湖北省咸宁市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖北省咸宁市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. “直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的充分不必要条件
4.设，则关于x的不等式有解的一个必要不充分条件是( )
A. B. 或C. D.
5.在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别满足，，设，，若，则( )
A. B. C. D.
6.在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为，且该三棱柱的外接球表面积为，若将此三棱柱掏空保留表面，不计厚度后放入一个球，则该球最大半径为( )
A. 1B. C. D.
7.矩形的周长为16cm，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，则的最大面积为( )
A. B. C. D.
8.定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是( )
A. 考生参赛成绩的平均分约为分
B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为分
C. 分数在区间内的频率为
D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人
10.已知向量，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则B. 在上的投影向量为
C. 若与的夹角为锐角，则D. 若要使最小，则
11.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿BC向上翻折，得三棱锥设，点E，F分别为棱BC， BD的中点，M为线段AE上的动点.下列说法正确的是( )
A. 在翻折过程中存在某个位置，使
B. 当时，AD与平面ABC所成角的正弦值为
C. 在翻折过程中，三棱锥体积的最大值为2
D. 当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角满足，则__________.
13.已知函数，则关于x的方程的不等实根的个数为__________.
14.在锐角中，角A，B，C的对边为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题12分
已知关于x的不等式
若，求不等式的解集;
解关于x的不等式.
16.本小题12分
如图，在梯形ABCD中，，，，E为线段BC中点，记，
用，表示向量
求的值;
求与夹角的余弦值.
17.本小题12分
如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，面PAB，且的面积为
求证：面
当四棱锥的外接球体积最小时，求平面PCD与平面PBC所成二面角的余弦值.
18.本小题12分
已知函数，若函数在上恰好有两个零点.
求函数的单调递增区间;
当时，关于x的方程有两个不同的实根，求实数m的取值范围;
在中，设内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其中，，，的角平分线交BC于D，求线段AD的长度.
19.本小题12分
已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，，，，使得其中，2，，n，，则称为的“n重覆盖函数”.
判断是否为的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值;如果不是，请说明理由;
若为的“3重覆盖函数”，求实数a的取值范围;
若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
化简集合A，B后由交集定义可得答案．
【解答】解：A集合表示函数的定义域，则，
B集合表示函数的值域，则
故故选
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的运算，属于基础题.
由题意，设，且，，而，进一步分析即可得点在第四象限.
【解答】解：
设其中，，，，则在第四象限.故选
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间中的线、面位置关系，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
利用空间中线、面平行、垂直关系，结合充分、必要条件的定义逐个判断即可.
【解答】
解：
对于A、若，，则或，故A错误；
对于B、若，，则，故B正确；
对于C、若，，则或与相交，故C错误；
对于D、直线a，b不相交，则直线a，b平行或异面，
故“直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的必要不充分条件，故D错误
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式存在性或恒成立问题，考查了充分、必要、充要条件的判断，属于基础题．
根据二次函数的判别式求解“关于x的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可．
【解答】解：
有解，即对于方程的，则可知D选项为一个必要不充分条件，故选
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的线性运算及数量积运算，属于基础题.
求出，利用，结合数量积为零得出结论.
【解答】解：
，，由，得，即得，则C选项正确.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查球的表面积、球的切、接问题、棱柱的体积，属于中档题.
利用球的表面积公式求出球半径，根据将此三棱柱掏空后放入一个球，该球最大半径为 内切圆半径，利用等面积法求出 内切圆半径即可.
【解答】
解：设BC，中点为D，中点为，中点为O，
外接球球心在中点O处，
设，，，
该三棱柱的体积为，，
，，
该三棱柱的外接球表面积为，
外接球半径，即，，，
，，
底面ABC内切圆半径，
，因此该球最大半径为
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，考查运算能力，属于中档题．
设，，，则，，再根据为直角三角形，得出a关于x的表达式，再用三角形面积计算公式，得出的面积关于x的表达式，再利用基本不等式可得的面积的最大值．
【解答】
解：设，，，则，，
在中，，可知
故选
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的函数单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题.
求出 的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将 转化为 的关系，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出 a .
【解答】
解：定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称，在上单调递减，
在上单调递增，
所以越靠近对称轴函数值越小，
由得，
由于，所以，
可得，即时恒成立，
可得，
由于在时单调递增，，
在时单调递减，，
则实数a的取值范围
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查频率分布直方图，考查百分位数，平均数的求法，考查分层随机抽样，属于简单题.
计算平均值得到A，计算第75百分位数得到B正确，分数在区间 内的频率为 ，
C正确，区间 应抽取 60 人，D错误，即得到答案.
