2023-2024学年北京市西城区九年级第一学期期末数学试卷答案

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第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．若抛物线经过点，则的值为（ ）
A．2B．1C．0D．
2．北京城区的胡同中很多精美的砖雕美化了生活环境，砖雕形状的设计采用了丰富多彩的图案．下列砖雕图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（ ）
A．3个球都是白球B．至少有1个黑球
C．3个球都是黑球D．有1个白球2个黑球
4．下列关于函数的结论中，正确的是（ ）
A．随的增大而减小B．当时，随的增大而增大
C．当时，随的增大而增大D．当时，随的增大而减小
5．小云从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的．图中角的度数为（ ）
A．60°B．70°C．72°D．75°
6．某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/平方公里·月下降至2022年的3.6吨/平方公里·月，若设降尘量的年平均下降率为，则可列出关于的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．65°
8．如图，抛物线（）经过点．下面有四个结论：
①；②；③；
④关于的不等式的解集为．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②③④
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为________．
10．一元二次方程的解是________．
11．已知的半径为6，若点在外，则________6（填“”“”或“”）．
12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________．
13．写出一个开口向上，且过原点的抛物线的表达式：________．
14．如图，四边形内接于，，则________°，依据是________．
15．中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“上圆弧”的长为，“直边长”为，“下圆弧”的长为，则________（用含，的式子表示）．

图1 图2
16．如图，在三角尺中，，，．把边放在直尺上，让三角尺在桌面上沿直尺按顺时针方向无滑动地滚动，直到边再一次落到直尺上时停止滚动．三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点顺时针旋转了150°，记为．
有以下三个结论：
①第一次滚动的过程中，点运动的路径长为；
②第二次滚动可记为；
③点，点，点在滚动全程中，运动路径最长的是点．
上述结论中，所有正确结论的序号是________．
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．解方程：．
18．已知二次函数．
（1）将化成的形式；
（2）抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式．
19．两个质地均匀的正方体M和N，正方体M的六个面分别标有数字“0”“1”“2”“3”“4”“5；正方体N的六个面分别标有数字“0”“1”“2”“6”“7”“8”．掷小正方体后，观察朝上一面的数字．
（1）掷一次正方体M时，出现奇数的概率是多少；
（2）如果先掷一次正方体M，再掷一次正方体N得到两个数字，如先后挪到“0”和“1”记为01，可表示某月的01日；先后掷到“5”和“8”记为58，不能表示某月的日期．求先后各掷一次正方体M和正方体N，得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率．
20．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点为．
（1）________；
（2）画出函数的图象；
（3）当时，结合函数图象直接写出的取值范围．
21．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程的一根是另一根的2倍，求的值．
22．如图，是的弦，半径，垂足为．，，求的半径．
23．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转90°得到，点，，的对应点分别为，，．
（1）画出旋转后的；
（2）直接写出点的坐标；
（3）记线段与线段的交点为，直接写出的大小．
24．如图，是的直径，，交于点，点在的延长线上且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
25．如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线和下方拱线的最高点均为点，拱门的跨径间对称分布有8根立柱．他搜集到两条拱线的相关数据，拱线的跨径长为14m，高为6.125m．右侧的四根立柱在拱线上的端点，，，的相关数据如下表所示．
所查阅的资料显示：拱线为某个圆的一部分，拱线为某条抛物线的一部分．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）选取拱线上的任意三点，通过尺规作图作出拱线所在的圆；
（2）建立适当的平面直角坐标系，选取拱线上的点，求出拱线所在的抛物线对应的函数解析式，并验证拱线上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）．
26．在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线（）上．
（1）这个抛物线的对称轴为直线________．
（2）若，求的取值范围；
（3）若无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的上方，直接写出的取值范围．
27．在中，，，于点．点在射线上，连接，作于点．连接，作于点，作交直线于点，连接．

图1 图2 备用图
（1）当点在线段上时，在图1中补全图形，并直接写出的度数；
（2）当点在线段的延长线上时，利用图2探究线段与之间的数量关系，并证明；
（3）取线段的中点，连接，若，直接写出线段的长的最小值．
28．如图，在平面直角坐标系中，点，．对于一个角（），将一个图形先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转，称为一次“对称旋转”．
备用图
（1）点在线段上，则在点，，，中，有可能是由点经过一次“90°对称旋转”后得到的点是________；
（2）轴上的一点经过一次“对称旋转”得到点．
①当时，________；
②当时，若轴，求点的坐标；
（3）以点为圆心作半径为1的圆．若在上存在点，使得点经过一次“对称旋转”后得到的点在轴上，直接写出的取值范围．
点
点
点
点
距的水平距离（m）
4
5
6
7
距的竖直距离（m）
4.125
3.000
1.625
0