安徽省淮南第一中学等校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份安徽省淮南第一中学等校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）复数z＝i2﹣2i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）已知向量，，，若与共线，则实数x＝（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
3．（5分）2024年全国夏季游泳锦标赛将在合肥举办，某高中共有男学生1300人，女学生1100人，男教师150人，女教师100人申请做志愿者，现按人数比例用分层随机抽样的方法从中抽取部分人，若抽取的人中男性有290人，则抽取的总人数为（ ）
A．480B．500C．520D．530
4．（5分）已知在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2BA，AC∩BD＝O，若，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．（5分）从﹣2，﹣1，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）在如图所示的电路中，三个开关A，B，C闭合与否相互独立，且在某一时刻A，B，C闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知正四棱锥V﹣ABCD的底面边长为2，体积为，E为棱VC的中点，则直线VA与BE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）在水平桌面上放置一个上、下底面直径分别为2，4，高为2的敞口圆台形容器，现往其内部注水至水面高度为1，然后将上底面加盖，使容器完全密封，再把此容器倒扣在水平桌面上，记此时的水面高度为h，则（ ）
A．B．
C．h3+6h2+12h＝37D．h3+6h2+12h＝74
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．（6分）某学校举办了一次数学竞赛，共有200名参赛者，对所有参赛者的成绩进行统计，所有成绩都在[50，100）内，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（ ）
A．a＝0.04
B．所有参赛者成绩的极差小于50
C．估计所有参赛者成绩的中位数为70.5
D．成绩在区间[60，70）内的人数为64
（多选）10．（6分）设z1，z2∈C，则下列结论中正确的是（ ）
A．若z1z2＝0，则
B．若，则
C．若，则|z1|＝|z2|
D．若|z1|＝|z2|，则
（多选）11．（6分）在三棱锥S﹣PQR中，若A，B，C分别为棱SR，SP，SQ的中点，平面PQA、平面QRB、平面RPC相交于O点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）若向量，，则在上的投影向量的坐标为 ．
13．（5分）已知一个高为3的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，设圆锥和球的体积分别为V1，V2，则＝ ．
14．（5分）已知在△ABC中，∠B＝135°，∠C＝15°，，E为线段BA的延长线上一点，∠EAC的平分线所在的直线与直线BC交于点D，则AD＝ ．
参考数据：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）在△AOB中，设向量，，且，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求．
16．（15分）某校高一（1）班、（2）班的学生人数分别为40，42，在某次测验中，记（1）班所有学生的成绩分别为x1，x2，…，x40，平均成绩为，方差为，已知，．
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）记（2）班所有学生的成绩分别为y1，y2，…，y42，其平均成绩为82，，试求两个班的所有学生的平均成绩（结果保留整数），并说明哪一个班的成绩比较稳定．
17．（15分）某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包．先在一个不透明的袋子中装入7个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个．参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸n次．规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额．
（Ⅰ）当n＝1时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率；
（Ⅱ）当n＝2时，设事件A＝“甲员工获得的生日红包总金额不超过400元”，事件B＝“甲员工获得的生日红包总金额不低于300元”，试判断事件A，B是否相互独立，并说明理由．
18．（17分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinC＝sin（A﹣B）．
（Ⅰ）求A．
（Ⅱ）如图，D为△ABC的外接圆O的上一动点（含端点），c＝2b＝2．
（ⅰ）求AD的取值范围；
（ⅱ）当AD＝AB且点B，D不重合时，求BD．
19．（17分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，点E在线段AC上，且E为△BCD的重心，点F在棱AA1上，且，点G在棱DD1上，且．
（Ⅰ）证明：平面A1EG∥平面BDF；
