2023-2024学年安徽省六安市霍山中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年安徽省六安市霍山中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z在复平面内对应的点是(1,−1)，则1z−1=( )
A. iB. −iC. 1D. −1
2.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形O′A′B′C′，则原平面图形的周长为( )
A. 4a B. 8a
C. 6a D. 8 2a
3.已知非零向量a与b同向，则a−b( )
A. 必定与a同向B. 必定与b同向
C. 必定与a是平行向量D. 与b不可能是平行向量
4.已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β=m.下列四个命题：
①若m//n，则n//α或n//β ②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β
③若n//α，且n//β，则m//n ④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n
其中，所有真命题的编号是( )
A. ①③B. ②③C. ①②③D. ①③④
5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是( )
A. A与B互为对立事件 B. P(A)=P(B) C. A与B相等 D. A与B互斥
6.一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为28π，则它的表面积为( )
A. 41πB. 42πC. 29 33πD. (18+7 3)π
7.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C、D两观测点，且在C、D两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得∠BCD=120°，C、D两地相距500m，则电视塔AB的高度是( )
A. 100 2m
B. 400m
C. 200 3m
D. 500m
8.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别是棱B1B,B1C1的中点，点G是棱CC1的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面的面积为( )
A. 1B. 98C. 89D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则( )
A. 这组数据的众数为4B. 这组数据的极差为3
C. 这组数据的平均数为2D. 这组数据的50%分位数为1
10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若A>B，则csA>csB
C. 若a2+b2D. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形或者直角三角形
11.已知梯形ABCD，AB=AD=1，BC=2，AD//BC，AD⊥AB，P是线段BC的中点.将△ABD沿着BD所在的直线翻折成四面体ABCD，翻折的过程中下列选项正确的是( )
A. BD与AP始终垂直
B. 当直线AP与平面BCD所成角为π6时，AP= 62
C. 四面体A−BCD体积的最大值为 22
D. 四面体ABCD的外接球的表面积的最小值为4π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设e1,e2是不共线的两个向量，AB=e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1−e2.若A，B，D三点共线，则k的值为______．
13.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1，棱长为2，E是CC1的中点，则二面角E−DB−C的正弦值为______．
14.粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为6cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
复数z=(m2−3m−4)+(m2−5m−6)i，m∈R．
(1)若z是虚数，求实数m的取值范围；
(2)若z所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c2+b2−a2= 2bc．
(1)求A；
(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．
17.(本小题15分)
甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为12和23，求：
(1)两个人都译出密码的概率；
(2)恰有1个人译出密码的概率．
18.(本小题17分)
如图：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．
19.(本小题17分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在[50,60)的平均成绩是57，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数z−和总方差s2．
参考答案
1..A
2..B
3..C
4..A
5..B
6..B
7..D
8..B



12..−4
13.. 33
14.. 6π
15..解：(1)由题意可知：z是虚数，则m2−5m−6≠0，解得：m≠−1且m≠6，
∴实数m的取值范围m≠−1且m≠6；
(2)∵z所对应的点在第四象限，则m2−3m−4>0m2−5m−6<0，解得：4∴实数m的取值范围是(4,6)．
16..解：(1)根据c2+b2−a2= 2bc，可得csA=b2+c2−a22bc= 22，
因为△ABC中，角A∈(0,π)，所以A=π4；
(2)当a=2时，由余弦定理a2=b2+c2− 2bc，
可得b2+c2− 2bc=4，即b2+c2= 2bc+4，
因为b2+c2≥2bc，即 2bc+4≥2bc，解得bc≤42− 2=4+2 2，当且仅当b=c时，等号成立，
因此，△ABC的面积S=12bcsinA≤ 2+1，当b=c时，△ABC面积的最大值 2+1．
17..解：(1)记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，
可得事件A，B为相互独立事件，且P(A)=12，P(B)=23，
两个人都译出密码的概率为P(A∩B)=P(A)×P(B)=12×23=13．
(2)恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，
且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P[(A∩B−)∪(A−∩B)]=P(A∩B−)+P(A−∩B)=P(A)P(B−)+P(A−)P(B)=12×(1−23)+(1−12)×23=12．
18..证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，PA⊥α，BC在α内，
所以PA⊥BC
因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，
所以∠BCA=90°，即BC⊥AC
又因为PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC
又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
19..解：(1)因为每组小矩形的面积之和为1，
所以(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，则a=0.030．
(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，
落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，
设第75百分位数为m，
由0.65+(m−80)×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位数为84．
(3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，
成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，
故这两组成绩的总平均数为10×57+69×2010+20=65，
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：
s2=1030×[7+(57−65)2]+2030×[4+(69−65)2]=37．