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2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）专题14立体几何常见压轴归纳含解析答案
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这是一份2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）专题14立体几何常见压轴归纳含解析答案，共43页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
2．已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
3．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
4．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为
A．B．C．D．
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A．B．C．D．
6．球缺是指一个球被平面截下的部分，截面为球缺的底面，垂直于截面的直径被截面截得的线段长为球缺的高，球缺曲面部分的面积（球冠面积）（为球的半径，为球缺的高）．已知正三棱柱的顶点都在球的表面上，球的表面积为，该正三棱柱的体积为，若的边长为整数，则球被该正三棱柱上、下底面所在平面截掉两个球缺后剩余部分的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．球缺是指一个球被平面截下的一部分，截面为球缺的底面，垂直于截面的直径被平面截下的线段长为球缺的高，球缺曲面部分的面积（R为球缺所在球的半径，H为球缺的高）.已知正三棱柱的顶点都在球O的表面上，球O的表面积为，该正三棱柱的体积为，若的边长为正整数，则球O被三棱柱的上、下底面截掉两个球缺后剩余部分的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠形成，即面，面，面都与面垂直，如图②，则经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题：
①异面直线与直线所成角的大小为定值；
②二面角的大小为定值；
③若Q是对角线上一点，则长度的最小值为；
④若R是线段上一动点，则直线与直线不可能平行．
其中真命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．已知正方体为对角线上一点（不与点重合），过点作垂直于直线的平面，平面与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论不正确的是（ ）
A．只可能为三角形或六边形
B．平面与平面的夹角为定值
C．当且仅当为对角线中点时，的周长最大
D．当且仅当为对角线中点时，的面积最大
11．如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（ ）
A．存在最大值，最大值为B．存在最小值，最小值为
C．为定值D．不确定，与，的位置有关
12．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13．已知某正四棱锥的体积是，该几何体的表面积最小值是，我们在绘画该表面积最小的几何体的直观图时所画的底面积大小是，则和的值分别是（ ）
A．3；B．4；C．4；D．3；
14．在正三棱锥P-ABC中，，BC＝6，M，N，Q，D分别是AP，BC，AC，PC的中点，平面MQN与平面PBC的交线为l，则直线QD与直线l所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
15．已知在长方体中，，，记平面和平面的交线为，已知二面角的大小为60°，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
16．已知三棱锥的棱，，两两互相垂直，，以顶点为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为（ ）
A．B．C．D．
17．直三棱柱中，，，，，设平面与平面的交线为，则与的距离为（ ）．
A．1B．C．17D．2.6
18．在三棱台中，底面BCD，，，．若A是BD中点，点P在侧面内，则直线与AP夹角的正弦值的最小值是（ ）
A．B．C．D．
19．已知在正方体中，点为棱的中点，直线在平面内．若二面角的平面角为，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．如图，在正方体中，在棱上，，平行于的直线在正方形内，点到直线的距离记为，记二面角为为，已知初始状态下，，则（ ）
A．当增大时，先增大后减小B．当增大时，先减小后增大
C．当增大时，先增大后减小D．当增大时，先减小后增大
21．已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（ ）
A．6πB．30π
C．D．
22．如图，正方体，P为平面内一动点，设二面角的大小为，直线与平面所成角的大小为.若，则点P的轨迹是（ ）
A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线
23．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．已知多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则八面体的总曲率为（ ）
A．B．C．D．
24．碳（）是一种非金属单质，它是由个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则其六元环的个数为（ ）.
A．12B．20C．32D．60
25．设、、…、为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到、、…、点的距离之和最小，则称点为、、…、点的一个“中位点”，有下列命题：①、、三个点共线，在线段上，则是、、的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点；③若四个点、、、共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；其中的真命题是（ ）
A．②④B．①②C．①④D．①③④
26．如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下面说法中正确的序号是（ ）
①是定值
②存在某个位置，使
③存在某个位置，使
④不在底面上时，则平面
A．①②B．①④C．①③D．②④
27．已知矩形中，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得直线与直线垂直
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直
28．如图1，在菱形中，，是其对角线，是上一点，且，将沿直线翻折，形成四棱锥（如图2），则在翻折过程中，下列结论中正确的是（ ）
A．存在某个位置使得B．存在某个位置使得
C．存在某个位置使得D．存在某个位置使得
二、多选题
29．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
30．在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ）
A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则AQ的最小值为
C．若的外心为M，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
三、填空题
31．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
32．已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为
33．在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则|的最小值为 .
34．在直三棱柱中，，，，是线段上的动点，则的最小值是 .
35．如图，在三棱锥中，是的中点，，分别为线段，上的动点，，平面，若，则的最小值为 .
36．已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时.则三棱锥的体积为 ，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为 .
参考答案：
1．B
【分析】分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.先证平面，则可得到，再证.由三角形相似得到，，再由即可求出体积比.
【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.
因为平面，平面，所以平面平面.
又因为平面平面，，平面，所以平面，且.
在中，因为，所以，所以，
在中，因为，所以，
所以.
故选：B
2．C
【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.
【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有，
又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，
显然平面，于是平面，又平面，
因此平面平面，显然平面平面，
直线平面，则直线在平面内的射影为直线，
从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得，即，
显然是锐角，，
所以直线与平面所成的角的正切为.
故选：C
3．B
【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
4．A
【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.
【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，
所以在正方体中，
平面与线所成的角是相等的，
所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，
同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，
要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，
且过棱的中点的正六边形，且边长为，
所以其面积为，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.
5．B
【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.
