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>c>bB. b>a>cC. c>b>aD. a>b>c
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若2∈{m−1,2m,m2−1}，则实数m的可能取值为( )
A. 3B. 3C. 1D. − 3
10.已知X～B(8,14)，则( )
A. E(X)=2B. E(X)=32C. D(X)=32D. D(X)=2
11.若不等式x−1A. −2B. −1C. 0D. 1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,m),b=(3,1)，且(b−2a)⊥b，则m= ______．
13.已知双曲线C1：x2m−y2=1,C2：x24−y2m=1的离心率分别为e1和e2，则e1e2的最小值为______．
14.将0，1，2，3，4，6六个数字填入如图所示的2×3方格中，要求每个方格填1个数字，且每个数字不重复，则在这三列数字中，第一列的数字之和最小的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知A，B是椭圆C：x236+y29=1的两点，AB的中点P的坐标为(4,1)．
(1)求直线AB的方程；
(2)求A，B两点间距离．
16.(本小题15分)
某乒乓球训练机构以训练青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置(称为“准点球”)，在每周末，记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比(y%)，A学员已经训练了1年，如表记录了A学员最近七周“准点球”的百分比：
若z= x．
(1)根据上表数据，计算y与z的相关系数r，并说明y与z的线性相关性的强弱；
(若0.75≤|r|≤1，则认为y与z线性相关性很强；若0.3≤|r|≤0.75，则认为y与z线性相关性一般；若|r|<0.3，则认为y与z线性相关性较弱)(精确到0.01)
(2)求Y关于X的回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比.(精确到0.01)
参考公式和数据：
r=i=1nuivi−nu−v− i=1n(ui−u−)2i=1n(vi−v−)2，b =i=1nuivi−nu−v−i=1nui2−nu−2，a =v−−b u−，i=17zi2−7z−2≈2.05，i=17ziyi≈729.98，z−≈1.926，y−=53.86，z−y−≈103.73， i=17(zi−z−)2i=17(yi−y−)2≈4.13．
17.(本小题15分)
已知各项均不为零的数列{an}满足：a1=1，3an+1an+an+1−an=0．
(1)证明{1an}是等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)记数列{anan+1}的前n项和为Sn，证明：14≤Sn<13．
18.(本小题15分)
如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形．
(1)证明：平面BDD1B1⊥平面ACC1A1；
(2)若∠ABC=60°，AB=3AA1=3A1B1，M是棱BC上靠近点C的三等分点，求平面ADD1与平面AMD1夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
已知函数g(x)=1−2lnx−ax2(a>0)，且g(x)的极值点为x0．
(1)求x0；
(2)证明：2g(x0)+2≤2a；
(3)若函数g(x)有两个不同的零点x1，x2，证明：1x12+1x22>2g(x0)+2．
答案解析
1..A
【解析】解：由题意，|z|= 32+(−1)2= 10．
故选：A．
2..C
【解析】解：集合M={x|−3则M∪N={x|−3故选：C．
3..B
【解析】解：为了得到函数f(x)=sin(2x−π4)的图象，只需要把函数y=sinx图象，先向右平移π4个单位，再将横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，故C、D错；
也可以先将横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π8个单位，故A错误，B正确．
故选：B．
4..A
【解析】解：由等差数列{an}的性质可得：a3+a7=6=a1+a9，
则S9=9(a1+a9)2=9×3=27．
故选：A．
5..C
【解析】解：0=lg0.61b=1.10.8>1.10=1，
c=lg1.10.8∴c故选：C．
6..B
【解析】解：依题意，f(x)=−2sin2x+3sinx+2，
令sinx=t，
因为π4≤x≤π2，
所以 22≤t≤1，
故y=−2t2+3t+2,t∈[ 22,1]．
故当t=34时，y有最大值258，当t=1时，y有最小值3，
故所求值域为[3,258]．
故选：B．
7..D
【解析】解：f(x)的图象在x=−1处的切线方程为3x+y=0，
则f(−1)=3，f′(−1)=−3，
当x>0时，f(x)=x3+ax2+b，f′(x)=3x2+2ax，
因为f(x)是奇函数，图象关于原点对称，
f(x)的图象在x=−1处及x=1处的切线也关于原点对称，
所以f(1)=−3，f′(1)=−3，
即1+a+b=−33+2a=−3，所以a=−3，b=−1，a−b=−2．
故选：D．
8..D
【解析】解：a=lg311，b=lg418，c=lg527，
b−c=lg418−lg527=lg4(16×1816)−lg5(25×2725)=lg498−lg52725，
因为lg52725lg498−lg42725=lg42524>0，
所以b−c>0，
a−b=lg311−lg418=lg3(9×119)−lg4(16×1816)=lg3119−lg498，
因为lg498所以lg3119−lg498>lg5119−lg398=lg38881>0，
所以a−b>0，
所以a>b>c．
故选：D．

