2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练47抛物线

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练47抛物线，共6页。

一、选择题
1．抛物线y＝ eq \f(1,4)x2的焦点到其准线的距离为( )
A．1 B．2
C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,8)
答案：B
解析：y＝ eq \f(1,4)x2可化为x2＝4y，则焦点到准线的距离为 eq \f(1,2)×4＝2.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A．(－1，0) B．(1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
答案：B
解析：∵y2＝2px的准线为x＝－ eq \f(p,2)，又准线过点(－1，1)，∴－ eq \f(p,2)＝－1，∴p＝2，故其焦点坐标为(1，0).
3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为( )
A．抛物线 B．直线 C．线段 D．射线
答案：B
解析：∵F(2，1)在直线l：3x＋4y－10＝0上，∴动点M的轨迹为过点F且与直线l垂直的直线．
4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线 eq \f(x2,3)－y2＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
答案：B
解析：∵ eq \f(x2,3)－y2＝1的右焦点为(2，0)，∴ eq \f(p,2)＝2，p＝4.
5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A.2 B．2 eq \r(2)
C．3 D．3 eq \r(2)
答案：B
解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2 eq \r(x0)).根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝ eq \r(（1－3）2＋（2－0）2)＝2 eq \r(2).故选B.
6．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 eq \f(x2,3p)＋ eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3 C．4 D．8
答案：D
解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，椭圆的焦点坐标为(± eq \r(2p)，0)，所以 eq \f(p,2)＝ eq \r(2p)，解得p＝8，故选D.
7.
如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
答案：B
解析：
如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，
∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝ eq \f(4,3)，∵AE∥FG，∴ eq \f(FG,AE)＝ eq \f(CF,AC)，即 eq \f(p,4)＝ eq \f(4,8)，得p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.故选B.
8．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))等于( )
A． eq \f(3,4) B．－ eq \f(3,4) C．3 D．－3
答案：B
解析：当AB与x轴垂直时，A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1))， eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)＋1×(－1)＝－ eq \f(3,4)；
当AB与x轴不垂直时，
设l：y＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，,y2＝2x，))得k2x2－(k2＋2)x＋ eq \f(k2,4)＝0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
由韦达定理得x1＋x2＝ eq \f(k2＋2,k2)，x1x2＝ eq \f(1,4)，
∴ eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,2)))
＝(1＋k2)x1x2－ eq \f(1,2)k2(x1＋x2)＋ eq \f(k2,4)＝－ eq \f(3,4).
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为(3，y0)时，△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为( )
A． eq \f(4\r(3),3) B． eq \r(3) C． eq \f(2\r(3),3) D． eq \f(\r(3),3)
答案：A
解析：不妨设点A在第一象限，
如图所示，过点F作AE的垂线，垂足为H，由题知当A的坐标为(3，y0)时△AEF为正三角形，此时H为AE的中点，|AE|＝3＋ eq \f(p,2)，|EH|＝p，∴2p＝3＋ eq \f(p,2)，解得p＝2，∴y2＝4x，A(3，2 eq \r(3))，F(1，0)，∴kAF＝ eq \r(3)，直线AF的方程为y＝ eq \r(3)(x－1)，代入抛物线方程得3(x－1)2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得x1＝3，x2＝ eq \f(1,3)，此时y1＝2 eq \r(3)，y2＝－ eq \f(2\r(3),3)，∴S△AOB＝S△OFB＋S△OFA＝ eq \f(1,2)×1×( eq \f(2\r(3),3)＋2 eq \r(3))＝ eq \f(4\r(3),3)，故选A.
二、填空题
10．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
答案：x＝－ eq \f(3,2)
解析：抛物线C：y2＝2px (p>0)的焦点F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
∵P为C上一点，PF与x轴垂直，
所以P的横坐标为 eq \f(p,2)，代入抛物线方程求得P的纵坐标为±p，
不妨设P( eq \f(p,2)，p)，
因为Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，所以Q在F的右侧，
又∵|FQ|＝6，
∴Q(6＋ eq \f(p,2)，0)，∴ eq \(PQ,\s\up6(→))＝(6，－p)
因为PQ⊥OP，所以 eq \(PQ,\s\up6(→))· eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \f(p,2)×6－p2＝0，
∵p>0，∴p＝3，
所以C的准线方程为x＝－ eq \f(3,2).
11．已知点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\r(5)))在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．
答案： eq \f(9,4)
解析：将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－ eq \f(5,4)，所以A到准线的距离为1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)))＝ eq \f(9,4).
