2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练4基本不等式

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练4基本不等式，共4页。

一、选择题
1．函数y＝2x＋ eq \f(2,2x)的最小值为( )
A．1 B．2
C．2 eq \r(2) D．4
答案：C
解析：因为2x>0，所以y＝2x＋ eq \f(2,2x)≥2 eq \r(2x·\f(2,2x))＝2 eq \r(2)，当且仅当2x＝ eq \f(2,2x)，即x＝ eq \f(1,2)时取“＝”．故选C.
2．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则 eq \f(1,ab)的最小值为( )
A．2 B． eq \f(1,2)
C．4 D． eq \f(1,4)
答案：B
解析：∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2 eq \r(2ab)(当且仅当2a＝b，即：a＝1，b＝2时等号成立)，∴03．下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，lg x＋ eq \f(1,lg x)≥2
B．当x∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，sin x＋ eq \f(4,sin x)的最小值为4
C．当x>0时， eq \r(x)＋ eq \f(1,\r(x))≥2
D．当0答案：C
解析：当x∈(0，1)时，lg x<0，故A不成立，对于B中sin x＋ eq \f(4,sin x)≥4，当且仅当sin x＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B不正确；D中y＝x－ eq \f(1,x)在(0，2]上单调递增，故当x＝2时，y有最大值，故D不正确；又 eq \r(x)＋ eq \f(1,\r(x))≥2 eq \r(\r(x)·\f(1,\r(x)))＝2(当且仅当 eq \r(x)＝ eq \f(1,\r(x))即x＝1时等号成立).故C正确．
4．下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋b2≤2ab B．a2＋b2≥－2ab
C．a＋b≥2 eq \r(|ab|) D．a＋b≥－2 eq \r(|ab|)
答案：B
解析：对于A，C，D，当a＝0，b＝－1时，a2＋b2＞2ab，a＋b＜2 eq \r(ab)，a＋b＜－2 eq \r(|ab|)，故A，C，D错误；对于B，因为a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a|·|b|＝2|ab|≥－2ab，所以B正确．故选B.
5．若x>0，y>0，x＋2y＝1，则 eq \f(xy,2x＋y)的最大值为( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,5)
C． eq \f(1,9) D． eq \f(1,12)
答案：C
解析：x＋2y＝1⇒y＝ eq \f(1－x,2)，则 eq \f(xy,2x＋y)＝ eq \f(x－x2,3x＋1).
∵x>0，y>0，x＋2y＝1，
∴0设3x＋1＝t(1原式＝ eq \f(－t2＋5t－4,9t)＝ eq \f(5,9)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,9)＋\f(4,9t)))≤ eq \f(5,9)－2 eq \r(\f(4,81))＝ eq \f(1,9)，
当且仅当 eq \f(t,9)＝ eq \f(4,9t)，即t＝2，x＝ eq \f(1,3)，y＝ eq \f(1,3)时，取等号，则 eq \f(xy,2x＋y)的最大值为 eq \f(1,9)，故选C.
6．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＋c2＝4，则ab＋bc＋ac的最大值为( )
A．8 B．4
C．2 D．1
答案：B
解析：∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，∴ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2＝4.
7．若直线 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：C
解析：因为直线 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，所以 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝1.所以a＋b＝(a＋b)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋ eq \f(a,b)＋ eq \f(b,a)≥2＋2 eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，当且仅当 eq \f(a,b)＝ eq \f(b,a)即a＝b＝2时取“＝”，故选C.
8．若向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)，a与b相互垂直，则9x＋3y的最小值为( )
A．12 B．2
C．3 D．6
答案：D
解析：∵a⊥b，∴a·b＝(x－1，2)·(4，y)＝4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，
∴9x＋3y＝32x＋3y≥2 eq \r(32x＋y)＝2 eq \r(32)＝6，当且仅当2x＝y＝1时取等号，∴9x＋3y的最小值为6.
9．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( )
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
答案：C
解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x＞0，y＞0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤ eq \f(（x＋y）2,4)＝ eq \f(42,4)＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C.
二、填空题
10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋ eq \f(1,8b)的最小值为________.
答案： eq \f(1,4)
解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴ 2a＋ eq \f(1,8b)＝2a＋2－3b≥2 eq \r(2a·2－3b)＝2 eq \r(2a－3b)＝2 eq \r(2－6)＝ eq \f(1,4).当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1时，2a＋ eq \f(1,8b)取得最小值为 eq \f(1,4).