详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，
所以其表面积为，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
6．D
【分析】根据已知条件分别求出球的半径、三棱柱的底面边长和高，从而求出球冠的面积，再根据正弦定理求出外接圆的半径，即可得解．
【详解】设球的半径为，则，得．设正三棱柱的高为，底面边长为，则，（提示：根据正三棱柱和球的结构特征建立方程组）
得，则球被截掉的两个球缺的高均为1，每个球冠的面积为，又外接圆的半径为，（提示：正弦定理的应用）
故所求表面积为．
故选：D
7．D
【分析】
由已知及球体表面积公式可得球O的半径，根据正三棱柱的高、底面边长与外接球半径关系列方程求棱柱的高和底面边长，再结合已知求球O被三棱柱的上、下底面截掉两个球缺后剩余部分的表面积.
【详解】设球O的半径为R，则，得，
设正三棱柱的高为h，底面边长为a，
则，得，.
易知：球O被三棱柱的上、下底面截掉的两个球缺相同，且高均为1，
则球缺曲面部分的面积为，又外接圆的半径为，
所以所求表面积为.
故选：D
8．B
【分析】设三点在底面上的射影分别为，可得与全等，经过三个顶点的球的截面圆与的外接圆相同，根据正弦定理求出外接圆的半径可得答案.
【详解】设三点在底面上的射影分别为，
因为面，面，面都与面垂直，
所以是三边中点，
所以与全等，且所在平面互相平行，
所以经过三个顶点的球的截面圆与的外接圆相同，
由题意，，
所以的外接圆的半径为，
则经过三个顶点的球的截面圆的面积为.
故选：B.
9．C
【分析】利用正方体的性质，结合空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判断正误.
【详解】解：对于①，由正方体的性质可知，平面，又平面,
故，异面直线与直线的所成的角为定值，①正确；
对于②，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，故二面角为定值，②正确；
对于③，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，过点做，，,此时，的值最小.
由题可知，,,
，
则，，
故,又，
故的最小值为，故③正确.
对于④，在正方体中易证平面，设，则即为二面角的平面角，又正方体边长为1，故，则,由余弦定理得，故，同理,
故在上必然存在一点，使得二面角为，即平面平面，平面与平面的交线为，
则，过点作的垂线.此时平面，又平面，故.故④错误.
故选：C.
10．C
【分析】在正方体中，体对角线与其不相交的面对角线都垂直，作出几个截面可确定其形状，周长及面积大小，通过法向量的关系可确定二面角的大小，从而判断各选型对错.
【详解】如下图，在正方体中，体对角线与平面，平面，平面都垂直，由图可知，在平面运动过程中只可能为三角形或六边形，故A正确；由题可知平面与都垂直，所以平面在移动过程中都是平行平面，与平面的夹角为定值，故B正确；如下图，当为对角线中点时，为正六边形，而三角形为等边三角形，根据中位线定理，可得两个截面周长相等，故C错误；由图可得，当为对角线中点时，为正六边形，设边长，面积为，当向下刚开始移动时，为六边形，结合图形可知两邻边一条增大，一条减小且变化量相等，设，而且所有六边形的高都相等且等于，两邻边夹角都为，则六边形梯形，当为三角形时面积最大为，所以当且仅当为对角线中点时，的面积最大，故D正确.
故选：C.
11．C
【分析】通过顶点转换，确定三棱锥的底和高的变化情况，即可确定答案.
【详解】如下图，连接，在正方体中，，分别为，的中点，可得，，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，则三棱锥的体积为定值. 平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，.
故选：C.
12．A
【分析】先判断为的重心，再利用重心得到，求出，进而得到，借助基本不等式求出最小值即可.
【详解】
过作平面的垂线，垂足为，连，设的交点为，在中过作直线交于两点，由相交直线确定平面，则四边形为过的截面.由计算可得，得为正三角形，，所以为的重心，设，由向量运算可得，又，可得，所以，由三点共线，得，即，易得到平面的距离为，到平面的距离为1，因为，所以，，得，，由，，得，当且仅当取等号，所以，即的最小值为.
故选：A.
【点睛】本题关键点在于由为的重心得到这一结论，再用表示出要求的体积，最后借助基本不等式得到最值.
13．C
【分析】设该正四棱锥底面边长为，高为，由体积得到，再算出侧面积和底面积，进而得到该四棱锥的表面积，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】如图，O为底面ABCD的中心，E为BC的中点，连接PO，OE，
设该正四棱锥底面边长为，高为，且，由题意，.
易有，，则，
所以，，将代入并化简得：，
于是，
.
当且仅当时，取“=”.
易知，此时底面ABCD直观图的面积.
故选：C.
14．C
【分析】取的中点，连接，由题意可得平面MQN与平面PBC的交线为l即为，直线QD与直线l所成角即为直线QD与直线所成角即为，由余弦定理求解即可.
【详解】取的中点，连接，由题意可得，
又因为，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以四点共面，
所以平面MQN与平面PBC的交线为l即为，
直线QD与直线l所成角即为直线QD与直线所成角即为，
因为正三棱锥P-ABC中，，BC＝6，
所以，
所以，
，
所以.
故选：C.
15．C
【分析】如图所示，连接，，得到四点共面，确定二面角的大小为，计算得到答案.
【详解】如图所示：连接，，故四点共面，
故平面和平面的交线为，
平面，平面，故，又，
平面，平面，
故二面角的大小为，.
故选：C
16．D
【分析】由条件可得球与三棱锥的表面的交线均为以点为顶点，半径为，圆心角为的圆弧，然后利用等体积法算出点到平面的距离，然后可得球与表面的交线为以的中心为圆心，半径为的圆，然后可得答案.
【详解】因为三棱锥的棱，，两两互相垂直，，
所以球与三棱锥的表面的交线均为以点为顶点，半径为，圆心角为的圆弧，其长度为，
设点到平面的距离为，
因为，所以是边长为的等边三角形，
由可得，解得，
所以球与表面的交线为以的中心为圆心，半径为的圆，其长度为，
因为，
所以以顶点为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为，
故选：D
17．D
【分析】将直三棱柱补成直四棱柱，且四边形为平行四边形，则平面即为平面，所以直线为，则与的距离即为则与的距离，在中求边上的高即可.
