数学02（新九省地区专用）-2025届新高三开学摸底考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．BD10．BCD11．BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
13. 3 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【详解】（1）在中，
，
因为，
所以，
化简得，由余弦定理得，
又，所以；分
（2）由正弦定理知
，
由为锐角三角形可知，而，分
所以得，
所以，
所以，即 ，
则的取值范围为分
16．（15分）
【详解】（1）由已知得长轴长为，则；分
（2）① 证明：由（1）知，所以椭圆方程为，
易知，
所以，
故直线的方程为，直线的方程为，
令，则，
易知，
，
联立方程组，
解得，
在的上方，，
即，
由上得，四边形的对角线互相垂直且平分，故四边形是菱形．分
② 解：由，从而
即椭圆的方程为分

17．（15分）
【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面分
（2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直角空间坐标系，
设，则，由， ，，，
则，，因，则，，
所以，
①设平面的法向量为，由，，得：
，可取
设直线与平面所成角为，
则有：，，
即：，化简得：，
解得或，即或分
②如图，假设在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，所以，
由得，即，
亦即（*），
因为，所以方程（*）无实数解，
所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上分
18．（17分）
【详解】（1）若，即证，
设，则，
由，得，所以当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，
即，即，
所以可得分
（2）方程，即，显然当时，方程不成立，则，
若方程有两个不等实根，即函数与函数有2个交点，
易知，
当时，在区间和上单调递减，
当时，，当时，
当时，在上单调递增，
所以当时，时，取得最小值，且，
且时，，当时，
其图象如图所：，
结合图象可知与有2个交点，则；
因此的取值范围为分
（3）当时，，
所以时，，也即，
当时，，
令，则，
令
当时，，则在单调递增，
又易知，所以在上存在唯一的零点，即在上存在唯一的零点，
设此零点为，则，且，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以的最小值为，
所以，即可得整数的最大值为分
19．（17分）
【详解】（1）设第次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为，
则．
第2次传球到乙手中的概率，
所以第3次传球是由乙传给甲的概率为．分
（2）根据已知条件可得，当时，
联立则有，
所以是首项为，公比为的等比数列，故．
因为，所以，
代入①②式得，
将⑤代入⑥得，，
则，
其中，
故，
，
，
……，
，
由累加法可得，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
故第次传球后排球传到丙手中的概率为．分
（3）随机变量服从两点分布，设第i次未传到乙手中的概率为，
则排球第i次传到乙手中的概率为，
则．
由（2）知
，
其中，
所以．分
1
2
3
4
5
6
7
8
C
C
A
C
C
A
C
A