[数学][期末]贵州省毕节市2023-2024学年高二下学期期末联考试题(解析版)

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知向量，，若与共线，则t的值为（ ）
A. 25B. -25C. -4D. 4
【答案】D
【解析】若与共线，则.
故选：D
2. 点到直线l：的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点到直线l：的距离为.
故选：A
3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意，结合对应幂指数函数单调性，知，所以.
故选：A
4. 已知等比数列的各项均为正数，若，则等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】，则，
根据等比数列的性质，知道,
则，则，即，则.
故选：C.
5. 函数在一个周期内的图象如图所示，则函数的一个对称中心为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图象可知，函数最小正周期，
，图象上函数的一个对称中心为，
所以函数的对称中心为，，
当时，有或，
时，函数的一个对称中心为，
时，函数的一个对称中心为，
只有选项D满足.故选：D.
6. 设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且椭圆过点，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由点在上，，即，
所以，
又椭圆过点，则
故椭圆方程为，
所以离心率，
故选：C.
7. 若平面内三点O，M，N满足，，，则的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】因为，
则，
即，解得.
故选：B.
8. 一个盒子中装有4个黑球和6个白球，每个球编有不同的号码，现从中任取2个球，已知一个球是白球，则另一个球也是白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】任取两个球，设其中有一个球是白球为事件A,另一个球也是白球为事件B,
则，，
所以已知一个球是白球,则另一个球也是白球概率为，
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ）
A. 和q都是真命题B. p和q都是假命题
C. p和都是假命题D. 和都是真命题
【答案】BD
【解析】，解得或，即命题p为假命题.
，即，但，即不存在这样的，
即命题q为假命题，则和都是真命题.
故选：BD
10. 设复数是虚数，复数是实数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的值为1B. 的实部的取值范围为
C. 为纯虚数D. 的最小值为2
【答案】ABC
【解析】设，，
则，
因为复数是虚数，复数是实数，
所以，解得.
对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，
则为纯虚数，故C正确；
对于D：，
当时，，故D错误；
故选：ABC
11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，我们发现可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的对称中心为
B. 的对称中心为
C. 类比上面推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数
D. 类比上面推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数
【答案】BC
【解析】设的对称中心为，则为奇函数，
所以是奇函数，且设该函数为，
而其在处有定义，
故，得到，
又，所以，
，
，
解得，故对称中心为，故A错误，B正确，
若函数为偶函数，
则，
此时关于对称，
若关于对称，
向左平移两个单位长度后得到函数关于轴对称，
则其是偶函数，故C正确，D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 数据：，，，，，，，，，的第百分位数为______．
【答案】
【解析】将数据从小到大依次排列为，，，，，，，，，，
又，
所以第百分位数为第三个数，即为，
故答案为：.
13. 如图，在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为______．
【答案】
【解析】设，则.
因为平面，所以直线与平面所成角为.
.
故答案为：
14. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上，且，则的面积为______．
【答案】
【解析】如图所示，由抛物线可知，，
过点作轴于点，则，
，
为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形，
，
，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某省采用“3+1+2”新高考模式，其中“3”为语文、数学和外语3门全国统考科目；“1”为考生在物理和历史中选择1门；“2”为考生在思想政治、地理、化学和生物4门中再选择2门．为了研究高一年级学生的选科类别是否与选生物有关联，在某中学高一年级的所有学生中随机抽取200人进行调查，整理得到如下列联表：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为选科类别与选择生物有关联?
（2）现从选物理类的样本中，按分层随机抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人中再随机抽取3人参加生物竞赛，求这3人中，选择生物的人数的分布列和数学期望．
附：．
解：（1）零假设为：选科类别与选生物无关联，
计算
所以依据小概率值的独立性检验，推断选科类别与选生物有关联，
此推断犯错误的概率不超过；
（2）依题意选择生物的人抽取人，不选择生物的人抽取人，
则可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以的分布列为：
所以数学期望
16. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数在区间上的最大值为2，求t的取值范围．
解：（1）因为
由，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）由得
结合题意可知，解得，即t的取值范围为
17. 如图1，已知直角梯形AEFD中，，点B，C分别在AE，DF上，且，，，，将图1沿BC翻折，使平面平面BEFC得图2．

（1）在线段CF上是否存在一点M，使得A、E、M、D四点共面．若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由；
（2）当时，求平面AEF与平面CEF的夹角的正切值．
解：（1）存在，理由如下：过E作交CF于点M，连接DM，
∵且，∴
∵，∴，∴A、E、M、D四点共面
（2）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，
由（1）可知，在中，，，∴
即，易知，，∵．∴
以C为坐标原点，CB，CF，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，显然平面的法向量为
设平面AEF的法向量为，∵，
∴，令，∴
∴
设平面AEF与平面CEF的夹角为，则，
∴平面AEF与平面CEF的夹角的正切值为.
18. 已知A，B两点的坐标分别为，．直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是3．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（2）过点的直线与点M的轨迹所在的曲线相交于C，D两点，P能否是线段CD的中点?为什么?
解：（1）设点M的坐标为，因为A，B两点的坐标分别为，，
所以直线AM的斜率为，所以直线BM的斜率为
由已知得，
化简得点M轨迹方程为，
故点M的轨迹是除去，两点的双曲线
（2）解法一：依题意易知直线CD的斜率存在
设直线CD的方程为，联立，
消y得：，
由直线CD与双曲线相交于两点可得：，
设，，则，
若是线段CD的中点，则，解得：．
此时，与矛盾，
故不是线段CD的中点
解法二：假设是线段CD的中点，
设，，则，
∵C、D在双曲线上，∴，
①-②整理可得：，即，
∴线段CD所在直线，的方程是，即，
联立，消y得：，即，
，不是线段CD的中点.
19. 中国古建筑具有悠久的历史，屋顶的设计形式有硬山、悬山、攒尖、歇上、庑殿等，具有独特的线条美感，其曲线之美让人称奇．曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
（1）若曲线与在处的曲率分别为，，求证：；
（2）求曲线曲率的平方的最大值．
解：（1）因为，则，．
即，
可得曲线在处的曲率为
又因为，
则，．
即，
可得曲线在处的曲率为
，
因为，所以.
（2）因为
则，
可得
令，则
设，令
则在上恒成立．
可知函数在上单调递增
当时，取得最大值为2，即的最大值为2．
选科类别
是否选择生物
合计
选择生物
不选择生物
物理类
100
60
160
历史类
15
25
40
合计
115
85
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3