2023-2024学年吉林省G6教考联盟高二下学期7月期末考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省G6教考联盟高二下学期7月期末考试数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|2x−2<1}，B={x|x+2≥0}，则A∩B=( )
A. [−2,32)B. (−2,32)C. [−2,+∞)D. [−1,+∞)
2.命题“∀x∈0,1，x2>lnx”的否定是( )
A. ∀x∈0,1，x2lnx
C. ∃x∈0,1，x2≤lnxD. ∃x∉0,1，x2≤lnx
3.函数f(x)=|x2−1|2x的图像为( )
A. B.
C. D.
4.已知函数f(x)=3f′(1)x−4x2−2lnx，则f′(1)=( )
A. 5B. 4C. −4D. −5
5.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )
A. f(x)=x+1xB. f(x)=lnx+1
C. f(x)=ex+1D. f(x)=2x2+2x+1
6.7名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有( )种．
A. 720B. 1050C. 1440D. 360
7.已知正数x，y，z，满足3x=4y=6z，则下列说法不正确的是( )
A. 1x+12y=1zB. x>y>zC. 1x+1z<2yD. 3x<4y<6z
8.若a=e1e，b= 2，c=36，则( )
A. b二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的命题是( )
A. 在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数r越大，则样本的线性相关性越强
B. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y=a+bx中，b=−2，x=1，y=3，则a=5
C. 在回归分析中，决定系数R2的值越大，说明残差平方和越小
D. 以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是e4和0.3
10.下列命题是真命题的是( )
A. 若1a<1b，则lna>lnb
B. 若a+2b=3，则2a+4b≥4 2
C. 若a>b>0，则b+ca+c>ba
D. 若正实数a，b满足1a+1b=1，则1a−1+9b−1的最小值为6
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2x+6)=f(−2x)，且f(x−1)+f(x+1)=f(−2)，若f(52)=1，则( )
A. f(2024)=0B. f(x)的对称中心为(−3,0)
C. f(x)是周期函数D. k=12025(−1)kkf(k−12)=2025
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.x−12x9的展开式的常数项为_______.(用数字作答)
13.已知函数f(x)=|x2+4x−5|,x≤aax−33,x>a，对于任意两个不相等的实数x1，x2∈R，都有不等式f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，则实数a取值范围为 ．
14.有n个编号分别为1，2，⋯，n的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第n个盒子中取到黑球的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=x4m−m22(m∈Z)的图象关于y轴对称，且f(x)在(0,+∞)上单调递增．
(1)求m的值及函数f(x)的解析式;
(2)若f(a−2)16.(本小题12分)
设函数f(x)=alnx−14x−54x+1，其中在a∈R，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)极值．
17.(本小题12分)
目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩ξ~N(60,102),只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节.
(1)利用正态分布的知识, 估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中, 进入面试的人数(结果只保留整数);
(2)现有甲、乙、丙3名考生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为34,23,12,设这3名考生中通过面试的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据:若X~N(μ,σ2​​​​​​​),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
18.(本小题12分)
在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1:1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人．
(1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关;
(2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从 ①号、 ②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了 ①号套餐，则星期四选择 ①号套餐的概率为45;若星期二选择了 ②号套餐，则星期四选择 ①号套餐的概率为13，求甲同学星期四选择 ②号套餐的概率．
(3)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X.事件“X=k”的概率为P(X=k)，求使P(X=k)取得最大值时k的值．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−ax(e是自然对数的底数)．
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若g(x)=ex(x−1)−alnx+f(x)有两个零点分别为x1，x2．
(ⅰ)求实数a的取值范围;
(ⅱ)求证：x1x2>e2ex1+x2．
答案解析
1.A
【解析】解：∵A={x|x<32}，B={x|x⩾−2}，
∴A∩B=[−2,32).
故选A．
2.C
【解析】
解：命题“∀x∈0,1，x2>lnx”的否定是“∃x∈0,1，x2⩽ln x”.
