专题03 平面向量（4大考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

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命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷都考查到了平面向量的垂直运算，Ⅱ卷还结合了数量积的综合运算。总体上来说，平面向量知识点的考查难度依旧是较易的，掌握基本的知识点和拥有基本的运算能力即可。平面向量考查应关注：平面向量基本定理、向量的坐标运算、向量数量积、向量平行与垂直、向量模等知识点，体会数形结合思想，强化运算求解能力与转化化归能力。预计2025年高考还是主要考查向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。
试题精讲
一、单选题
1．（2024新高考Ⅰ卷·3）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2024新高考Ⅱ卷·3）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
一、单选题
1．（2022新高考Ⅰ卷·3）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023新高考Ⅰ卷·3）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022新高考Ⅱ卷·4）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
二、填空题
1．（2023新高考Ⅱ卷·13）已知向量，满足，，则 ．
一、向量的线性运算和向量共线定理
（1）向量的线性运算
二、平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
3、线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
D
A
C
B
4、三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
5、中线向量定理
如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
D
A
C
B
三、平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
（5）平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
（5）、、三点共线，这是直线的向量式方程．
四、数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
【平面向量常用结论】
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且．
（2）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且
（3）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
（4）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．
（5）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
一、单选题
1．（2024·广东深圳·三模）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线B．、、三点共线
C．、、三点共线D．、、三点共线
2．（2024·广西·三模）已知向量，那么向量可以是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·浙江·三模）已知向量，，若与垂直，则等于（ ）
A．B．C．3D．6
4．（2024·重庆·三模）已知向量，若，则（ ）
A．2B．3C．D．
5．（2024·北京·三模）若，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·甘肃兰州·三模）已知向量，设与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·河北衡水·三模）已知是单位向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·浙江金华·三模）已知，，，则（ ）
A．B．16C．D．9
9．（2024·陕西榆林·三模）在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（ ）
A．B．C．3D．-3
10．（2024·江苏苏州·三模）已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（ ）
A．4B．C．D．6
11．（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·四川眉山·三模）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
14．（2024·安徽·三模）已知向量，则（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
15．（2024·福建厦门·三模）已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（2024·河南·三模）已知平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A．一定可以作为一个基底
B．一定有最小值
C．一定存在一个实数使得
D．的夹角的取值范围是
17．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ）
A．
B．
C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为
D．的最大值为
18．（2024·吉林·二模）已知平面向量，，，，，，且，则（ ）
A．与的夹角为
B．的最大值为5
C．的最小值为2
D．若，则的取值范围
三、填空题
19．（2024·四川·三模）若向量与向量是共线向量，则实数= ．
20．（2024·上海·三模）已知向量、满足，，，则 ．
21．（2024·辽宁沈阳·三模）已知向量满足，，则 .
22．（2024·内蒙古·三模）已知单位向量的夹角为，，则 .
23．（2024·重庆·三模）已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若，则 .
24．（2024·河北张家口·三模）已知向量，若，则在上的投影向量为 ．
25．（2024·福建漳州·三模）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为 .
26．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 满足：， ，，且 ，，则 .
命题解读
考向
考查统计
高考对平面向量的考查，一般为平面向量基本定理、坐标运算、平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如平行、垂直、距离、夹角等问题的计算，难度一般不高。
平面向量的线性运算
2022·新高考Ⅰ卷，3
平面向量垂直的坐标运算
2023·新高考Ⅰ卷，3
2024·新高考Ⅰ卷，3
平面向量夹角的坐标运算
2022·新高考Ⅱ卷，4
平面向量数量积的综合运算
2023·新高考Ⅱ卷，13
2024·新高考Ⅱ卷，3
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则平行四边形法则
①交换律
②结合律
减法
求与的相反向量的和的运算叫做与的差
三角形法则
数乘
求实数与向量的积的运算
（1）
（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；
当时，
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
（当且仅当时等号成立）