【解析】解：①若m−1=2，即m=3时，此时集合中的元素为2，6，8，满足题意，
②若2m=2，即m=1时，m2−1=m−1=0，不满足集合中元素的互异性，
③若m2−1=2，即m=± 3，
当m= 3时，此时集合中的元素为 3−1，2 3,2，满足题意，
当m=− 3时，此时集合中的元素为− 3−1,−2 3,2，满足题意．
故选：ABD．

【解析】解：因为X～B(8,14)，所以E(X)=8×14=2,D(X)=8×14×(1−14)=32．
故选：AC．

【解析】解：由x−1故选：ABC．
12..2
【解析】解：向量a=(1,m),b=(3,1)，则b−2a=(1,1−2m)，
(b−2a)⊥b，
故(b−2a)⋅b=3+1−2m=0，解得m=2．
故答案为：2．
．
【解析】解：由题意得m>0，
则e1e2= m+1 m⋅ m+42= m2+5m+42 m= 5+m+4m2≥ 5+2 m⋅4m2=32，
当且仅当m=2时，等号成立，所以e1e2的最小值为32．
故答案为：32．

【解析】解：因为0+1+2+3+4+63=163<6，所以第一列的数字之和必然小于6．
当第一列的数字之和小于4，即第一列的数字为0，1或0，2或0，3或1，2时，均有A22A44种不同的排法．
当第一列的数字之和等于4，即第一列的数字为0，4或1，3时，均有A22(A44−A22A22A22)种不同的排法．
当第一列的数字之和等于5，即第一列的数字为2，3或1，4时，均有A22A22A22A22种不同的排法．
又将0，1，2，3，4，6六个数字填入如图所示的2×3方格中，要求每个方格填1个数字，且每个数字不重复的总排法总数为A66种，
故结合古典概型的概率公式，可得第一列的数字之和最小的概率为4A22A44+2A22(A44−A22A22A22)+2A22A22A22A22A66=25．
故答案为：25．
15..解：(1)由题意知直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y−1=k(x−4)，即y=kx−4k+1，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x236+y29=1y=kx−4k+1，
得(1+4k2)x2+(8k−32k2)x+64k2−32k−32=0
则x1+x2=32k2−8k4k2+1=8，
解得k=−1，
经检验k=−1符合题意，则直线AB的方程为y−1=−(x−4)，即x+y−5=0．
(2)由(1)得联立后的方程为5x2−40x+64=0，
所以x1+x2=8，x1⋅x2=645，
所以|AB|= 1+(−1)2× 82−4×645=8 105．
【解析】(1)根据题意，设直线方程为y−1=k(x−4)，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理即可得到k，从而得到直线方程；
(2)根据(1)，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，结合弦长公式代入计算，即可得到结果．
16..解：(1)依题意r=i=17ziyi−7x−y− i=17(zi−z−)2i=17(yi−y−)2=729.98−7×≈0.94，
又r≈0.94>0.75，所以y与z线性相关性很强．
(2)依题意b =i=17ziyi−7z−y−i=17zi2−7z−2=729.98−7×≈1.89，
所以a =y−−b z−=53.86−1.89×1.926≈50.22，
所以y =1.89Z+50.22，
又Z= x，所以y =1.89 x+50.22，
当x=9时，y =1.89× 9+50.22=55.89，
所以预测第9周“准点球”的百分比为55.89%．
【解析】(1)结合相关系数的公式，求解即可；
(2)结合最小二乘法，求出线性回归方程，再将x=9代入线性回归方程，即可求解．
17..证明：(1)因为an≠0，故由3an+1an+an+1−an=0，
可得1an+1−1an=3，
又1a1=1，所以{1an}是以1为首项，3为公差的等差数列，
所以1an=1+3(n−1)=3n−2，故an=13n−2．
(2)anan+1=1(3n−2)(3n+1)=13(13n−2−13n+1)，
所以Sn=a1a2+a2a3+⋯+anan+1
=13[(1−14)+(14−17)+⋯+(13n−2−13n+1)]
=13(1−13n+1)，
易知f(n)=1−13n+1在n∈N∗时是递增的，
所以34≤f(n)<1，
因此14≤Sn<13．
【解析】(1)通过构造法，利用等差数列的定义和等差数列的概念求解{an}通项公式；
(2)通过裂项法求解Sn，并结合数列的单调性求证不等式．
18..解：(1)证明：因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