故选C．
3.D
【解析】解：函数f(x)=|x2−1|2x的定义域为{x|x≠0}，
且f(−x)=(−x)2−1−2x=−|x2−1|2x=−f(x)，
函数f(x)为奇函数，A选项错误：
当x>1时，f(x)=|x2−1|2x=x2−12x=12x−1x函数单调递增，故BC选项错误;
故选D．
4.A
【解析】解：f′(x)=3f′(1)−8x−2x ，
令x=1，可得f′(1)=3f′(1)−8−2 ，解得f′(1)=5 ．
5.B
【解析】解：对于A，令f(x)=x+1x=x，
即1x=0，而x≠0，
所以方程1x=0无根，
所以函数f(x)不是“不动点”函数，故A不正确；
对于B，令lnx+1=x，不难看出x=1是该方程的根，
所以f(x)是“不动点”函数，故B正确；
对于C，令f(x)=ex+1=x，即ex−x+1=0，
令g(x)=ex−x+1，则g′(x)=ex−1=0，得x=0，
当x<0时，g′(x)<0，g(x)在(−∞,0)单调递减，
当x>0时，g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)单调递增，
所以g(x)⩾g(0)=e0−0+1=2>0，
所以方程ex−x+1=0无根，
所以函数f(x)不是“不动点”函数，故C不正确；
对于D，令f(x)=2x2+2x+1=x，得2x2+x+1=0，
因为Δ=1−4×2×1=−7<0，
所以方程2x2+x+1=0无根，
所以函数f(x)不是“不动点”函数，故D不正确．
故选B．
6.B
【解析】解：由题意可知，7名研究员的安排可以是按人数为1，3，3分为3组分到三个研究舱，
或者是按人数为2，2，3分为3组分到三个研究舱，
按人数为1，3，3分为3组分到三个研究舱，共有C71C63C33A22⋅A33=420(种)安排方案，
按人数为2，2，3分为3组分到三个研究舱时，共有C73C42C22A22⋅A33=630(种)安排方案，
故共有420+630=1050(种)安排方案．
故选B．
7.C
【解析】解：A选项，因为正数x，y，z，满足3x=4y=6z，
令3x=4y=6z=k(k>1)，
则x=lg3k，y=lg4k，z=lg6k，
所以1x+12y=lgk3+12lgk4=lgk3+lgk2=lgk6=1z，故A正确；
B选项，因为k>1，所以0所以1lgk3>1lgk4>1lgk6，即lg3k>lg4k>lg6k，
即x>y>z，故B正确；
C选项，1x+1z=lgk3+lgk6=lgk18>lgk16=2lgk4=2y，故C错误；
D选项，3x=3lg3k=lg33k=lgklg33，
4y=4lg4k=lg44k=lgklg44，
6z=6lg6k=lg66k=lgklg66，
因6<8<9，
所以(66)6<( 2)6<(33)6，所以66<44<33，即0又lgk>0，故6z>4y>3x，故D正确．
故选C．
8.D
【解析】解：令f(x)=lnxx，则f​′(x)=1−lnxx2，
当x>e时，f′x<0，函数fx单调递减；
当00，函数fx单调递增，
因为a= 2，所以lna=12ln2=ln44=f(4)，
又lnb=lnee=fe，e<4，所以f(e)>f(4)，
所以ln a>ln b，
故a>b，
因为a=e1e又因为 336=312613=312213×313=316213=316416=(34)16<1，
故c=36> 3，从而有c>a，
综上所述：b故选D．
9.BCD
【解析】解：对于选项A，应是相关系数r越大，则样本的线性相关性越强，则错误；
对于选项B，
b=−2，x=1，y=3代入回归直线方程为y=a+bx，即3=a−2，则a=5，正确；
对于选项C，显然正确；
对于选项D，对y=cekx两边取对数得lny=lnc+kx，设z=lny，则z=kx+lnc，与z=0.3x+4比较得，则4=lnc，k=0.3，即c=e4，正确．
10.BD
【解析】解：A项，当a<0，b>0时，满足1a<1b，但lna都没有意义，故A项为假命题;
B项，∵a+2b=3，∴2a+4b≥2 2a⋅4b=2 2a+2b=2 23=4 2，等号成立时，a=2b=32，故B项为真命题;
