[数学][期末]北京市通州区2023-2024学年高二下学期期末质量检测试卷(解析版)

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，而，
所以.故选：D
2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，函数在上单调递减，A不是；
对于B，函数在上单调递减，B不是；
对于C，函数在上单调递增，C是；
对于D，函数在上单调递减，D不是.故选：C
3. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
即，，
所以.
故选：A
4. 设，为两个随机事件，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由条件概率可得,
所以,
故选：B
5. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，，，得，当且仅当时取等号，
反之，，，，取，则，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为的通项公式为，
令得，所以的系数为.
故选：D.
7. 有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为，，现任取一件零件，则它是次品的概率为（ ）
A. 0.044B. 0.046C. 0.050D. 0.090
【答案】B
【解析】记现任取一件零件它是次品为事件，
则.
故选：B
8. 某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（ ）
A. 360种B. 300种C. 180种D. 120种
【答案】B
【解析】从6名员工中任选4人，安排在4道工序上工作的安排方法数为种，
其中员工在第四道工序工作的安排方法数为种，
所以不同的安排方法共有（种）.
故选：B
9. 设函数为定义在上的奇函数，若曲线在点处的切线的斜率为10，则（ ）
A. B. C. 6D. 16
【答案】C
【解析】由函数为定义在上的奇函数，得，则，
两边求导得，即，而，
则，
所以.故选：C
10. 已知函数；若方程恰有三个根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，求导得，
由，得，由，得，即函数在上递增，在上递减，
当时，取得极大值，且当时，恒成立，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象知，当时，直线与函数图象有3个公共点，即方程恰有三个根，
所以实数的取值范围是.
故选：C
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域是_____________．
【答案】
【解析】对于函数，则，解得，
所以的定义域为.
故答案为：
12. 不等式的解集是_____________．
【答案】
【解析】因为,
所以或.
故答案为：
13. 某区高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩服从正态分布，则成绩位于的人数大约是_________________．
（参考数据： ，）
【答案】1365
【解析】令高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩为，则，其中，
则，
所以成绩位于的人数大约是.
故答案为：1365
14. 已知命题： 函数为上的增函数．能说明为假命题的一组，的值为_________________，_________________．
【答案】①2 ②0（答案不唯一，满足均可）
【解析】函数在上单调递增，在单调递增，
则由函数为上的增函数，得，
即命题为真命题时，，因此为假命题时，，
能说明为假命题一组，的值可以为，.
故答案为：2；0
15. 已知函数，关于以下四个结论：
①函数的值域为；
②当时，方程有两个不等实根；
③当，时，设方程的两个根为，，则为定值；
④当，时，设方程的两个根为，，则．
则所有正确结论的序号为_________________．
【答案】①②④
【解析】对于①，函数，由于，故，
因此函数的值域为，①正确；
对于②，当时，方程，解得或，
而，方程有两个不等实根，②正确；
对于③，当时，，不妨令，，则，
则，由于在上单调递增，
故随的增大而增大，③错误；
对于④，当时，，不妨令，，
则，④正确，
所以所有正确结论的序号为①②④.
故答案为：①②④
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 已知函数．
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）当，时，求函数在区间上的最小值．
解：（1）函数的定义域为，
由于为奇函数，则对于定义域内任意，都有成立，
即，即恒成立，而当时，
所以.
（2）当，时，，
由，得，
当且仅当，即时取等号，
所以，当时函数取得最小值为4.
17. 某班级的所有学生中，课前是否预习本节课所学内容的人数情况如下表所示．
现从该班所有学生中随机抽取一人：
（1）求抽到预习了所学内容的概率；
（2）若抽到的同学是男生，求他预习了所学内容的概率；
（3）试判断“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了所学内容”是否相互独立，并说明理由．
解：（1）设抽到预习本节课所学内容的同学为事件A，抽到的同学是男生为事件B，
由数表知，该班共有40名同学, 预习了本节课所学内容的学生有29人，
则.
（2）依题意，，因此，
所以抽到的同学是男生，他预习了所学内容的概率为.
（3）由数表知，，，，，
所以“抽到同学是男生”与“抽到的同学预习了本节课所学内容”不相互独立.
18. 为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校随机抽取了100名学生，调查这100名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图．
（1）若该校共有2000名同学，试估计该校假期日均阅读时间在内的人数；
（2）开学后，学校从日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取了6名学生作为代表进行国旗下演讲．若演讲安排在第二，三，四周（每周两人，不重复）进行．求第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于的概率；
（3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，设这3人中日均阅读时间不低于60分钟人数为，求的分布列与数学期望．
解：（1）由频率分布直方图知，各组频率依次为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
则100人的样本中假期日均阅读时间的频率为，
估计该校学生假期日均阅读时间在内的频率为0.4.
所以估计该校假期日均阅读时间在内的人数为人.
（2）阅读时间在，，的频率依次为：0.3，0.2，0.1，
则在，，抽取的人数依次为3人，2人，1人，
设第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于为事件A，
所以.
（3）从该校学生中随机抽取1人，则此人假期日均阅读时间不低于60分钟的概率为，
随机变量的可能取值为，得，
则，
，
，
，
所以的分布列为
数学期望为.
19. 某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表：
（1）从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率；
（2）以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列；
（3）在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．
解：（1）设甲市场销售量为4吨的事件为A，则.
（2）设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为，
则由题意得，，；
，，，
设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10，
，
，
，
，
，
所以的分布列如下表：
（3）由（2）知，，，
当时，销售利润，当时，，当时，，
因此的分布列为：
则元；
当时，，，，
销售利润，
当时，，
当时，，
当时，，
因此的分布列为：
则元；
因为，所以应选.
20. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线的斜率为1，求曲线在点处的切线方程；
（2）定义：若，均有，则称函数为函数的控制函数．
①，试问是否为函数的“控制函数”？并说明理由；
②，若为函数的“控制函数”，求实数的取值范围．
解：（1），所以，
解得或，可得切点坐标为，或，
所以曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程为；
（2）①是“控制函数”，理由如下，
由得，
可得，，
因为时，恒成立，
即恒成立，
所以函数为函数的“控制函数”；
②若为函数的“控制函数”，
则，恒成立，
即，恒成立，
令，，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在有极小值，，，
所以.
21. 已知函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）求的单调区间；
（3）写出的零点个数（直接写出结果）．
解：（1）函数的定义域为，
当时，，
求导得，
而，则当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，则当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得，，
①当，即时，由，得，由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，由，得或，由，得，
因此函数在，上单调递增，在单调递减；
③当，即时，恒成立，函数上上单调递增；
④当，即时，由，得或，由，得，
因此函数在，上单调递增，在单调递减，
所以当时，函数的递减区间为，递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为，；
当时，函数的递增区间为，无递减区间；
当时，函数的递减区间为，递增区间为，.
（3）由（2）知，当时，函数在上递减，在上递增，
，因此函数无零点；
当时，函数在上递减，在，上递增，
当时，取得极小值，当时，取得极大值，
而从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，因此有唯一零点；
当时，函数在上递增，，因此有唯一零点；
当时，函数在，上递增，在递减，
当时，取得极在值，当时，取得极小值，
而趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，因此有唯一零点；
所以当时，函数无零点；当时，函数有唯一零点.男生
女生
预习了所学内容
12
17
没预习所学内容
6
5
0
1
2
3
销售量
销售周期个数
市场
3吨
4吨
5吨
甲
3
4
3
乙
2
5
3
6
7
8
9
10
0.06
0.23
0.35
0.27
0.09
0.06
0.06
0.71