（Ⅱ）若AB＝AF＝3，，求点A到平面A1EG的距离．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数z＝i2﹣2i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：z＝i2﹣2i＝﹣1﹣2i，
故z在复平面内对应的点为（﹣1，﹣2），该点位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
2．（5分）已知向量，，，若与共线，则实数x＝（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于x的方程，解可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，，，
则，
因为与共线，所以﹣6x＝﹣3（x﹣2），解得x＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查向量的坐标计算，涉及向量平行的判断，属于基础题．
3．（5分）2024年全国夏季游泳锦标赛将在合肥举办，某高中共有男学生1300人，女学生1100人，男教师150人，女教师100人申请做志愿者，现按人数比例用分层随机抽样的方法从中抽取部分人，若抽取的人中男性有290人，则抽取的总人数为（ ）
A．480B．500C．520D．530
【分析】根据分层抽样的定义求解．
【解答】解：因为1300：1100：150：100＝26：22：3：2，
所以抽取的总人数为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．
4．（5分）已知在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2BA，AC∩BD＝O，若，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
【分析】由平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求得．
【解答】解：由题可得：，
所以，
因为，所以．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的应用，属于基础题．
5．（5分）从﹣2，﹣1，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用古典概型的概率公式求解．
【解答】解：从﹣2，﹣1，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，共有6种不同的情况，
满足乘积不超过1的为（﹣2，1），（﹣2，3），（﹣1，1），（﹣1，3），共有4种不同的情况，
故所求的概率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
6．（5分）在如图所示的电路中，三个开关A，B，C闭合与否相互独立，且在某一时刻A，B，C闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意利用相互独立事件概率公式以及对立事件相关知识可解．
【解答】解：因为三个开关A，B，C闭合与否相互独立，且在某一时刻A，B，C闭合的概率分别为，，，
则灯亮的概率为．
故选：D．
【点评】本题考查相互独立事件概率公式和对立事件的概率计算相关知识，属于基础题．
7．（5分）已知正四棱锥V﹣ABCD的底面边长为2，体积为，E为棱VC的中点，则直线VA与BE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据OE∥VA，得出直线VA与BE所成的角为∠OEB，解三角形即可．
【解答】解：设正四棱锥V﹣ABCD的高为h，
则，，
又因为正四棱锥V﹣ABCD的底面边长为2，即AB＝2，
所以AC＝，
所以VA＝2，
设正四棱锥V﹣ABCD的底面中心为O，连接OB，OE，则OE∥VA，
所以直线VA与BE所成的角为∠OEB，
由题可得OE＝1，，，
所以OB2+OE2＝EB2，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查异面直线所成的角，属于基础题．
8．（5分）在水平桌面上放置一个上、下底面直径分别为2，4，高为2的敞口圆台形容器，现往其内部注水至水面高度为1，然后将上底面加盖，使容器完全密封，再把此容器倒扣在水平桌面上，记此时的水面高度为h，则（ ）
A．B．
C．h3+6h2+12h＝37D．h3+6h2+12h＝74
【分析】利用圆台的体积公式求解．
【解答】解：将圆台补成一个圆锥，则大圆锥的高为4，小圆锥的高为2，
因为容器正放时水面高度为1，
所以容器正放时水面所在圆面的半径为＝，
所以注入水的体积为，
当把此容器倒扣在水平桌面上时，设水面所在圆面的半径为r，
则，
所以，
此时水的体积为，
所以，
整理得h3+6h2+12h＝37．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆台的体积公式，属于中档题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．（6分）某学校举办了一次数学竞赛，共有200名参赛者，对所有参赛者的成绩进行统计，所有成绩都在[50，100）内，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（ ）
A．a＝0.04
B．所有参赛者成绩的极差小于50
C．估计所有参赛者成绩的中位数为70.5
D．成绩在区间[60，70）内的人数为64
【分析】利用频率之和等于1可判断A；利用极差的定义可判断B；利用中位数的公式可判断C；利用频率，频数之间的关系可判断D．
【解答】解，对于A，由题可得，故A错误；