C项，可举反例，若令a=5，b=4，c=−1，则4−15−1=34=1520<45=1620，即a>b>0，但b+ca+cD项，若正实数a，b满足1a+1b=1，则b=11−1a=aa−1>0，解得a>1，同理b>1，
则1a−1+9b−1=1a−1+9aa−1−1=1a−1+9(a−1)≥2 1a−1⋅9a−1=6，
当且仅当a=43时成立，所以1a−1+9b−1的最小值为6，故D项为真命题．
11.ACD
【解析】解： 因为f(x−1)+f(x+1)=f(−2)，
所以f(x+1)+f(x+3)=f(−2)，即f(x−1)=f(x+3)，故f(x)=f(x+4)，
所以f(x)是周期为4的周期函数，则C正确．
令x=−1，得f(−2)+f(0)=f(−2)，则f(0)=0，从而f(2024)=f(0)=0，故A正确．
因为f(2x+6)=f(−2x)，所以f(x+6)=f(−x)，所以f(−x)=f(x+6−12)=f(x−6)，
故f(x)的图象关于直线x=−3对称，则B错误．
易得f(x)的周期为4，且其图象关于直线x=−3及x=3对称，则直线x=−3+4n及x=3+4n(n∈Z)均为f(x)图象的对称轴，
从而f(−2)=f(0)=0，f(72)=f(52)=1．
令x=32，得f(32−1)+f(32+1)=0，
即f(12)=−f(52)=−1，则f(12)=f(32)=f(92)=−1，
故k=12025(−1)kkf(k−12) =−f(12)+2f(32)−3f(52)+4f(72)−⋯−2025f(40492)
=(1−2−3+4)+⋯+(2021−2022−2023+2024)+2025=2025，故D正确．
12.−212
【解析】解： x−12x9 的展开式通项为 Tr+1=C9r⋅x9−r⋅−12xr=C9r⋅−12r⋅x9−3r2 ，
令 9−3r2=0 ，解得 r=3 ，所以，展开式中的常数项为 C93⋅−123=−212 ．
故答案为： −212 ．
13.−7,−5
【解析】解：因为对于任意两个不相等的实数x1，x2∈R，都有不等式f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，
所以函数y=f(x)在R上单调递减，
又因为当x≤a时，f(x)=|x2+4x−5|=|(x+5)(x−1)|，
作出y=|x2+4x−5|的图象，如图所示：
由此可得函数在(−∞,−5]和(−2,1)上单调递减，
又因为当x>a时，f(x)=ax−33，且函数在R上单调递减，
所以a⩽−5a<0a2+4a−5⩾a2−33，解得−7≤a≤−5，
即实数a取值范围为−7,−5．
故答案为−7,−5．
14.12−14×(13)n−1
【解析】解：记事件 Ai 表示从第 i(i=1 ，2， … ， n) 个盒子里取出黑球，
则 P(A1)=14 ， P(A1)=34 ，
P(A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=14×23+34×13=512 ，
P(A3)=P(A2)P(A3|A2)+P(A2)P(A3|A2)=P(A2)×23+P(A2)×13=13×P(A2)+13=1736 ，
进而可得 P(An)=P(An−1)×23+P(An−1)×13=P(An−1)×23+[1−P(An−1)]×13=13P(An−1)+13 ， n≥2 ，
，即 P(An)−12=13[P(An−1)−12] ，
又 P(A1)−12=−14 ， P(A2)−12=−112 ， P(A2)−12=13[P(A1)−12] ，
∴{P(An)−12} 是首项为 −14 ，公比为 13 的等比数列， ∴P(An)−12=−14×(13)n−1 ，
∴P(An)=12−14×(13)n−1 ．
15.解：(1)由幂函数在(0,+∞)上单调递增知，
4m−m22>0⇒0又m∈Z，m=1，2，3，
当m=1或m=3，f(x)=x32不符合题设;
当m=2，f(x)=x2为偶函数，关于y轴对称，符合;
综上，m=2且f(x)=x2；
(2)由f(x)=x2为偶函数，开口向上，
且f(a−2)所以|a−2|<|1+2a|，
两边平方，得a2−4a+4<4a2+4a+1，
化简得3a2+8a−3>0，解得a>13或a<−3，