【详解】如图，将直三棱柱补成直四棱柱，且四边形为平行四边形，则平面即为平面，所以直线为，则与的距离即为则与的距离，设为，
由已知可得：在三角形中，
，，
，
，
则，
，
，
得.
故选：D.
【点睛】本题考查空间中两平行线的距离，可转化为三角形的高来解决，是中档题.
18．B
【分析】利用异面直线的夹角定义转化为求直线与AP夹角的正弦值最小，需点到AP的距离最小，最小值为点到面的距离，再利用等体积法求出距离，进而得解.
【详解】如图，分别取的中点，连接，
取的中点，连接
由三棱台的性质知，且，
所以四边形为平行四边形，
又，，故直线与AP的夹角为直线与AP的夹角，
要使直线与AP夹角的正弦值最小，需点到AP的距离最小，
又点P在侧面内，则需点到AP的距离最小，即点到面的距离，
设点到面的距离为，利用等体积法知
即，即，
在直角中，，，
又在中，，，，
，又
设直线与AP夹角的最小值为，则
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线的夹角，解题的关键是通过异面直线夹角定义转化，再将所求夹角正弦值转化为点到AP的距离最小，即点到面的距离，考查学生的转化化归能力与运算求解能力，属于难题。
19．B
【分析】先找到二面角的平面角的最大值，即最小，再求解出此角的余弦值.
【详解】连接AE，取AE的中点P，过点P作FG⊥AE交CD于点F，交AB于点G，设正方体棱长为2，由勾股定理可知：，，同理，取的中点，连接，取的中点，过点作MN⊥交于点M，交于点N，则直线即为直线，此时，MF⊥CD，NG⊥AB，OP⊥底面ABCD，因为FG平面ABCD，所以OP⊥FG，因为AE∩OP=P，所以FG⊥平面AOP，连接OA，OE
，因为OA平面AOP，所以OA⊥FG，因为MN∥FG，所以OA⊥MN，同理可证：OE⊥MN，所以即为二面角的平面角，由对称性可知：此角即为二面角的平面角的最大值，且，其中，由勾股定理得：，所以，则
故选：B
【点睛】要能根据作辅助线即图象，找出二面角的平面角的最大角，再进行求解.
20．C
【分析】由题设，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，求出面的法向量与面的法向量为的夹角， 对于AB，令，则，分析函数单调性，结合余弦函数性质判断；对于CD，令时，化简整理得到 ，利用导数判断函数的单调性，进而判断余弦函数的单调性，进而得解.
【详解】由题设，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，
设直线与交于，则，
则，，，
设平面的法向量为，
，，令，则
设平面的法向量为，又
，，令，则
利用空间向量夹角公式得
对于AB，令，则
显然函数在时为减函数，即减小，则增大，故AB 错误；
对于CD，当时，则
令，
求导
，令，得
故当时，，函数单减，即单减，增大；当时，，函数单增，即单增，减小；故当增大时，先增大后减小
故选：C
【点睛】方法点睛：本题考查面面角的求法，利用导数判断函数的单调性，即余弦函数的性质，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线所成的角为(),；
②直线与平面所成的角为(),；
③二面角的大小为(),
21．D
【分析】利用三棱锥的体积，求解底边边长，求出的外接圆半径，
以及球心到底面的距离，判断顶点的轨迹是两个不同截面圆的圆周，
进而求解周长即可．
【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形的边长为，
三棱锥的体积
解得：
的外接圆半径为
球心到底面的距离为
，
又顶点P到底面ABC的距离为3，
顶点的轨迹是一个截面圆的圆周
当球心在底面和截面圆之间时，
球心到该截面圆的距离为，
截面圆的半径为，
顶点P的轨迹长度为；
当球心在底面和截面圆同一侧时，
球心到该截面圆的距离为，
截面圆的半径为，
顶点P的轨迹长度为；
综上所述，顶点P的轨迹的总长度为
故选：D．
【点睛】本题考查空间几何体外接球的问题以及轨迹周长的求法，考查
空间想象能力、转化思想以及计算能力，题目具有一定的难度．
22．D
【分析】先求得二面角的大小，进而得到直线与平面所成角的大小，依据直线与平面所成角的正弦值列方程，可得点P的轨迹.
【详解】连接AC交BD于O，取中点,连接
以O为原点,分别以OA、OB、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图：
令正方体边长为2，则，
面的一个法向量为，
面的一个法向量为
则，故二面角的大小为
又二面角的大小，则或
由，，可得
又
整理得
即，是双曲线.
故选：D
23．C
【分析】设每个面记为边形，求出所有的面角和，再根据定义即可得解.
【详解】设每个面记为边形，
则所有的面角和为，
根据定义可得该类多面体的总曲率．
故选：C．
24．B
【分析】根据顶点数－棱数＋面数＝2求出棱数，设正五边形有个，正六边形有个，根据面数和棱数即可得关于的方程组，解得的值，即可求解.
【详解】根据题意， 碳（）由个顶点，有个面，
由顶点数－棱数＋面数＝2可得：棱数为，
设正五边形有个，正六边形有个，
则，解得：，所以六元环的个数为个，
故选：B.
25．C
【分析】根据中位点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可.
【详解】①若三个点共线,在线段上,根据两点之间线段最短,
则是的中位点,正确；
②举一个反例,如边长为的直角三角形,此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为,而直角顶点到三个顶点的距离之和为7,
∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；
③若四个点共线,则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点,故它们的中位点存在但不唯一；故错误；
④如图,在梯形中,对角线的交点是任意一点,则根据三角形两边之和大于第三边得,
∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确．
故①④正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查了新定义问题的运用,需要根据题意根据几何性质找到反例或直接证明.属于难题.
