重庆市长寿区八校2023-2024学年高二下学期7月期末联考（B卷）数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市长寿区八校2023-2024学年高二下学期7月期末联考（B卷）数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
3. 用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（ ）
A. 48B. 96C. 60D. 120
4. 已知数列的前项和满足：，且，则被8整除的余数为（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 5
5. 设随机变量的概率分布列为

则（ ）
A. B. C. D.
6 已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
7. 在对一组成对样本数据进行分析时，从已知数据了解到预报变量随着解释变量的增大而减小，且大致趋于一个确定的值．则下列拟合函数中符合条件的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设某中学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为.若该中学女生的平均身高为，则该中学女生的平均体重的估计值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 设是变量和的个样本点，由这些样本点通过最小二乘法得到线性回归直线方程，下列结论正确的是（ ）
A. 与正相关的充要条件是B. 直线过点
C. 与之间相关系数为D. 当增大一个单位时，增大个单位
10. 已知集合满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则中的元素的个数为1
B. 若，则中的元素的个数为15
C. 若，则中的元素的个数为45
D. 若，则中的元素的个数为78
11. 已知函数的图象与直线有三个交点，记三个交点的横坐标分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在实数，使得
B.
C
D. 定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则_______________，最小值为___________．
13. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为_____________．
14. 某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润，预测第8年该国企的生产利润约为______千万元．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在一个的网格中填齐1至9中的所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心格子的数字为．
（1）求满足第二横排、第二竖排的个数字之和均为的不同的数字填写方案种数；
（2）求满足第二横排的数字从左到右依次增大，第二竖排的数字从上到下依次增大的不同的数字填写方案种数．
16. 已知二项式．
（1）若，，求二项式的值被7除的余数；
（2）若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项．
17. 已知函数．
（1）若，判断的单调性；
（2）若在上没有极值点，求的取值范围．
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）已知有两个极值点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围.
19. 混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝土的抗压强度（单位：）随龄期（单位：天）的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期分别为时的抗压强度的值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中．
（1）根据散点图判断与哪一个适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型？选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立关于的回归方程；
（2）工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度视作混凝土抗压强度标准值．已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为．
（i）试预测该批次混凝土是否达标？
（ii）由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表明，该型号混凝土第7天的抗压强度与第28天的抗压强度具有线性相关关系，试估计在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度．
附：
参考数据：．1
2
3
4
年号
1
2
3
4
5
年生产利润（单位：千万元）
0.7
0.8
1
1.1
1.4




9.4
29.7
2
366
5.5
439.2
55
重庆市长寿区2023—2024学年下学期高二期末检测卷（B）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 曲线在点处切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，结合直线倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】由可得，则，即曲线在点处的切线的斜率为.
故曲线在点处的切线的倾斜角为.
故选：D
2. 已知， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系.
详解】根据式子结构，构造函数，
则，
令，则，令，得，
因此在单调递增，在单调递减，
而，，
因为，所以
故选：D
3. 用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（ ）
A. 48B. 96C. 60D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊位置优先安排，万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位，最后根据定序问题求解即可.
【详解】万位上数字不能为0，先排万位，再排其他数位，
则用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数的个数为，
所以个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为．
故选：A.
4. 已知数列的前项和满足：，且，则被8整除的余数为（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先用求公式求出，再结合二项式定理求解即可.
【详解】当时，，，
两式相减可得，整理得，即，
则是首项为1的常数列，故，则.
所以，能被56整除一定能被8整除，
变形运用二项式定理展开，可以得到
，
被8整除的余数即末项被8整除的余数，，
则被8整除的余数为7.
故选：C.
5. 设随机变量的概率分布列为

则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：
，故选B
考点：概率分布
6. 已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】由甲乙两个有一个正确得的均值为，可得甲乙正确，然后由正态分布的性质判断丙丁．
【详解】首先甲、乙中至少有一个正确，因此是的均值，从而甲乙两个均正确，
，丙正确，
而，丁错误．
故选：D．
7. 在对一组成对样本数据进行分析时，从已知数据了解到预报变量随着解释变量的增大而减小，且大致趋于一个确定的值．则下列拟合函数中符合条件的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】逐项判断各选项中函数的单调性，以及当时，各函数的函数值的变化情况，可得出合适的选项.
