第18练 同角三角函数的基本关系、诱导公式（精练）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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1.任意角的三角函数的概念
（1）单位圆：
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
①把点P的 叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；
②把点P的 叫做α的余弦函数，记作csα，即x=csα；
③把点P的 叫做α的正切函数，记作tanα，即yx=tanα(x≠0).
则正弦函数fx=sinx, x∈R；余弦函数fx=csx, x∈R；正切函数fx=tanx, x≠kπ，
（2）非单位圆：
设角α终边上任意一点P（原点除外）的坐标为(x,y)，它与原点的距离为r并且r= ，
则sin α== ，cs α== ，tan α= (x≠0).
2. 三角函数值在各象限内的符号
(设α的终边上一点Px,y，sinα符号看y，csα符号看x，tanα符号看yx)
3.同角三角函数的基本关系
（1）平方关系： ． （2）商的关系： ．
拓展：①sinα+csα2= ； sinα−cs α2= .
②sin2α== ⑧cs2α==．
4.诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限）
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
其中k∈Z： sin（2kπ+α）= cs（2kπ+α）= tan（2kπ+α）=
公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π+α）= cs（π+α）= tan（π+α）=
公式三： 任意角α与–α的三角函数值之间的关系（利用原函数奇偶性）：
sin（–α）= cs（–α）= tan（–α）=
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π–α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π–α）= cs（π–α）= tan（π–α）=
公式五：任意角α与–α的三角函数值之间的关系
sin（–α）= cs（–α）=
公式六： 任意角α与+α三角函数值之间的关系：
sin（+α）= cs（+α）=
推算公式：+α与α的三角函数值之间的关系：
sin（+α）= sin（–α）=
cs（+α）= cs（–α）=
注：“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化
若是奇数倍，则正、余弦互变；若是偶数倍，则函数名称不变．
“符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角（如+α）所在象限原三角函数值的符号
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】计算出的值，代值计算即可得出所求代数式的值.
【详解】因为，则，
因此，.
故选：A.
2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】结合诱导公式和三角恒等变换公式即可求解.
【详解】因为
所以
故选：C.
3．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）已知角终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数定义求得，再根据诱导公式即可求得答案.
【详解】由题意角终边经过点，可得，
由诱导公式得，故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则“ ”是“ ”的 （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义解题即可.
【详解】因为，所以当，x可以是锐角也可以时钝角，所以，所以不满足充分性；
当时，x必为锐角，所以成立，必要性满足
故选：B
5．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知方程，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得，用齐次式方法处理后得，将值代入即可得出答案.
【详解】方程，化简得，
则，
分子分母同时除以可得：，
将代入可得，
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式、三角函数的平方关系和商数关系求解即可.
【详解】由已知得，两边平方得，解得，
则原式.
故选：A
7．（2023·四川·校联考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由条件结合商的关系可得，利用诱导公式和同角关系将所求表达式化为由表示的形式，代入条件即可求值.
【详解】由，显然，可得
因为，
所以，
所以，
故选：B.
8．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数诱导公式和二倍角公式直接计算即可.
【详解】．
故选：A
9．（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式，余弦的二倍角公式求出结果.
【详解】.
故选：C
二、多选题
10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】对于A：利用同角三角函数基本关系来计算判断；
对于B：利用倍角公式来计算判断；
对于C：利用倍角公式来计算判断；
对于D：利用两角差的余弦公式来计算判断.
【详解】对于A：若，其中，则，，故A错误；
对于B：，且，则，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确．
故选：BCD.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，B利用诱导公式可求解；对于C，D利用齐次式化简可判断.
【详解】对于A选项，，故A选项正确；
对于B选项，，故B选项错误；
对于C选项，，故C选项正确；
对于D选项，，故D选项正确.
故选：ACD
12．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A正确；
对于B中由，所以B正确；
对于C中，由
，所以C正确；
对于D中，
，所以D错误．
故选：ABC.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）若点是角终边上的一点，且，则__________.
【答案】1
【分析】根据三角函数的定义表示出，结合求出，即可求得答案.
【详解】由点是角终边上的一点，可得，
由可得，
即得，所以，
故答案为：1.
14．（2023·浙江金华·统考模拟预测）若，则_________.
【答案】
【分析】利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】
.
故答案为：.
15．（2023·上海·高三专题练习）已知，且，则______．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合二倍角公式即可.
【详解】，，
，.
,
.
故答案为：.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知，那么______．
【答案】
【分析】由题知，进而根据诱导公式求解即可.
【详解】解：因为，所以
所以.
故答案为：
17．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知是关于的方程的两根，则__________.
【答案】
【分析】先通过根与系数的关系得到的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得.
【详解】由题意：，所以，
所以，即，解得.
故答案为：.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______.