26．B
【分析】
取中点,连接，证明且，可判断①③④，取中点，连接，通过证明平面，得，可判断②．
【详解】取中点,连接，∵是中点，所以且，
又是矩形的边的中点，则且，
∴且，∴是平行四边形，∴且，
显然的长是定值，因此是定值，①,
而不在底面上时，平面，平面，∴平面，④正确；
在等腰直角中，，因此与不可能垂直，即与不可能垂直，③错误；
若，取中点，连接，显然，又，平面，∴平面，又平面，∴，
但在矩形中，可得，，即，∴不成立，③错误，
故选：B．
27．B
【分析】A选项，假设存在某个位置，使得直线与直线垂直，推出⊥，得到矛盾；B选项，假设存在某个位置，使得⊥，推出⊥平面，由可知，存在这样的等腰直角三角形；C选项，假设存在某个位置，使得直线与直线垂直，推出⊥，由于，所以不存在这样的直角三角形；D选项，由ABC可推出D错误.
【详解】矩形在翻折前和翻折后的图形如图（1）、图（2）所示．
在图（1）中，过点A作⊥，垂足为E，过点C作⊥，垂足为F，
由边不相等可知点不重合．
在图（2）中，连接，
对于选项A，若⊥，又知⊥，，所以⊥平面，
所以⊥，与点不重合相矛盾，故选项A错误；
对于选项B，若⊥，又知⊥，，所以⊥平面，
所以⊥，由可知，存在这样的等腰直角三角形，
使得直线与直线垂直，故选项B正确；
对于选项C，若⊥，又知⊥，，
所以⊥平面，所以⊥，
已知，，则，所以不存在这样的直角三角形，故选项C错误；
由以上可知选项D错误．
故选：B．
28．B
【分析】
选项A，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围可得解.
【详解】对于选项A，沿翻折，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；
对于选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角变化范围是，故存在某个位置使得，故B正确；
对于选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围是，故不存在某个位置使得，故C错误；
对于选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围，由图观察翻折过程中与的夹角变化范围是，所以不存在某个位置使得，故D错误.
故选：B.
29．ABD
【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，
所以能够被整体放入正方体内，故B正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，
所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；
对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过的中点作，设，
可知，则，
即，解得，
且，即，
故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，
若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，
可知：，则，
即，解得，
根据对称性可知圆柱的高为，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确；
故选：ABD.
30．ABD
【分析】由题易证得面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，可判断A；取的中点分别为，连接，由面面平行的判定定理可得平面面，因为面，所以平面，当时，AQ有最小值可判断B；由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断C；在上取点，使得，易知点Q的轨迹为圆弧可判断D.
【详解】对于A，因为，又因为面， 面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；
对于B，取的中点分别为，连接，
则易证明：，面，面，所以面，
又因为，，面，面，所以面，
，所以平面面，面，所以平面
当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，所以则AQ的最小值为，故B正确；
对于C，若的外心为M，，过作于点，
则.故C错误；
对于D，过作于点，易知平面，
在上取点，使得，则，
所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，
又因为所以，则圆弧等于，故D正确.
故选：ABD.
31．
【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.
【详解】设球的半径为.
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；
分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，
连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.
综上，.
故答案为：
32．．
【分析】讨论在下底面圆周上的位置，确定不同位置上的变化情况及其最值点，进而确定△的面积的范围.
【详解】如图1，上底面圆心记为，下底面圆心记为，
连结，过点作，垂足为点，则，又为定值2，故的大小随着的长短变化而变化，
如图2所示，当点与点重合时，，此时取得最大值为；
如图3所示，当点与点重合，取最小值2，此时取得最小值为．
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
33．
【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理，证得平面，记与平面交于点H，连接，，，得到，结合点关于平面对称的点为，进而求得的最小值.
【详解】以点D为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，
因为，，且，则平面，
又因为平面，所以，
同理得平面，因为平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
记与平面交于点H，连接，，，且，
则，可得，
由得点关于平面对称的点为，
所以的最小值为.
故答案为：.
34．
【分析】将沿展开，使与在同一平面内，则即为的最小值，求出即可.
【详解】因为平面，平面，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，所以四边形是正方形，所以，
如图，将沿展开，使与在同一平面内，
则即为的最小值，，
由余弦定理得，
所以的最小值是．
故答案为：．
35．8
【分析】当点固定，且时，的值最小，过点作，垂足为，连接，分析可知，且当沿翻转到平面时，四边形构成矩形，此时的最小值为，由此得解．
【详解】因为平面，平面，所以
则，又，平面
所以平面，因为平面，所以
则在平面上，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则，设
因为，所以直线的方程为，设，
则
由于变量不具有等量关系，故时，有最小
即当时，最小；
过点作BD垂线，垂足为，连接，
因为平面，，，平面
所以，所以平面，
因为平面，所以
又，平面，所以平面
因为平面，所以，又，
所以，由平面，所以．
因为，
所以，
所以．
因为，，平面，
所以，
所以当沿翻转到平面时，四边形构成矩形，
所以的最小值为，
即的最小值为8．
故答案为：8．
36．
【分析】取中点，由题可得平面，进而可得三棱锥的高，利用锥体体积公式可得三棱锥的体积，设点轨迹所在平面为，则轨迹为平面截三棱锥的外接球的截面圆，利用球的截面性质求截面圆半径即得.
【详解】取中点，则，
∴平面，，又，
∴，
则三棱锥的高，
三棱锥体积为；
作，设点轨迹所在平面为，
则平面经过点且，
设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，
易知平面平面，且四点共面，
由题可得，，
解Rt，得，又，
则三棱锥外接球半径，
易知到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径为，
∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为.