【详解】当时，函数为增函数，、、均为减函数，
且当，，，，
故选：D.
8. 设某中学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为.若该中学女生的平均身高为，则该中学女生的平均体重的估计值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将代入回归直线方程，可得出该中学女生的平均体重的估计值.
【详解】将代入回归直线方程得，
因此，该中学女生的平均体重的估计值是.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 设是变量和的个样本点，由这些样本点通过最小二乘法得到线性回归直线方程，下列结论正确的是（ ）
A. 与正相关的充要条件是B. 直线过点
C. 与之间的相关系数为D. 当增大一个单位时，增大个单位
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据回归直线方程的意义一一判断即可.
【详解】依题意与正相关的充要条件是，故A正确；
根据回归直线的性质可知直线必过点，故B正确；
因为与之间的相关系数，
而，故C错误；
因为，所以当增大一个单位时，增大个单位，故D正确.
故选：ABD
10. 已知集合满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则中的元素的个数为1
B. 若，则中的元素的个数为15
C. 若，则中的元素的个数为45
D. 若，则中的元素的个数为78
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由集合的定义即可列举出集合中所有的元素即可判断；对于B，中的元素均为正奇数，对分类讨论即可验算；对于C，原问题等价于将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲､乙､丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法即可验算；对于D，原问题等价于将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法验算即可.
【详解】对于A，由题意得，所以中的元素的个数为，A错误；
对于B，由题意得中的元素均为正奇数，在中，
当时，有共5个元素，
当时，有共4个元素，
当时，有共3个元素，
当时，有共2个元素，
当时，有共1个元素，
所以中的元素的个数为，B正确；
对于C，，可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲､乙､丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为45，C正确；
对于D，，
可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是将问题进行适当的转换，并利用隔板法，由此即可顺利得解.
11. 已知函数的图象与直线有三个交点，记三个交点的横坐标分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在实数，使得
B.
C.
D. 为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】化简方程，令，得，构造，则，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于x的方程三个不相等的实数解，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根， ，结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后对选项一一判断即可得出答案．
详解】由方程，可得．
令，则有，即．
令函数，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，作出图象如图所示，
要使关于的方程有三个不相等的实数解，且，
结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，
且，或，，
令，若，，
则故．
若，，则，无解，
综上：，故C正确；
由图结合单调性可知，故B正确；
若，则，又，故A不正确；，
故D正确，
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：构造，判断出函数的单调性，结合图象将，转化成关于t的函数即可求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则_______________，的最小值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由出导函数，令求得，由极限定义可得极限，再根据导数求得最小值．
【详解】由已知得，所以，解得，
，
，，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以的极小值也是最小值为，
故答案为：；．
13. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为_____________．
【答案】1200
【解析】
【分析】根据总体密度函数可知，结合对称性求解即可.
【详解】因为总体密度函数为：，则，
由得,
所以超过100分 人数大约为：人，
故答案为：1200.
14. 某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润，预测第8年该国企的生产利润约为______千万元．
【答案】
【解析】
【分析】求出回归方程可得,代入计算可得结果.
【详解】易知，,
易知;
代入计算可得；
可得，
即可得回归方程为，
将代入可得,
即第8年该国企的生产利润约为千万元.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在一个的网格中填齐1至9中的所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心格子的数字为．
（1）求满足第二横排、第二竖排个数字之和均为的不同的数字填写方案种数；
（2）求满足第二横排的数字从左到右依次增大，第二竖排的数字从上到下依次增大的不同的数字填写方案种数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意第二横排或第二竖排的其它个数字之和必然为，将剩下的数字分为个组合，按照分步乘法计数原理计算可得；
（2）先排的左边与上边，再排的右边与下边，最后将剩下的数字全排列.
