2023-2024学年河北省衡水市深州中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省衡水市深州中学高二（下）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.过点(1,2)且斜率为3的直线方程为( )
A. 3x−y−1=0B. 3x−2y+1=0C. x+y+1=0D. x+y−1=0
2.2023《中国好声音》报名即将开始，选手们可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名.现有甲、乙、丙三人均要报名参加，则不同的报名方法有( )
A. 4种B. 6种C. 8种D. 9种
3.下列说法中正确是( )
A. 相关系数r越大，则两变量的相关性就越强
B. 经验回归方程不一定过样本中心点
C. 对于经验回归方程y =3+2x，当变量x增加1个单位时，y平均增加3个单位
D. 对于经验回归方程y =2−x，变量x与变量y负相关
4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A，左、右两焦点分别为F1，F2，若△AF1F2为等边三角形，则椭圆C的离心率为( )
A. 12B. 22C. 13D. 33
5.已知函数f(x)=x2−lnx，则函数f(x)的单调递减区间为( )
A. (0,1)B. (1,+∞)C. (0, 22)D. ( 22,+∞)
6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，以线段F1F2为直径的圆在第一象限交双曲线C于点A，sin∠AF1F2= 7−14，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. y=±xB. y=± 3xC. y=±2xD. y=± 2x
7.已知随机变量X，Y，X～B(4,12)，Y～N(μ,σ2)，且E(Y)=8P(X=2)，又P(Y≤0)=P(Y≥m2+2)，则实数m的值为( )
A. 0或2B. 2C. −2或2D. −2
8.已知数列{an}满足1an=1+2+4+…+2n−1，数列{(λn+1)(2n−1)an}的前n项和为Sn，若Sn的最大值仅为S8，则实数λ的取值范围是( )
A. [−110,−111]B. (−1,−19]C. (−18,−19)D. [−15,−16]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于(x−1x)9的展开式，下列说法正确的是( )
A. 各项的系数之和为−1B. 二项式系数的和为512
C. 展开式中无常数项D. 第4项的系数最大
10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是( )
A. B1G⊥EF
B. A1H//平面AEF
C. 点B1到平面AEF的距离为2
D. 二面角E−AF−C的大小为π4
11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F在直线l：y=kx−k上，直线l与抛物线交于点A，B，(O为坐标原点)，则下列说法中正确的是( )
A. p=2B. 准线方程为x=−2
C. 以线段AB为直径的圆与C的准线相切D. 直线OA、OB的斜率之积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{an}，a1+a6+a11=6，且a4=1，则数列{an}的公差为______．
13.有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为______．
14.已知函数f(x)=12x2−(a+2)x+2alnx+1在(4,6)上存在极值点，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等比数列{an}满足a2=4，a5=32．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n(n∈N∗)个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为514．
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X，求X的分布列和数学期望．
17.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，|BF|=2，离心率为12．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l：y=x−2m(m≠0)与椭圆E相交于A，C两点，且点N(0,m)，当△ACN的面积最大时，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−1−lnx．
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)求证：exf(x)+(ex−1)lnx−ex+12>0．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意可得直线为y=3(x−1)+2，化简得3x−y−1=0，
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，甲、乙、丙三人都可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名，
即每人都有2种报名方法，则3人有2×2×2=8种报名方法．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】解：相关系数r的绝对值越大，则两变量的相关性就越强，故A错误；
经验回归方程一定过样本中心点，故B错误；
对于经验回归方程y =3+2x，当变量x增加1个单位时，y平均增加2个单位，故C错误；
对于经验回归方程y =2−x，变量x与变量y负相关，故D正确．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A，左、右两焦点分别为F1，F2，
若△AF1F2为等边三角形，
由椭圆的对称性知b= 3c，
即b2=3c2，
又a2=b2+c2，
可得a=2c，
所以e=12．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】解：f(x)的定义域是(0,+∞)，
f′(x)=2x−1x=2x2−1x，
令f′(x)0，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
即g′(x)=xex−1x在(0,+∞)上为增函数，
又∵g′(23)=23e23−32=23[e23−(278)23]0，
∴存在x0∈(23,1)，使得g′(x0)=0，
由g′(x0)=x0ex0−1x0=x02ex0−1x0=0，
得x02ex0=1，即ex0=1x02，即−2lnx0=x0，
∴当x∈(0,x0)时，g′(x)=xex−1x0，g(x)单调递增，
∴g(x)min=g(x0)=(x0−1)ex0−lnx0+12=x0−1x02+x02+12=x03+x02+2x0−22x02，
令φ(x)=x3+x2+2x−2(23φ(23)=227>0，
∴g(x)≥g(x0)=φ(x0)2x02>0，∴(x−1)ex−lnx+12>0，
即exf(x)+(ex−1)lnx−ex+12>0．
【解析】(1)对f(x)求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的最小值；
(2)分析可得要证exf(x)+(ex−1)lnx−ex+12>0，只需证(x−1)ex−lnx+12>0，令g(x)=(x−1)ex−lnx+12，利用导数求得g(x)min>0即可得证．X
0
1
2
3
P
156
1556
1528
1056