【答案】
【分析】利用诱导公式得到，再利用二倍角的余弦公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题
19．（2023·全国·高三专题练习）已知，是关于x的一元二次方程的两根，
(1)求的值；
(2)求m的值；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用根与系数的关系可求出结果，
（2）利用根与系数的关系列方程组，结合可求出m的值，
（3）先判断出，则，再代值计算即可
【详解】（1）因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以
（2）因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以，，且，
所以，
所以，得，满足，
所以
（3）由（2）可得，，
因为，所以，所以，
所以
20．（2023·全国·高三专题练习）已知是第三象限角，且.
(1)化简；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用诱导公式可化简；
（2）利用同角三角函数的基本关系可求得的值，即可得出的值.
【详解】（1）解：为第三象限角，则.
（2）解：，所以，，
由已知可得，解得，则.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，为方程的两根．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用根与系数的关系列出关于，，的方程组，利用三角函数的基本关系平方关系结合作差，消去，，可以求出；
（2）利用诱导公式与同角公式化简表达式，结合（1）中的数据即可得到结果．
【详解】（1）由题意得，
则，，
，得．
（2）
，
，且，
，则，，
，则，
故原式．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知求得角的正切值，再根据诱导公式化简求值即可，
【详解】解：∵ 角的终边经过点，
，
．
故选：B．
2．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据二倍角公式得到，从而得到，再利用诱导公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，所以，所以.
因为，所以.
所以.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知为第一象限角.，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，两边平方求出，判断的正负并求出，再利用同角公式计算作答.
【详解】因为为第一象限角，，则，，
，即，解得，，
所以.
故选：D
4．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求，再结合诱导公式求.
【详解】因为，所以，
即，
所以．
故选：C．
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值可能为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】BD
【分析】先利用正弦二倍角、余弦二倍角公式，以及“1”代换成平方关系式，进行变形计算得出结果.
【详解】因为，所以，
整理得，
则，解得或．
故选：BD.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】结合三角恒等变换化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】依题意，
，
，
，
，
所以或，
，或，
（舍去），或，
所以，
，.
所以A选项错误，BCD选项正确.
故选：BCD
三、填空题
7．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知，求___________.
【答案】
【分析】先利用诱导公式对，可求出，再化简可求得结果
【详解】因为，
所以，得，
所以
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，则___________.
【答案】
【分析】先由和角公式得，再平方结合倍角公式及平方关系求解即可.
【详解】由得，即，两边同时平方得，
即，解得.
故答案为：.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______.
【答案】
【分析】进行弦化切，把代入直接求值.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
10．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）若，则的值为______．
【答案】或
【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解作答.
【详解】因为，则，
则，即，解得，
所以的值为或.
故答案为：或
四、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知 ( )，求 的值.
【答案】
【分析】将两边平方可得，判断x的范围，并求出，进而可求得 ， ，即可求得答案.
【详解】∵ ()，
∴ ，即 ，
把两边平方得 ，
即 ，
∴，
即，
联立
解得 ， ，
∴ .
12．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知， .
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求 .的值
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据可得，解方程并结合角的范围求得；
（2）利用弦化切，将化为，可得答案；
（3）利用，将化为，继而化为，求得答案.
【详解】（1）由得，
解得或 ，
因为，故，则；
（2）；
（3）
.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用倍角公式和诱导公式计算；
（2）利用两角和与差的余弦公式计算，注意角的范围.
【详解】（1）.
（2）因为，所以，
又因为，所以，
所以；
因为，所以，
所以.
所以
.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，求
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】小问1：由三角函数基本关系式即可求值，这里要注意角的范围；
小问2：先由诱导公式对原式进行化简，然后利用齐次式对式子进行求值即可；
小问3：确定角的范围以后，用已知角来拼凑出所求的角，再利用三角函数恒等变换求值即可.
【详解】（1） ，解得 或
又，，即.
（2）
，
又， 原式=
（3），，，
又，，
则.
.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023秋·江苏南京·高三统考阶段练习）已知，且，则可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由得，化简后可求出，再利用同角三角函数的关系可求出.
【详解】由，得，
所以，
所以，
整理得，
，
所以或，
所以或，
①当时，，，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
②当时，，
因为，所以，
由于，所以解得，
③当时，，
因为，所以，
由于，所以解得，
综上，，或，或，
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.
【详解】且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：.
【点睛】易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）存在实数使得，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】首先利用三角函数化简已知，转化为，利用两点间距离公式构造几何意义，求距离差的最大值，再根据存在问题求的取值范围.
【详解】
，
设，，，
则，
如图，
，当且仅当三点共线且点在之间时等号成立，
又，故的最大值为，
因为存在实数使得
所以
即
故答案为：
【点睛】本题考查与三角函数有关的最值问题，重点考查构造函数的几何意义求最值，数形结合思想，属于中档题型，本题的关键是构造两点间距离公式，转化几何意义求最值.
各象限点坐标的符号
α
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sinα




csα




tanα