故答案为：；.
一、单选题
1．在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
2．已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
3．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
4．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为
A．B．C．D．
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A．B．C．D．
6．球缺是指一个球被平面截下的部分，截面为球缺的底面，垂直于截面的直径被截面截得的线段长为球缺的高，球缺曲面部分的面积（球冠面积）（为球的半径，为球缺的高）．已知正三棱柱的顶点都在球的表面上，球的表面积为，该正三棱柱的体积为，若的边长为整数，则球被该正三棱柱上、下底面所在平面截掉两个球缺后剩余部分的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．球缺是指一个球被平面截下的一部分，截面为球缺的底面，垂直于截面的直径被平面截下的线段长为球缺的高，球缺曲面部分的面积（R为球缺所在球的半径，H为球缺的高）.已知正三棱柱的顶点都在球O的表面上，球O的表面积为，该正三棱柱的体积为，若的边长为正整数，则球O被三棱柱的上、下底面截掉两个球缺后剩余部分的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠形成，即面，面，面都与面垂直，如图②，则经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题：
①异面直线与直线所成角的大小为定值；
②二面角的大小为定值；
③若Q是对角线上一点，则长度的最小值为；
④若R是线段上一动点，则直线与直线不可能平行．
其中真命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．已知正方体为对角线上一点（不与点重合），过点作垂直于直线的平面，平面与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论不正确的是（ ）
A．只可能为三角形或六边形
B．平面与平面的夹角为定值
C．当且仅当为对角线中点时，的周长最大
D．当且仅当为对角线中点时，的面积最大
11．如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（ ）
A．存在最大值，最大值为B．存在最小值，最小值为
C．为定值D．不确定，与，的位置有关
12．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13．已知某正四棱锥的体积是，该几何体的表面积最小值是，我们在绘画该表面积最小的几何体的直观图时所画的底面积大小是，则和的值分别是（ ）
A．3；B．4；C．4；D．3；
14．在正三棱锥P-ABC中，，BC＝6，M，N，Q，D分别是AP，BC，AC，PC的中点，平面MQN与平面PBC的交线为l，则直线QD与直线l所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
15．已知在长方体中，，，记平面和平面的交线为，已知二面角的大小为60°，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
16．已知三棱锥的棱，，两两互相垂直，，以顶点为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为（ ）
A．B．C．D．
17．直三棱柱中，，，，，设平面与平面的交线为，则与的距离为（ ）．
A．1B．C．17D．2.6
18．在三棱台中，底面BCD，，，．若A是BD中点，点P在侧面内，则直线与AP夹角的正弦值的最小值是（ ）
A．B．C．D．
19．已知在正方体中，点为棱的中点，直线在平面内．若二面角的平面角为，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．如图，在正方体中，在棱上，，平行于的直线在正方形内，点到直线的距离记为，记二面角为为，已知初始状态下，，则（ ）
A．当增大时，先增大后减小B．当增大时，先减小后增大
C．当增大时，先增大后减小D．当增大时，先减小后增大
21．已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（ ）
A．6πB．30π
C．D．
22．如图，正方体，P为平面内一动点，设二面角的大小为，直线与平面所成角的大小为.若，则点P的轨迹是（ ）
A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线
23．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．已知多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则八面体的总曲率为（ ）
A．B．C．D．
24．碳（）是一种非金属单质，它是由个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则其六元环的个数为（ ）.
A．12B．20C．32D．60
25．设、、…、为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到、、…、点的距离之和最小，则称点为、、…、点的一个“中位点”，有下列命题：①、、三个点共线，在线段上，则是、、的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点；③若四个点、、、共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；其中的真命题是（ ）
A．②④B．①②C．①④D．①③④
26．如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下面说法中正确的序号是（ ）
①是定值
②存在某个位置，使
③存在某个位置，使
④不在底面上时，则平面
A．①②B．①④C．①③D．②④
27．已知矩形中，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得直线与直线垂直
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直
28．如图1，在菱形中，，是其对角线，是上一点，且，将沿直线翻折，形成四棱锥（如图2），则在翻折过程中，下列结论中正确的是（ ）
A．存在某个位置使得B．存在某个位置使得
C．存在某个位置使得D．存在某个位置使得
二、多选题
29．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
30．在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ）
A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则AQ的最小值为
C．若的外心为M，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
三、填空题
31．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
32．已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为
33．在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则|的最小值为 .
34．在直三棱柱中，，，，是线段上的动点，则的最小值是 .
35．如图，在三棱锥中，是的中点，，分别为线段，上的动点，，平面，若，则的最小值为 .
36．已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时.则三棱锥的体积为 ，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为 .
参考答案：
1．B
【分析】分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.先证平面，则可得到，再证.由三角形相似得到，，再由即可求出体积比.
【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.
因为平面，平面，所以平面平面.
又因为平面平面，，平面，所以平面，且.
在中，因为，所以，所以，
在中，因为，所以，
所以.
故选：B
2．C
【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.
【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有，
又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，
显然平面，于是平面，又平面，
因此平面平面，显然平面平面，
直线平面，则直线在平面内的射影为直线，
从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得，即，
显然是锐角，，
所以直线与平面所成的角的正切为.
故选：C
3．B
【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
4．A
【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.
【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，
所以在正方体中，
平面与线所成的角是相等的，
所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，
同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，
要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，
且过棱的中点的正六边形，且边长为，
所以其面积为，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.
5．B
【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.