12．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．
答案：0或1
解析：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，
若k＝0，满足题意；若k≠0，则Δ＝(4k－8)2－4×4k2＝0，得k＝1.综上得k＝0或k＝1.
[能力提升]
13．(多选)[2023·新课标Ⅱ卷]设O为坐标原点，直线y＝－ eq \r(3)(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝ eq \f(8,3)
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
答案：AC
解析：由题意，易知直线y＝－ eq \r(3)(x－1)过点(1，0).
对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以 eq \f(p,2)＝1，即p＝2，所以A选项正确．
对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1所以由两点间距离公式可得|MN|＝ eq \r(（3－\f(1,3)）2－（－2\r(3)－\f(2\r(3),3)）2)＝ eq \f(16,3)，故B选项错误．
对于C，由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为( eq \f(5,3)，－ eq \f(2\r(3),3))，半径r＝ eq \f(1,2)|MN|＝ eq \f(8,3)＝ eq \f(5,3)＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确．
对于D，由两点间距离公式可得|MN|＝ eq \f(16,3)，|OM|＝ eq \f(\r(13),3)，|ON|＝ eq \r(21)，故D选项错误．综上，选AC.
14．(多选)[2024·新课标Ⅱ卷]抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点，过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B.则( )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ eq \r(15)
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
答案：ABD
解析：
∵y2＝4x，∴准线l为直线x＝－1，∵⊙A圆心为A(0，4)，半径为1，作出抛物线C与⊙A如图所示．∴l与⊙A相切，故A正确．当P，A，B三点共线时，∵A(0，4)，∴P点坐标为(4，4), ∵|PA|＝4，|AQ|＝1，∴|PQ|＝ eq \r(42－1)＝ eq \r(15)，故B正确．当|PB|＝2时，P点坐标为(1，2)或(1，－2).当P点坐标为(1，2)时，点B坐标为(－1，2)，|PA|＝ eq \r(12＋（4－2）2)＝ eq \r(5)＝|AB|，而|PB|＝2，|PA|2＋|AB|2≠|PB|2，此时PA与AB不垂直；当P点坐标为(1，－2)时，B点坐标为(－1，－2)，|PA|＝ eq \r(12＋（4＋2）2)＝ eq \r(37)＝|AB|，而|PB|＝2，则|PA|2＋|AB|2≠|PB|2，此时PA与AB不垂直，故C错误．对于D，设点P的横坐标为m(m>0)，则点P坐标为(m，2 eq \r(m))或(m，－2 eq \r(m))，|PB|＝m＋1.当P点坐标为(m，2 eq \r(m))时，|PA|＝ eq \r(m2＋（2\r(m)＋4）2)，∵|PA|＝|PB|，∴|PA|2＝|PB|2，即m2＋4m＋16－16 eq \r(m)＝m2＋1＋2m，化简得2m＋15－16 eq \r(m)＝0，解得m1＝ eq \f(49,2)＋4 eq \r(34)，m2＝ eq \f(49,2)－4 eq \r(34)，当P点坐标为(m，－2 eq \r(m))时，|PA|＝ eq \r(m2＋（2\r(m)＋4）2)，同理，由|PA|＝|PB|，得2m＋16 eq \r(m)＋15＝0，解得 eq \r(m)＝ eq \f(－8＋\r(34),2)<0或 eq \r(m)＝ eq \f(－8－\r(34),2)<0，不符合题意，因此满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个，故D正确．故选ABD.
15．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，抛物线C有一点P，过点P作PM⊥l，垂足为M，若等边△PMF的面积为4 eq \r(3)，则p＝________．
答案：2
解析：设准线l和x轴交于N点，PM平行于x轴，∠PMF＝∠MFN＝60°，由抛物线的定义得到|NF|＝p，故|MF|＝2p，故 eq \f(\r(3),4)(2p)2＝4 eq \r(3)，∴p＝2.
16．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在x轴上方)，则 eq \f(|AF|,|BF|)＝________.
答案：3
解析：
如图所示，由题意得准线l：x＝－ eq \f(p,2).作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，BH⊥AC于点H，则|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，|AH|＝|AC|－|BD|＝|AF|－|BF|，因为在Rt△AHB中，∠HAB＝60°，所以cs 60°＝ eq \f(|AH|,|AB|)＝ eq \f(|AF|－|BF|,|AF|＋|BF|)，
即 eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝|AF|－|BF|，得 eq \f(|AF|,|BF|)＝3.