因为AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1，
又BD⊂平面BDD1B1，
所以平面BDD1B1⊥平面ACC1A1．
(2)在平面ABCD内，过点A作BC的垂线交BC于点N，以AN，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设A1B1=1，则AB=3，AA1=1，因为∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，
故N是BC的中点，于是BN=32,AN=3 32，
因为M是棱BC上靠近点C的三等分点，所以BM=2,NM=12，
故A(0,0,0),D1(0,1,1),M(3 32,12,0)，
所以AD1=(0,1,1),AM=(3 32,12,0)，
记平面AMD1的法向量为n=(a,b,c)，
则AD1⋅n=(0,1,1)⋅(a,b,c)=b+c=0,AM⋅n=(3 32,12,0)⋅(a,b,c)=3 32a+12b=0,
令a=1，则b=−3 3,c=3 3，
即n=(1,−3 3,3 3)．
易知平面ADD1的一个法向量为m=(1,0,0)，
则|cs|=|n⋅m||n|⋅|m|=11× 12+(−3 3)2+(3 3)2= 5555，
故平面ADD1与平面AMD1夹角的余弦值为 5555．
【解析】(1)由AA1⊥平面ABCD，得AA1⊥BD，再由四边形ABCD为菱形，得AC⊥BD，然后利用线面垂直的判定定理可证得BD⊥平面ACC1A1，再利用面面垂直的判定定理可证得结论；
(2)在平面ABCD内，过点A作BC的垂线交BC于点N，以AN，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可．
19..解：(1)由g(x)=1−2lnx−ax2(a>0)，
则g′(x)=−2(x2−a)x3=−2(x− a)(x+ a)x3(x>0)，
所以当x∈(0, a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈( a,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以x= a为g(x)的极大值点，即x0= a．
(2)证明：由(1)知，g(x)max=g( a)=−lna(a>0)，
要证2g(x0)+2≤2a，只需证2(−lna)+2≤2a，即1a+lna−1≥0，
令ℎ(x)=lnx+1x−1(x>0)，则ℎ′(x)=1x−1x2=x−1x2，
当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；
当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
所以ℎ(x)≥ℎ(1)=0，即lnx+1x−1≥0，所以2g(x0)+2≤2a．
(3)因为x1，x2是g(x)的两个不同的零点，
所以g(x1)=1−2lnx1−ax12=0,g(x2)=1−2lnx2−ax22=0，
两式相减并整理，得2a=x22−x12x12x22lnx2x1．
设x2>x1>0，由(2)知2g(x0)+2≤2a，
所以要证1x12+1x22>2g(x0)+2，只需证1x12+1x22>x22−x12x12x22lnx2x1，即证lnx2x1>x22x12−1x22x12+1．
设x2x1=t∈(1,+∞)，下面只需证lnt>t2−1t2+1(t>1)，
设S(t)=lnt−t2−1t2+1(t>1)，则S′(t)=1t−4t(t2+1)2=(t2−1)2t(t2+1)2>0，
所以S(t)在(1,+∞)上单调递增，从而S(t)>S(1)=0，
所以lnt>t2−1t2+1(t>1)成立，从而1x12+1x22>2g(x0)+2．
【解析】(1)利用导数研究函数g(x)的单调性，结合极值点的定义即可求解；
(2)由(1)知g(x)max=−lna，要证2g(x0)+2≤2a只需证1a+lna−1≥0.设ℎ(x)=lnx+1x−1(x>0)，利用导数研究函数ℎ(x)的单调性，得ℎ(x)≥ℎ(1)=0，即可证明；
(3)由零点的定义可得2a=x22−x12x12x22lnx2x1，由(2)，只需证1x12+1x22>x22−x12x12x22lnx2x1，即证lnx2x1>x22x12−1x22x12+1.设x2x1=t∈(1,+∞)，结合换元法，只需证S(t)=lnt−t2−1t2+1(t>1)，利用导数证得S(t)>S(1)=0即可．
周次(x)
1
2
3
4
5
6
7
y(%)
52
52.8
53.5
54
54.5
54.9
55.3

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