详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，
所以其表面积为，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
6．D
【分析】根据已知条件分别求出球的半径、三棱柱的底面边长和高，从而求出球冠的面积，再根据正弦定理求出外接圆的半径，即可得解．
【详解】设球的半径为，则，得．设正三棱柱的高为，底面边长为，则，（提示：根据正三棱柱和球的结构特征建立方程组）
得，则球被截掉的两个球缺的高均为1，每个球冠的面积为，又外接圆的半径为，（提示：正弦定理的应用）
故所求表面积为．
故选：D
7．D
【分析】
由已知及球体表面积公式可得球O的半径，根据正三棱柱的高、底面边长与外接球半径关系列方程求棱柱的高和底面边长，再结合已知求球O被三棱柱的上、下底面截掉两个球缺后剩余部分的表面积.
【详解】设球O的半径为R，则，得，
设正三棱柱的高为h，底面边长为a，
则，得，.
易知：球O被三棱柱的上、下底面截掉的两个球缺相同，且高均为1，
则球缺曲面部分的面积为，又外接圆的半径为，
所以所求表面积为.
故选：D
8．B
【分析】设三点在底面上的射影分别为，可得与全等，经过三个顶点的球的截面圆与的外接圆相同，根据正弦定理求出外接圆的半径可得答案.
【详解】设三点在底面上的射影分别为，
因为面，面，面都与面垂直，
所以是三边中点，
所以与全等，且所在平面互相平行，
所以经过三个顶点的球的截面圆与的外接圆相同，
由题意，，
所以的外接圆的半径为，
则经过三个顶点的球的截面圆的面积为.
故选：B.
9．C
【分析】利用正方体的性质，结合空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判断正误.
【详解】解：对于①，由正方体的性质可知，平面，又平面,
故，异面直线与直线的所成的角为定值，①正确；
对于②，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，故二面角为定值，②正确；
对于③，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，过点做，，,此时，的值最小.
由题可知，,,
，
则，，
故,又，
故的最小值为，故③正确.
对于④，在正方体中易证平面，设，则即为二面角的平面角，又正方体边长为1，故，则,由余弦定理得，故，同理,
故在上必然存在一点，使得二面角为，即平面平面，平面与平面的交线为，
则，过点作的垂线.此时平面，又平面，故.故④错误.
故选：C.
10．C
【分析】在正方体中，体对角线与其不相交的面对角线都垂直，作出几个截面可确定其形状，周长及面积大小，通过法向量的关系可确定二面角的大小，从而判断各选型对错.
【详解】如下图，在正方体中，体对角线与平面，平面，平面都垂直，由图可知，在平面运动过程中只可能为三角形或六边形，故A正确；由题可知平面与都垂直，所以平面在移动过程中都是平行平面，与平面的夹角为定值，故B正确；如下图，当为对角线中点时，为正六边形，而三角形为等边三角形，根据中位线定理，可得两个截面周长相等，故C错误；由图可得，当为对角线中点时，为正六边形，设边长，面积为，当向下刚开始移动时，为六边形，结合图形可知两邻边一条增大，一条减小且变化量相等，设，而且所有六边形的高都相等且等于，两邻边夹角都为，则六边形梯形，当为三角形时面积最大为，所以当且仅当为对角线中点时，的面积最大，故D正确.
故选：C.
11．C
【分析】通过顶点转换，确定三棱锥的底和高的变化情况，即可确定答案.
【详解】如下图，连接，在正方体中，，分别为，的中点，可得，，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，则三棱锥的体积为定值. 平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，.
故选：C.
12．A
【分析】先判断为的重心，再利用重心得到，求出，进而得到，借助基本不等式求出最小值即可.
【详解】
过作平面的垂线，垂足为，连，设的交点为，在中过作直线交于两点，由相交直线确定平面，则四边形为过的截面.由计算可得，得为正三角形，，所以为的重心，设，由向量运算可得，又，可得，所以，由三点共线，得，即，易得到平面的距离为，到平面的距离为1，因为，所以，，得，，由，，得，当且仅当取等号，所以，即的最小值为.
故选：A.
【点睛】本题关键点在于由为的重心得到这一结论，再用表示出要求的体积，最后借助基本不等式得到最值.
13．C
【分析】设该正四棱锥底面边长为，高为，由体积得到，再算出侧面积和底面积，进而得到该四棱锥的表面积，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】如图，O为底面ABCD的中心，E为BC的中点，连接PO，OE，
设该正四棱锥底面边长为，高为，且，由题意，.
易有，，则，
所以，，将代入并化简得：，
于是，
.
当且仅当时，取“=”.
易知，此时底面ABCD直观图的面积.
故选：C.
14．C
【分析】取的中点，连接，由题意可得平面MQN与平面PBC的交线为l即为，直线QD与直线l所成角即为直线QD与直线所成角即为，由余弦定理求解即可.
【详解】取的中点，连接，由题意可得，
又因为，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以四点共面，
所以平面MQN与平面PBC的交线为l即为，
直线QD与直线l所成角即为直线QD与直线所成角即为，
因为正三棱锥P-ABC中，，BC＝6，
所以，
所以，
，
所以.
故选：C.
15．C
【分析】如图所示，连接，，得到四点共面，确定二面角的大小为，计算得到答案.
【详解】如图所示：连接，，故四点共面，
故平面和平面的交线为，
平面，平面，故，又，
平面，平面，
故二面角的大小为，.
故选：C
16．D
【分析】由条件可得球与三棱锥的表面的交线均为以点为顶点，半径为，圆心角为的圆弧，然后利用等体积法算出点到平面的距离，然后可得球与表面的交线为以的中心为圆心，半径为的圆，然后可得答案.
【详解】因为三棱锥的棱，，两两互相垂直，，
所以球与三棱锥的表面的交线均为以点为顶点，半径为，圆心角为的圆弧，其长度为，
设点到平面的距离为，
因为，所以是边长为的等边三角形，
由可得，解得，
所以球与表面的交线为以的中心为圆心，半径为的圆，其长度为，
因为，
所以以顶点为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为，
故选：D
17．D
【分析】将直三棱柱补成直四棱柱，且四边形为平行四边形，则平面即为平面，所以直线为，则与的距离即为则与的距离，在中求边上的高即可.
