2023-2024学年北京市通州区高一下学期期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市通州区高一下学期期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复平面内点A(1,−2)所对应复数的虚部为( )
A. 1B. −2C. iD. −2i
2.样本数据3，5，7，2，10，2的中位数是( )
A. 7B. 6C. 4D. 2
3.已知向量a=(−1,2)，a⊥b，那么向量b可以是( )
A. (2,1)B. (2,−1)C. (−2,1)D. 1,−2
4.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知A=π6,a=1,b= 2，则B=( )
A. π3B. π4C. π4或3π4D. π3或2π3
5.已知圆锥的底面半径是1，高为 3，则圆锥的侧面积是( )
A. πB. 3πC. 4πD. 2π
6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，则A1C1与B1C所成角为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
7.在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是( )
A. 若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB. 若l⊥β，且α//β，则l⊥α
C. 若α//β，l⊂α，m⊂β，则l//mD. 若l⊥β，且α⊥β，则l//α
8.一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A. 2个小球恰有一个红球B. 2个小球至多有1个红球
C. 2个小球中没有绿球D. 2个小球至少有1个红球
9.一个长为2 2，宽为2的长方形，取这个长方形的四条边的中点依次
为A，B，C，D，依次沿AB，BC，CD，DA，DB折叠，使得这个长方形
的四个顶点都重合而得到的四面体，称为“萨默维尔四面体”，如下图，
则这个四面体的体积为( )
A. 12B. 23C. 1D. 2
10.达⋅芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，把六片这样的达·芬奇方砖拼成下图的组合，这个组合再转换成几何体，则需要10个正方体叠落而成，若一个小球从图中阴影小正方体出发，等概率向相邻小正方体(具有接触面)移动一步，则经过两步移动后小球又回到阴影小正方体的概率为( )
A. 14B. 13C. 512D. 712
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设复数z满足z1−i=2i(i为虚数单位)，则z的模为 ．
12.从写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中有放回的抽取两次，两次抽取的卡片数字和为5的概率是 ．
13.已知a,b,c分别是▵ABC的角A,B,C的对边，若b=5，c=4，AB⋅AC=−10，则A= ，▵ABC的面积为 ．
14.在正方形ABCD中，E是DC边上一点，且DE=2EC，点F为AE的延长线上一点，写出可以使得AF=λAB+μAD成立的λ，μ的一组数据λ,μ为 ．
15.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为BC的中点，F为线段CC1上的动点，过点A，E，F的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是 ．
①直线D1D与直线AF相交；
②当0A，
由正弦定理得asinA=bsinB，
即sinB=bsinAa= 2×121= 22，
因为B∈0,π，
所以B=π4或3π4．
故选：C．
5.D
【解析】因为圆锥的底面半径是1，高为 3，
所以圆锥的母线长为 ( 3)2+12=2，
所以圆锥的侧面积为π×2×1=2π．
故选：D
6.C
【解析】如图所示：连接AC,AB1，

由正方体的性质可得，AC//A1C1，则∠ACB1即为A1C1与B1C所成角，
又AC=B1C=AB1，所以∠ACB1=π3．
故选：C．
7.B
【解析】对于A，α⊥β，当平面α,β的交线为l时，满足l⊂β，此时l⊂α， A错误；
对于B，由l⊥β，得存在过直线l的平面γ,δ，γ∩β=a,δ∩β=b，由于α//β，
则平面γ,δ与平面α必相交，令γ∩α=a′,δ∩α=b′，于是a′//a,b′//b，
显然l⊥a,l⊥b，而l,a,a′⊂γ，则l⊥a′，同理l⊥b′，又a′,b′是平面α内的两条相交直线，因此l⊥α， B正确；
对于C，α//β，l⊂α，m⊂β，l//m或l,m异面， C错误；
对于D，α⊥β，令α∩β=c，当直线l在平面α内，且l⊥c时，满足l⊥β，此时l//α不成立， D错误．
故选：B
8.A
【解析】2个小球恰有一个红球包括2个小球1个红球1个黄球和2个小球1个红球1个绿球，与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立，符合题意，故A正确；
2个小球至多有1个红球包括2个小球都不是红球和2个小球恰有1个红球，则2个小球至多有1个红球与事件“2个小球都为红色”是对立事件，故B错误；
2个小球中没有绿球包括2个小球都为红色，2个小球都为黄色和2个小球1个红球1个黄球，则事件“2个小球都为红色”是2个小球中没有绿球的子事件，故C错误；
2个小球至少有1个红球包括2个小球都是红球和2个小球1个红球1个不是红球，则事件“2个小球都为红色”是2个小球至少有1个红球的子事件，故D错误；
故选：A
9.B
【解析】
由题意可得，BC=CD=AD=AB= 3，AC=BD=2，
取BD中点E，连接AE,CE，又AB=AD，所以AE⊥BD，
且AE= AB2−BE2= 3−1= 2，CE= BC2−BE2= 3−1= 2，
则AE2+CE2=AC2，所以AE⊥CE，且CE∩BD=E，CE,BD⊂平面BCD，
所以AE⊥平面BCD，
则VA−BCD=13S▵BCD⋅AE=13×12×2× 2× 2=23．
故选：B
10.D
【解析】由题意可得，一个小球从图中阴影小正方体出发，可以向上，向下或水平移动，
设小球向上移动为事件A，小球水平移动为事件B，小球向下移动为事件C，
小球回到阴影为事件D，
则PA=14,PB=12,PC=14,PDA=1,PDB=12,PDC=13，
则PD=PAPDA+PBPDB+PCPDC
=14+12×12+14×13=712．
故选：D
11. 2
【解析】z=2i1+i1−i1+i=−1+i,z= −12+12= 2．
故答案为： 2．
12.425
【解析】用(x,y)中的x表示第一次取到的卡片数字，y表示第一次取到的卡片数字，
由题知，样本空间为Ω=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)，共25个，
记事件B：两次抽取的卡片数字和为5，事件B包含的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4个，
所以两次抽取的卡片数字和为5的概率是425，
故答案为：425．
13.2π3 ； ； ； ； ；；5 3
【解析】依题意，csA=AB⋅AC|AB||AC|=−10bc=−1020=−12，在▵ABC中，0