故实数a的取值范围−∞,−3∪13+∞．
【解析】(1)由幂函数的单调性求得0(2)由已知得|a−2|<|1+2a|，两边平方，即可求解实数a的取值范围．
16.解：(1)∵f′(x)=ax+14x2−54，
由题意可得：曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为0，
即f′(1)=a+14−54=0，解得a=1．
(2)由(1)可得：f′(x)=1x+14x2−54=−5x2+4x+14x2(x>0)，
令f′(x)>0，则0令f′(x)<0，则x>1，
则f(x)在(1,+∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
故f(x)有极大值f(1)=−12，无极小值．
【解析】(1)求导，根据 f​′(1)=0 运算求解；
(2)求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定极值．
17.解：（1）由题意可知μ=60，σ=10，
则Pξ>70=Pξ>μ+σ=1−PX−μ≤σ2≈0.15865，
则共10000×0.15865=1586.5，即1586人进入面试；
（2）由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，
则P(X=0)=14×13×12=124，
​​​​​​​P(X=1)=34×13×12+14×23×12+14×13×12=14，
P(X=2)=34×23×12+34×13×12+14×23×12=1124，
P(X=3)=34×23×12=14，
所以，随机变量X的分布列如下表所示：
故E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312.
【解析】（1）由题意可知μ=60，σ=10，根据正态分布的性质即可求出概率.
（2）分析可知随机变量X的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进一步可求得EX的值.
18.解：(1)
零假设H:假设食堂就餐与性别无关，
由列联表可得χ2=100(40×30−10×20)250×50×60×40≈16.667>10.828，
所以依据小概率值α=0001的独立性检验，我们推断H不成立，
即认为学生喜欢食堂就餐与性别有关联.且此推断犯错误的概率不大于0.001．
(2)记星期二选择了 ①号套餐为事件A1，选择 ②号套餐为A2，
星期四选择了 ①号套餐为事件B1，选择 ②号套餐为B2，
则P(A1)=P(A2)=12，P(B1|A1)=45，P(B1|A2)=13，
所以P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=12×45+12×13=1730，
所以P(B2)=1−P(B1)=1−1730=1330．
(3)依题意可得学生“喜欢食堂就餐”的概率P=60100=35，
则ξ∽B(10,35)，
所以P(ξ=k)=C10k(35)k⋅(1−35)10−k=C10k(35)k⋅(25)10−k(0≤k≤10且k∈N)，
若P(ξ=k)取得最大值，则P(ξ=k)≥P(ξ=k+1)P(ξ=k)≥P(ξ=k−1)，C10k35k·2510−k⩾C10k+135k+1·259−kC10k35k·2510−k⩾C10k−135k−1·2511−k,
即25⩾35×10−kk+135×11−kk⩾25,解得285≤k≤335，
又0≤k≤10且k∈N，所以k=6．
【解析】(1)列出列联表，然后计算χ2=100(40×30−10×20)250×50×60×40即可；
(2)记星期二选择了 ①号套餐为事件A1，选择 ②号套餐为A2，星期四选择了 ①号套餐为事件B1，选择 ②号套餐为B2，然后得到P(B1)，再利用P(B2)=1−P(B1)求解即可；
(3)依题意可得ξ∽B(10,35)，然后解不等式组C10k35k·2510−k⩾C10k+135k+1·259−kC10k35k·2510−k⩾C10k−135k−1·2511−k即可．
19.解：(1)已知函数f(x)=ex−ax，函数定义域为R，