【详解】如图，将直三棱柱补成直四棱柱，且四边形为平行四边形，则平面即为平面，所以直线为，则与的距离即为则与的距离，设为，
由已知可得：在三角形中，
，，
，
，
则，
，
，
得.
故选：D.
【点睛】本题考查空间中两平行线的距离，可转化为三角形的高来解决，是中档题.
18．B
【分析】利用异面直线的夹角定义转化为求直线与AP夹角的正弦值最小，需点到AP的距离最小，最小值为点到面的距离，再利用等体积法求出距离，进而得解.
【详解】如图，分别取的中点，连接，
取的中点，连接
由三棱台的性质知，且，
所以四边形为平行四边形，
又，，故直线与AP的夹角为直线与AP的夹角，
要使直线与AP夹角的正弦值最小，需点到AP的距离最小，
又点P在侧面内，则需点到AP的距离最小，即点到面的距离，
设点到面的距离为，利用等体积法知
即，即，
在直角中，，，
又在中，，，，
，又
设直线与AP夹角的最小值为，则
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线的夹角，解题的关键是通过异面直线夹角定义转化，再将所求夹角正弦值转化为点到AP的距离最小，即点到面的距离，考查学生的转化化归能力与运算求解能力，属于难题。
19．B
【分析】先找到二面角的平面角的最大值，即最小，再求解出此角的余弦值.
【详解】连接AE，取AE的中点P，过点P作FG⊥AE交CD于点F，交AB于点G，设正方体棱长为2，由勾股定理可知：，，同理，取的中点，连接，取的中点，过点作MN⊥交于点M，交于点N，则直线即为直线，此时，MF⊥CD，NG⊥AB，OP⊥底面ABCD，因为FG平面ABCD，所以OP⊥FG，因为AE∩OP=P，所以FG⊥平面AOP，连接OA，OE
，因为OA平面AOP，所以OA⊥FG，因为MN∥FG，所以OA⊥MN，同理可证：OE⊥MN，所以即为二面角的平面角，由对称性可知：此角即为二面角的平面角的最大值，且，其中，由勾股定理得：，所以，则
故选：B
【点睛】要能根据作辅助线即图象，找出二面角的平面角的最大角，再进行求解.
20．C
【分析】由题设，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，求出面的法向量与面的法向量为的夹角， 对于AB，令，则，分析函数单调性，结合余弦函数性质判断；对于CD，令时，化简整理得到 ，利用导数判断函数的单调性，进而判断余弦函数的单调性，进而得解.
【详解】由题设，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，
设直线与交于，则，
则，，，
设平面的法向量为，
，，令，则
设平面的法向量为，又
，，令，则
利用空间向量夹角公式得
对于AB，令，则
显然函数在时为减函数，即减小，则增大，故AB 错误；
对于CD，当时，则
令，
求导
，令，得
故当时，，函数单减，即单减，增大；当时，，函数单增，即单增，减小；故当增大时，先增大后减小
故选：C
【点睛】方法点睛：本题考查面面角的求法，利用导数判断函数的单调性，即余弦函数的性质，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线所成的角为(),；
②直线与平面所成的角为(),；
③二面角的大小为(),
21．D
【分析】利用三棱锥的体积，求解底边边长，求出的外接圆半径，
以及球心到底面的距离，判断顶点的轨迹是两个不同截面圆的圆周，
进而求解周长即可．
【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形的边长为，
三棱锥的体积
解得：
的外接圆半径为
球心到底面的距离为
，
又顶点P到底面ABC的距离为3，
顶点的轨迹是一个截面圆的圆周
当球心在底面和截面圆之间时，
球心到该截面圆的距离为，
截面圆的半径为，
顶点P的轨迹长度为；
当球心在底面和截面圆同一侧时，
球心到该截面圆的距离为，
截面圆的半径为，
顶点P的轨迹长度为；
综上所述，顶点P的轨迹的总长度为
故选：D．
【点睛】本题考查空间几何体外接球的问题以及轨迹周长的求法，考查
空间想象能力、转化思想以及计算能力，题目具有一定的难度．
22．D
【分析】先求得二面角的大小，进而得到直线与平面所成角的大小，依据直线与平面所成角的正弦值列方程，可得点P的轨迹.
【详解】连接AC交BD于O，取中点,连接
以O为原点,分别以OA、OB、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图：
令正方体边长为2，则，
面的一个法向量为，
面的一个法向量为
则，故二面角的大小为
又二面角的大小，则或
由，，可得
又
整理得
即，是双曲线.
故选：D
23．C
【分析】设每个面记为边形，求出所有的面角和，再根据定义即可得解.
【详解】设每个面记为边形，
则所有的面角和为，
根据定义可得该类多面体的总曲率．
故选：C．
24．B
【分析】根据顶点数－棱数＋面数＝2求出棱数，设正五边形有个，正六边形有个，根据面数和棱数即可得关于的方程组，解得的值，即可求解.
【详解】根据题意， 碳（）由个顶点，有个面，
由顶点数－棱数＋面数＝2可得：棱数为，
设正五边形有个，正六边形有个，
则，解得：，所以六元环的个数为个，
故选：B.
25．C
【分析】根据中位点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可.
【详解】①若三个点共线,在线段上,根据两点之间线段最短,
则是的中位点,正确；
②举一个反例,如边长为的直角三角形,此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为,而直角顶点到三个顶点的距离之和为7,
∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；
③若四个点共线,则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点,故它们的中位点存在但不唯一；故错误；
④如图,在梯形中,对角线的交点是任意一点,则根据三角形两边之和大于第三边得,
∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确．
故①④正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查了新定义问题的运用,需要根据题意根据几何性质找到反例或直接证明.属于难题.