对于B，由题图可知，所有参赛者成绩的极差小于100﹣50＝50，故B正确；
对于C，设中位数为x，则0.16+0.32+（x﹣70）×0.04＝0.5，解得x＝70.5，故C正确；
对于D，成绩在区间[60，70）内的人数为200×0.32＝64，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查频率分布直方图及样本的数字特征，属于中档题．
（多选）10．（6分）设z1，z2∈C，则下列结论中正确的是（ ）
A．若z1z2＝0，则
B．若，则
C．若，则|z1|＝|z2|
D．若|z1|＝|z2|，则
【分析】结合复数的四则运算，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于A，若z1＝0，z2＝i，则z1z2＝0•i＝0，，故A错误；
对于B，设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，
因为，所以a﹣bi＝c+di，所以a＝c，b＝﹣d，a+bi＝c﹣di，故，故B正确；
对于C，若，则（z1+z2）（z1﹣z2）＝0，则z1+z2＝0或z1﹣z2＝0，
所以z1＝﹣z2或z1＝z2，所以|z1|＝|z2|，故C正确；
对于D，若z1＝1，z2＝i，则满足|z1|＝|z2|，
但，，所以，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查的模，以及复数的四则运算，属于基础题．
（多选）11．（6分）在三棱锥S﹣PQR中，若A，B，C分别为棱SR，SP，SQ的中点，平面PQA、平面QRB、平面RPC相交于O点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据相似三角形，锥体的体积公式及表面积公式，针对各个选项分别求解即可．
【解答】解：对于A选项，根据题意可知△ABC∽△RPQ，且相似比为，
∴，∴A选项正确；
对于B选项，∵△BPQ为△SPQ的面积的，△BPR为△SPR的面积的，
又△BQR与△SQR的面积关系未知，∴B选项错误；
对于C选项，∵，∴C选项正确；
对于D选项，如图，设PA，RB交于点D，QA，RC交于点E，连接QD，PE，
则QD，PE的交点为O，延长AO交PQ于点F，连接DE交AO于点H，
易知D，E分别为△SPR，△SQR的重心，
∴，∴DE∥PQ，
∴，，
设OH＝x，则OF＝3x，AH＝2x，∴AO＝3x，∴AO＝OF，
设三棱锥S﹣PQR的高为h0，点O到平面PQR的距离为h，则，
∴，∴D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查三棱锥的侧面积与体积，属中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）若向量，，则在上的投影向量的坐标为 ．
【分析】由投影向量的定义及坐标运算即可求得．
【解答】解：设，的夹角为θ，则在上的投影向量的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查投影向量的求法，属于基础题．
13．（5分）已知一个高为3的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，设圆锥和球的体积分别为V1，V2，则＝ ．
【分析】由题可知：球心O在圆锥的高上，从而可求出圆锥的底面半径，再计算体积，即可求解．
【解答】解：由题可知：球心O在圆锥的高上，
所以圆锥的底面半径为，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥及其外接球的体积，属基础题．
14．（5分）已知在△ABC中，∠B＝135°，∠C＝15°，，E为线段BA的延长线上一点，∠EAC的平分线所在的直线与直线BC交于点D，则AD＝ ．
参考数据：．
【分析】先根据角度的计算，可得∠ADC＝60°，再在△ACD中，利用正弦定理，求解即可．
【解答】解：因为∠ABC＝135°，∠C＝15°，
所以∠BAC＝30°，
所以∠EAC＝180°﹣∠BAC＝150°，
因为∠EAC的平分线所在的直线与直线BC交于点D，
所以∠ADC＝∠ABC﹣∠EAC＝135°﹣×150°＝60°，
在△ACD中，由正弦定理得，，
所以，
解得AD＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）在△AOB中，设向量，，且，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求．
【分析】（Ⅰ）根据向量数量积的定义求解；
（Ⅱ）根据向量加法运算法则及数量积的运算即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得，，，
所以，
所以．
（Ⅱ）因为，所以，
所以．
【点评】本题考查向量的数量积及向量的模的运算，属基础题．
16．（15分）某校高一（1）班、（2）班的学生人数分别为40，42，在某次测验中，记（1）班所有学生的成绩分别为x1，x2，…，x40，平均成绩为，方差为，已知，．
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）记（2）班所有学生的成绩分别为y1，y2，…，y42，其平均成绩为82，，试求两个班的所有学生的平均成绩（结果保留整数），并说明哪一个班的成绩比较稳定．
【分析】（Ⅰ）利用平均数和方差的定义求解；
（Ⅱ）利用平均数和方差的定义求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，
所以；
（Ⅱ）记（2）班的平均成绩为，方差为，
则，
所以两个班所有学生的平均成绩为≈81，，
因为，
所以（1）班的成绩比较稳定．
【点评】本题主要考查了用样本估计总体，考查了平均数的定义，属于基础题．