【解答】
解：对选项A：平均成绩为 ，A错误；
对于选项B，由频率分布直方图知第75百分位数位于内，
则第75百分位数为，B正确;
对选项C：分数在区间 内的频率为 ，C正确；
对选项D：区间 应抽取 人，D错误.
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了向量的坐标运算，向量平行与垂直的性质，以及投影向量，属于中档题.
根据向量的坐标运算，向量平行与垂直的性质，以及投影向量逐一判定即可.
【解答】
解：对于因为，，所以
又，且，所以，解得：，故A正确;
对于因为，，
所以|，|，
所以在上的投影为|，
所以在上的投影向量为，故B正确;
对于由与的夹角为锐角，可知且，故C错误;
对于由，
|，
可知时取最小值，故D正确.
故选
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了直线与直线垂直、直线与平面所成的角和多面体表面上的最短距离问题，是中档题.
根据直线与直线垂直、直线与平面所成的角和多面体表面上的最短距离问题逐一判定即可.
【解答】
解：
对于当平面平面BCD时，，
证明如下：因为平面平面BCD，平面平面，，平面BCD，
则平面ABC，因为平面ABC，所以，故A正确，
对于当时，平面平面BCD，则平面ABC，
所以是直线AD与平面ABC所成的角;
此时，，则，故B错误;
对于当三棱锥体积取得最大值时，平面平面BCD，
即AE是三棱锥的高，，故C正确;
对于当时，因为F为BD的中点，所以，则，
又因E为BC的中点，所以，
又，所以，所以，
如图将沿AE旋转，得到，使其与在同一平面内且在内，
则当C，M，三点共线时，最小，即的最小值为，
在中，，
则，
所以在中，由余弦定理得，
所以的最小值为，故D正确，
故选
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了诱导公式和同角三角函数关系，是基础题.
由诱导公式得，再由同角三角函数关系可得结果.
【解答】
解：因为，
所以，
所以，
，
，
13.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查分段函数与复合函数的应用，考查方程的根的个数问题，属于中档题．
方法一：分情况讨论解方程即可.
方法二：画出图象，数形结合即可得解.
【解答】
解：方法一：由题意得，
①时，，即，
即时，解得，符合题意；
时，解得，舍；
②时，，即，
时，解得，舍；
时，，解得，符合题意.
综上，关于x的方程的不等实根为和，共2个，
故答案为
方法二：图象如图，
令，则，
由图可得或，即或，
由，数形结合可得与和分别有1个交点，
故与分别有1个根，
故关于x的方程的不等实根有2个，
故答案为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正余弦定理及三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题.
首先利用余弦定理和三角形面积公式得到，再通过正弦定理以及三角函数的转化得到 ，由三角函数性质可得结果.
【解答】
解：因为，
，
所以，
即
即，
解得 或舍去，
可得，
，
，
因为是锐角三角形，
，，
可知当时取得最大值，
当时取得最小值，
所以取值范围为
15.【答案】解：，，，
当时，可得解集为或
对应方程的两个根为a，，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为或，
当时，原不等式的解集为或
【解析】本题主要考查了二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
将代入解不等式即可；
因为对应方程的两个根为a，，分、、三种情况解不等式即可．
16.【答案】解：；
；
，
【解析】本题考查了平面向量的线性运算、向量的夹角和向量的数量积，是基础题.
由向量的运算可得结果；
由向量的数量积可得结果；
由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可.
17.【答案】证明：面PAB，面PAB，，
又，，BC、面ABCD，面ABCD，
CD在面ABCD内，，
是正方形，，
又，AD、面PAD，面
设，，
设四棱锥的外接球的半径为R，
则
当且仅当，即，取等号
过B作交PC于H，连接DH，
则为平面PCD与平面PBC所成的二面角.
，，
，
平面PCD与平面PBC所成二面角的余弦值为
【解析】本题考查线面垂直的判定及二面角的余弦值，属于中档题.
由条件结合线面垂直的判定即可证得；
设，，设四棱锥的外接球的半径为R，则结合基本不等式可求得，，，过B作交PC于H，连接DH，则为平面PCD与平面PBC所成的二面角，结合余弦定理可求得平面PCD与平面PBC所成二面角的余弦值.
18.【答案】解：
，
由得，
由函数在上恰好有两个零点得，，
由，，
得函数的单调递增区间为，
，令，则，
由题意得在上有两个不同的实根，
由得，，
，，
由得，
由，
得，

【解析】本题考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质，考查余弦定理及三角形的面积，属于中档题.
由三角恒等变换化简可得，结合三角函数的性质即可求得函数的单调递增区间;
令，则，由题意得在上有两个不同的实根，结合三角函数的性质即可求得实数m的取值范围;
由得，结合余弦定理及三角形的面积即可求得线段AD的长度.