【小问1详解】
要使第二横排和第二竖排的个数字之和均为，
则第二横排或第二竖排的其它个数字之和必然为，
则要从和，和，和，和这四个组合中选出两个组合填写，
首先选一个组合填到第二横排的两个空中，再选一个组合填到第二竖排的两个空中，最后将其余四个数全排列，
故有种填法.
【小问2详解】
先从、、、这四个数字中选个数字分别排到的左边和上边，有种；
再从、、、这四个数字中选个数字分别排到的右边和下边，有种；
最后将其余四个数字排到剩下的四个位置，有种；
按照分步乘法原理可得，一共有种填法.
16. 已知二项式．
（1）若，，求二项式的值被7除的余数；
（2）若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，，将二项式转化为，利用二项式定理即可得解；
（2）先由题意求得，再利用二项展开通项公式得到关于系数最大的项的不等式组，解之即可得解.
【小问1详解】
因为，，
，
显然能被7整除，，
所以二项式的值被7除的余数为.
【小问2详解】
因为的二项式系数之和为128，
，
则的展开通项公式为，
假设展开式中系数最大的项为第项，
则，即，
即，解得，
所以展开式中系数最大的项为第6，7项，
即.
【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是熟练掌握组合数公式，从而得解.
17. 已知函数．
（1）若，判断的单调性；
（2）若在上没有极值点，求的取值范围．
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式即可；
（2）分两种情况：即在上恒成立，或在上恒成立。
【小问1详解】
当时，，其定义域为，
，
由，得．由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
【小问2详解】
因为， ，
当时，，
若在上没有极值点，则在上单调，
即在上恒成立，或在上恒成立．
若在上恒成立，则，解得，
若在恒成立，则，解得．
综上所述，a的取值范围为．
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）已知有两个极值点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）（ⅰ）分析可知原题意等价于有两个不同的正实数根，结合基本不等式分析求解；（ⅱ）设有两个不同的正实数根，根据单调性可知的极值点，结合零点代换可得，构建，结合单调性分析可得，则，即可得取值范围.
【小问1详解】
当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
（ⅰ）由题意可知：的定义域为，，
令，可得，
原题意等价于有两个不同的正实数根，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知，所以的取值范围；
（ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，，
不妨设，可知，
当时，；当或时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以为的极小值点，为的极大值点，
对于的极值点，则，
可得，
设，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在上单调递减，
则，可知，则，
又因为在区间上单调递增，则，
所以的极大值的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法
（1）若求极值，则先求方程的根，再检查在方程根的左右函数值的符号；
（2）若探究极值点个数，则探求方程在所给范围内实根的个数；
（3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况来求解；
（4）求函数f(x)在闭区间的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较，从而得到函数的最值．
19. 混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝土的抗压强度（单位：）随龄期（单位：天）的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期分别为时的抗压强度的值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中．
（1）根据散点图判断与哪一个适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型？选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立关于的回归方程；
（2）工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度视作混凝土抗压强度标准值．已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为．
（i）试预测该批次混凝土是否达标？
（ii）由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表明，该型号混凝土第7天的抗压强度与第28天的抗压强度具有线性相关关系，试估计在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度．
附：
参考数据：．
【答案】（1）适宜，．
（2）（i）达标；（ii）．
【解析】
【分析】（1）先换元再根据已知数据求出即可求出回归直线；
（2）根据回归直线预测即可.
【小问1详解】
由散点图可以判断，适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型．
令，先建立关于的线性回归方程，
由于
所以关于的线性回归方程为，
因此关于的线性回归方程为．
【小问2详解】
（i）由（1）知，当龄期为28天，即时，
抗压强度的预报值，
因为，所以预测该批次混凝土达标．
（ii）令，得．
所以估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为．1
2
3
4
年号
1
2
3
4
5
年生产利润（单位：千万元）
0.7
0.8
1
1.1
1.4




9.4
29.7
2
366
5.5
439.2
55