11．已知函数f(x)＝4x＋ eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
答案：36
解析：∵x>0，a>0，∴4x＋ eq \f(a,x)≥2 eq \r(4x·\f(a,x))＝4 eq \r(a)，
当且仅当4x＝ eq \f(a,x)，即：x＝ eq \f(\r(a),2)时等号成立，由 eq \f(\r(a),2)＝3，a＝36.
12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
答案：2＋ eq \r(3)
解析：由3a＋b＝2ab，
得 eq \f(3,2b)＋ eq \f(1,2a)＝1，
∴a＋b＝(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2b)＋\f(1,2a)))＝2＋ eq \f(b,2a)＋ eq \f(3a,2b)≥2＋2 eq \r(\f(b,2a)·\f(3a,2b))＝2＋ eq \r(3)(当且仅当 eq \f(b,2a)＝ eq \f(3a,2b)即b＝ eq \r(3)a时等号成立).
[能力提升]
13．[2024·合肥一中高三测试]若a，b都是正数，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案：C
解析： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))＝5＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(4a,b)≥5＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9(当且仅当 eq \f(b,a)＝ eq \f(4a,b)即b＝2a时等号成立).
14.(多选)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥ eq \f(1,2) B．2a－b＞ eq \f(1,2)
C．lg2a＋lg2b≥－2 D． eq \r(a)＋ eq \r(b)≤ eq \r(2)
答案：ABD
解析：对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥ eq \f(1,2)，正确；对于选项B，易知0＜a＜1，0＜b＜1，∴－1＜a－b＜1，∴2a－b＞2－1＝ eq \f(1,2)，正确；对于选项C，令a＝ eq \f(1,4)，b＝ eq \f(3,4)，则lg2 eq \f(1,4)＋lg2 eq \f(3,4)＝－2＋lg2 eq \f(3,4)＜－2，错误；对于选项D，∵ eq \r(2)＝ eq \r(2（a＋b）)，∴[ eq \r(2（a＋b）)]2－( eq \r(a)＋ eq \r(b))2＝a＋b－2 eq \r(ab)＝( eq \r(a)－ eq \r(b))2≥0，∴ eq \r(a)＋ eq \r(b)≤ eq \r(2)，正确．故选ABD.
15．(多选)已知a，b，c为正实数，则( )
A．若a＞b，则 eq \f(a,b)＜ eq \f(a＋c,b＋c)
B．若a＋b＝1，则 eq \f(b2,a)＋ eq \f(a2,b)的最小值为1
C．若a＞b＞c，则 eq \f(1,a－b)＋ eq \f(1,b－c)≥ eq \f(4,a－c)
D．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2的最小值为3
答案：BCD
解析：因为a>b，所以 eq \f(a,b)－ eq \f(a＋c,b＋c)＝ eq \f(c（a－b）,b（b＋c）)＞0，所以 eq \f(a,b)＞ eq \f(a＋c,b＋c)，选项A不正确；因为a＋b＝1，所以 eq \f(b2,a)＋ eq \f(a2,b)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a)＋a))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,b)＋b))－(a＋b)≥2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝1，当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2)时取等号，所以 eq \f(b2,a)＋ eq \f(a2,b)的最小值为1，故选项B正确；
因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，所以(a－c) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（a－b）＋（b－c）))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝2＋ eq \f(b－c,a－b)＋ eq \f(a－b,b－c)≥2＋2 eq \r(\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c))＝4，当且仅当b－c＝a－b时取等号，所以 eq \f(1,a－b)＋ eq \f(1,b－c)≥ eq \f(4,a－c)，故选项C正确；
因为a2＋b2＋c2＝ eq \f(1,3)[(a2＋b2＋c2)＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)]≥ eq \f(1,3)(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca)＝ eq \f(1,3)[(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2]＝ eq \f(1,3)(a＋b＋c)2＝3，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，所以a2＋b2＋c2的最小值为3，故选项D正确．
16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
答案：30
解析：一年的总运费为6× eq \f(600,x)＝ eq \f(3 600,x)(万元).
一年的总存储费用为4x万元．
总运费与总存储费用的和为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3 600,x)＋4x))万元．
因为 eq \f(3 600,x)＋4x≥2 eq \r(\f(3 600,x)·4x)＝240，当且仅当 eq \f(3 600,x)＝4x，即x＝30时取得等号，
所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．