2024武汉重点中学5G联合体高一下学期期末考试数学试卷含解析

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命题学校：育才高级中学 命题教师：赵胜军 审题教师：柳蔚
考试时间：2024年6月28日 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（ ）
A. 40，32B. 42，30C. 44，28D. 46，26
2. 下列统计量中，都能度量样本的集中趋势的是（ ）
A. 样本的标准差与极差
B. 样本的中位数与平均数
C. 样本的极差与众数
D. 样本的方差与平均数
3. 在正方体中，二面角的大小是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C 若，则
D. 若，则
5. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是
A. B.
C. D.
6. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和
D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
7. 如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，分别为的中点，给出以下结论：
①平面； ② 平面；
③平面与平面交线，则 ； ④平面．
则以上结论正确的序号为
A. ① ③B. ② ③C. ① ② ③D. ① ② ③ ④
8. 如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：
①与是异面直线；
②相交于一点；
③过A，M，P的平面截正方体所得的图形为平行四边形；
④过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形；
其中错误的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 设复数，则下列命题结论不正确的是（ ）
A. 的虚部为1
B.
C. 在复平面内对应的点在第四象限
D. 是方程的根
10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 与的夹角为D. 在上的投影向量为
11. 已知正四面体棱长为，则（ ）
A. 正四面体的外接球表面积为
B. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
C. 正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为
D. 正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为__________.
13. 已知向量，则与垂直的单位向量的坐标为__________.
14. 如图，正三棱锥侧面和底面所成角为，正三棱锥的侧面和底面所成角为和位于平面的异侧，且两个正三棱锥的所有顶点在同一个球面上，则__________，的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行消洗､去皮､去核､冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求.
（1）统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：，求这10个数据的第70百分位数与方差；
（2）统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照分组，得到频率分布直方图.估计这600名中国果切消费者年龄的中位数及平均数（结果保留整数）.
16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若．
（i）求的值；
（ii）求的面积．
17. 如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点.
（1）证明：平面.
（2）求异面直线与所成角大小.
（3）求直线与平面所成角的正切值.
18. （1）已知，，点在线段的延长线上，且，求点的坐标；
（2）若是夹角为的两个单位向量，求：（i）的值；（ii）函数的最小值；
（3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明．
①余弦定理；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点．
注：如果选择多个结论分别解答，按第一个解答计分．
19. 如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，

（1）证明：平面；
（2）求点到面的距离；
（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.