26．B
【分析】
取中点,连接，证明且，可判断①③④，取中点，连接，通过证明平面，得，可判断②．
【详解】取中点,连接，∵是中点，所以且，
又是矩形的边的中点，则且，
∴且，∴是平行四边形，∴且，
显然的长是定值，因此是定值，①,
而不在底面上时，平面，平面，∴平面，④正确；
在等腰直角中，，因此与不可能垂直，即与不可能垂直，③错误；
若，取中点，连接，显然，又，平面，∴平面，又平面，∴，
但在矩形中，可得，，即，∴不成立，③错误，
故选：B．
27．B
【分析】A选项，假设存在某个位置，使得直线与直线垂直，推出⊥，得到矛盾；B选项，假设存在某个位置，使得⊥，推出⊥平面，由可知，存在这样的等腰直角三角形；C选项，假设存在某个位置，使得直线与直线垂直，推出⊥，由于，所以不存在这样的直角三角形；D选项，由ABC可推出D错误.
【详解】矩形在翻折前和翻折后的图形如图（1）、图（2）所示．
在图（1）中，过点A作⊥，垂足为E，过点C作⊥，垂足为F，
由边不相等可知点不重合．
在图（2）中，连接，
对于选项A，若⊥，又知⊥，，所以⊥平面，
所以⊥，与点不重合相矛盾，故选项A错误；
对于选项B，若⊥，又知⊥，，所以⊥平面，
所以⊥，由可知，存在这样的等腰直角三角形，
使得直线与直线垂直，故选项B正确；
对于选项C，若⊥，又知⊥，，
所以⊥平面，所以⊥，
已知，，则，所以不存在这样的直角三角形，故选项C错误；
由以上可知选项D错误．
故选：B．
28．B
【分析】
选项A，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围可得解.
【详解】对于选项A，沿翻折，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；
对于选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角变化范围是，故存在某个位置使得，故B正确；
对于选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围是，故不存在某个位置使得，故C错误；
对于选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围，由图观察翻折过程中与的夹角变化范围是，所以不存在某个位置使得，故D错误.
故选：B.
29．ABD
【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，
所以能够被整体放入正方体内，故B正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，
所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；
对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过的中点作，设，
可知，则，
即，解得，
且，即，
故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，
若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，
可知：，则，
即，解得，
根据对称性可知圆柱的高为，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确；
故选：ABD.
30．ABD
【分析】由题易证得面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，可判断A；取的中点分别为，连接，由面面平行的判定定理可得平面面，因为面，所以平面，当时，AQ有最小值可判断B；由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断C；在上取点，使得，易知点Q的轨迹为圆弧可判断D.
【详解】对于A，因为，又因为面， 面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；
对于B，取的中点分别为，连接，
则易证明：，面，面，所以面，
又因为，，面，面，所以面，
，所以平面面，面，所以平面
当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，所以则AQ的最小值为，故B正确；
对于C，若的外心为M，，过作于点，
则.故C错误；
对于D，过作于点，易知平面，
在上取点，使得，则，
所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，
又因为所以，则圆弧等于，故D正确.
故选：ABD.
31．
【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.
【详解】设球的半径为.
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；
分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，
连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.
综上，.
故答案为：
32．．
【分析】讨论在下底面圆周上的位置，确定不同位置上的变化情况及其最值点，进而确定△的面积的范围.
【详解】如图1，上底面圆心记为，下底面圆心记为，
连结，过点作，垂足为点，则，又为定值2，故的大小随着的长短变化而变化，
如图2所示，当点与点重合时，，此时取得最大值为；
如图3所示，当点与点重合，取最小值2，此时取得最小值为．
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
33．
【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理，证得平面，记与平面交于点H，连接，，，得到，结合点关于平面对称的点为，进而求得的最小值.
【详解】以点D为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，
因为，，且，则平面，
又因为平面，所以，
同理得平面，因为平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
记与平面交于点H，连接，，，且，
则，可得，
由得点关于平面对称的点为，
所以的最小值为.
故答案为：.
34．
【分析】将沿展开，使与在同一平面内，则即为的最小值，求出即可.
【详解】因为平面，平面，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，所以四边形是正方形，所以，
如图，将沿展开，使与在同一平面内，
则即为的最小值，，
由余弦定理得，
所以的最小值是．
故答案为：．
35．8
【分析】当点固定，且时，的值最小，过点作，垂足为，连接，分析可知，且当沿翻转到平面时，四边形构成矩形，此时的最小值为，由此得解．
【详解】因为平面，平面，所以
则，又，平面
所以平面，因为平面，所以
则在平面上，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则，设
因为，所以直线的方程为，设，
则
由于变量不具有等量关系，故时，有最小
即当时，最小；
过点作BD垂线，垂足为，连接，
因为平面，，，平面
所以，所以平面，
因为平面，所以
又，平面，所以平面
因为平面，所以，又，
所以，由平面，所以．
因为，
所以，
所以．
因为，，平面，
所以，
所以当沿翻转到平面时，四边形构成矩形，
所以的最小值为，
即的最小值为8．
故答案为：8．
36．
【分析】取中点，由题可得平面，进而可得三棱锥的高，利用锥体体积公式可得三棱锥的体积，设点轨迹所在平面为，则轨迹为平面截三棱锥的外接球的截面圆，利用球的截面性质求截面圆半径即得.
【详解】取中点，则，
∴平面，，又，
∴，
则三棱锥的高，
三棱锥体积为；
作，设点轨迹所在平面为，
则平面经过点且，
设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，
易知平面平面，且四点共面，
由题可得，，
解Rt，得，又，
则三棱锥外接球半径，
易知到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径为，
∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为.
故答案为：；.
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