17．（15分）某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包．先在一个不透明的袋子中装入7个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个．参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸n次．规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额．
（Ⅰ）当n＝1时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率；
（Ⅱ）当n＝2时，设事件A＝“甲员工获得的生日红包总金额不超过400元”，事件B＝“甲员工获得的生日红包总金额不低于300元”，试判断事件A，B是否相互独立，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据题意，生日红包总金额不低于200元，即为200元或300元，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，求出P（AB）、P（A）和P（B），由相互独立事件的定义分析可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，n＝1即只摸1次球，袋子中装入7个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个．
生日红包总金额不低于200元，即为200元或300元，
从袋中随机摸出1个球，对应的生日红包金额为200元的概率为，为300元的概率为，
故甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率为；
（Ⅱ）当n＝2时，AB＝“甲员工获得的生日红包总金额为300元或400元”，
因为300＝100+200＝200+100，400＝200+200＝100+300＝300+100，
所以．
事件A＝“甲员工获得的生日红包总金额为200元、300元或400元”，
因为200＝100+100，所以，
事件B的对立事件为“甲员工获得的生日红包总金额为200元”，
所以，
所以，
所以事件A，B不相互独立．
【点评】本题考查相互独立事件的判断，涉及互斥事件的概率计算，属于基础题．
18．（17分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinC＝sin（A﹣B）．
（Ⅰ）求A．
（Ⅱ）如图，D为△ABC的外接圆O的上一动点（含端点），c＝2b＝2．
（ⅰ）求AD的取值范围；
（ⅱ）当AD＝AB且点B，D不重合时，求BD．
【分析】（I）利用三角变换即可求解；
（II）（i）先求a，利用正弦定理求2R，再结合AD≥1，即可求解；
（ii）先用正弦定理求sin∠ACB，根据∠ACB＝∠ADB，可以求出cs∠ADB，再利用BD＝2ADcs∠ADB，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）因为sinB+sinC＝sin（A﹣B），所以sinB+sin（A+B）＝sin（A﹣B），
所以sinB+2csAsinB＝0，因为sinB≠0，所以，
因为A∈（0，π），所以；
（Ⅱ）（ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccsA，即a2＝4+1+2＝7，所以a＝，
所以圆O的直径为，
又AD≥AB，AD≥AC，所以AD≥1，所以AD的取值范围是；
（ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，
所以，
又∠ADB＝∠ACB，，
所以，
又AD＝AB，所以．
【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
19．（17分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，点E在线段AC上，且E为△BCD的重心，点F在棱AA1上，且，点G在棱DD1上，且．
（Ⅰ）证明：平面A1EG∥平面BDF；
（Ⅱ）若AB＝AF＝3，，求点A到平面A1EG的距离．
【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，即可证明；
（Ⅱ）过点A作AN⊥A1E于点N，交OF于点M，易证AN⊥平面A1EG，再解三角形，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，设BD∩AC＝O，连接FO，
∵底面ABCD为菱形，E为△BCD的重心，
∴．又，∴，
∴A1E∥FO，又A1E⊄平面BDF，FO⊂平面BDF，
∴A1E∥平面BDF，
在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥DD1，且AA1＝DD1，
又，，
∴A1F＝DG，A1F∥DG，
∴四边形A1FDG为平行四边形，∴A1G∥FD，
又A1G⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，
∴A1G∥平面BDF，又A1E∥平面BDF，A1G∩A1E＝A1，
∴平面A1EG∥平面BDF；
（Ⅱ）如图，过点A作AN⊥A1E于点N，交OF于点M．
由题可知BD⊥AO，BD⊥AA1，又AO∩AA1＝A，
∴BD⊥平面AFO，又AM⊂平面AFO，
∴BD⊥AM，又OF⊥AM，FO∩BD＝O，
∴AM⊥平面BFD，又平面A1EG∥平面BDF，
∴AM⊥平面A1EG，
∴AN⊥平面A1EG，
由已知可得AA1＝4，AE＝2，∴，
故点A到平面A1EG的距离为．
【点评】本题考查两平面平行的证明及点到平面的距离的计算，属中档题．