可得f′(x)=ex−a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增；
当a>0时，
当x当x>lna时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上递减，在(lna,+∞)上递增；
(2)①已知g(x)=ex(x−1)−alnx+f(x)=xex−alnx−ax，函数定义域为(0,+∞)，
若g(x)有两个零点分别为x1，x2，
不妨设ℎ(x)=xex−alnx−ax=xex−aln(xex)，函数定义域为(0,+∞)，
此时函数ℎ(x)有两个零点，
不妨设t=xex，函数定义域为(0,+∞)，
可得t′=(x+1)ex>0恒成立，
所以函数t=xex在x>0上单调递增，
此时g(t)=t−alnt有两个零点，
因为g′(t)=1−at=t−at，
当a≤0时，g′(t)>0，g(t)单调递增，不满足条件；
当a>0时，
当0当t>a时，g′(t)>0，g(t)单调递增，
所以g(t)min=g(a)=a−alna，
若g(a)>0，此时a−alna>0，
解得0可得g(t)>0恒成立，没有零点，不满足条件；
若g(a)=0，此时a−alna=0，
解得a=e，
此时g(t)有且仅有一个零点，不满足条件；
若g(a)<0，此时此时a−alna<0，
解得a>e，
又g(1)=1>0，g(e)=e−a<0，g(ea)=ea−a2>0，
此时g(t)在(1,e)，(e,ea)上各存在一个零点，满足条件，
综上，a的取值范围为(e,+∞)；
②证明：要证x1x2>e2ex1+x2，
即证：lnx1+lnx2>2−(x1+x2)，
即证ln(x1ex1)+ln(x2ex2)>2，
由①知t1=x1ex1，t2=x2ex2，
此时需证lnt1+lnt2>2，
因为alnt1=t1，alnt2=t2，
所以a(lnt2−lnt1)=t2−t1，a(lnt2+lnt1)=t2+t1，
此时lnt2+lnt1=t2+t1t2−t1(lnt2−lnt1)=(t2t1+1)lnt2t1t2t2−1，
需证(t2t1+1)lnt2t1t2t2−1>2，
不妨设0令m=t2t1，m>1，
即证lnm>2m−1m+1，
要证lnm+4m+1−2>0，
不妨设k(m)=lnm+4m+1−2，函数定义域为(1,+∞)，
可得k′(m)=1m−4(m+1)2=(m−1)2m(m+1)2>0，
所以k(m)在定义域上单调递增，
此时k(m)>k(1)=0，
所以当m>1时，lnm+41+1−2>0 成立，
则lnt1+lnt2>2，
故lnx1+lnx2>2−(x1+x2)，
故x1x2>e2ex1+x2．
【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，分别讨论当a≤0和a>0这两种情况，结合导数的几何意义即可得到函数f(x)的单调性；
(2)①得到函数g(x)的解析式，构造函数ℎ(x)=xex−alnx−ax=xex−aln(xex)，将g(x)有两个零点分别为x1，x2，转化成函数ℎ(x)有两个零点，设t=xex，求导，得到t=xex在x>0上单调递增，可得g(t)=t−alnt有两个零点，对g(t)进行求导，别讨论当a≤0和a>0这两种情况，结合导数的几何意义得到函数g(t)的单调性和最小值，对最小值的大小进行讨论，进而即可求解；
②要证x1x2>e2ex1+x2，即证lnx1+lnx2>2−(x1+x2)，即证ln(x1ex1)+ln(x2ex2)>2，结合①中信息，需证lnt1+lnt2>2，易知lnt2+lnt1=t2+t1t2−t1(lnt2−lnt1)=(t2t1+1)lnt2t1t2t2−1，此时要证(t2t1+1)lnt2t1t2t2−1>2，设01，即证lnm+4m+1−2>0，构造函数k(m)=lnm+4m+1−2，对k(m)进行求导，利用导数得到k(m)的单调性和最值，进而即可求解．男生
女生
合计
喜欢食堂就餐
不喜欢食堂就餐
10
合计
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
124
14
1124
14