[数学][数学]云南省昆明市五华区2023-2024学年高一下学期期末试题(解析版)

这是一份[数学][数学]云南省昆明市五华区2023-2024学年高一下学期期末试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数z的虚部小于0，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设复数，因为，所以，
所以，所以.
故选：B.
2. 已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，
与共线的单位向量为或.
故选：B.
3. 已知平面向量满足，，，则向量与向量夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
，
，由于，
向量与向量的夹角为．
故选：D.
4. 在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为4，直线与平面所成的角为，
以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
，
，
，所以，
由于，所以平面，
即平面的法向量为，，
所以.
故选：B.
5. 在三角形中，若D，E分别为边，上的点，且，，与交于点O，则以下结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】显然，所以，所以A正确；
过点E作，交于点F，则，，
因为，所以，即，所以，所以B正确；
再验证D是否正确，因为，
所以
，所以D正确；
因为，因为，，
所以，则，
所以，所以，
则，所以C错误.
故选：C.
6. 如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，，
所以，
又，所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以.
故选：B.
7. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A. “大于3点”与“不大于3点” B. “大于3点”与“小于2点”
C. “大于3点”与“小于4点”D. “大于3点”与“小于5点”
【答案】B
【解析】对于A，事件“大于3点”与事件“点数4或点数为5或点数为6”相等，
事件“不大于3点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3”相等，
所以事件“大于3点”与“不大于3点”不可能同时发生，且两事件的和事件为必然事件，
所以事件“大于3点”与事件“不大于3点”是互斥事件，且是对立事件，A错误；
对于B，事件“小于2点”与事件“点数为1”相等，
所以事件“大于3点”与“小于2点”不可能同时发生，但它们的和事件不是必然事件，
所以事件“大于3点”与事件“小于2点”为互斥事件，但不是对立事件；B正确；
对于C，事件“小于4点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3”相等，
所以事件“大于3点”与“小于4点”不可能同时发生，且两事件的和事件为必然事件，
所以事件“大于3点”与事件“小于4点”是互斥事件，且是对立事件，C错误；
对于D，事件“小于5点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3或点数为4”相等，
事件“大于3点”与“小于5点”可能同时发生，
所以事件“大于3点”与事件“小于5点”不是互斥事件，D错误.
故选：B.
8. 瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理:三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线.已知M，N，O，P为所在平面上的点，满足，，， (a，b，c分别为的内角A，B，C的对边)，则欧拉线一定过（ ）
A. M，N，PB. M，N，OC. M，O，PD. N，O，P
【答案】B
【解析】由题意知，即M为的外心；
，则N为的重心；
，即有，
即，同理，即O为的垂心；
由，则，
故，即，
即，则P点在的平分线上，
同理可得P点在的平分线上，故点P是的内心，
由欧拉线定理知，欧拉线一定过M，N，O.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若复数z满足：，则（ ）
A. z的实部为0B. z的虚部为任意一个实数
C. D.
【答案】AC
【解析】设，
因为，所以，
化简得，，
所以，所以，，
故A，C正确，B，D错误.
故选：AC.
10. 已知向量，，下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 当时，与的夹角为锐角 D. 若，则与的夹角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】因为，，
对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当时，此时，所以与共线同向，故C错误；
对于D：若时，
则，，，
所以，即与的夹角的余弦值为，故D正确.
故选：ABD.
11. 在长方体中，已知，，P，Q分别为，的中点，S为棱的三等分点，，过P，Q，S三点作一个平面与，，分别交于点R，M，N，即得到一个截面，则（ ）
A. B.
C. 与平面所成角的正切值为D. 点A到截面的距离为1
【答案】ABC
【解析】在长方体中，因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，所以A正确；
根据点P与点Q和点M与点S分别关于平面对称，可得，所以B正确；
延长与的延长线交于，再连接，与交点为，同理确定，
因为，所以，
因为，，所以，
因为，点P为的中点，所以，
同理可得，，所以，
又因为，所以与平面所成的角的正切值为，
所以C正确；
取的中点为G，连接，，过作于点，
因为，所以，
又因为，，
且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
又因为，平面，
且平面平面，
所以平面，
又由，所以，所以D不正确.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知甲的三分球投篮命中率为0.4，则他投两个三分球，两个都投中的概率___________.
【答案】0.16
【解析】甲两个都投中的概率为：.
故答案为：0.16.
13. 已知向量，，若，则________．
【答案】4
【解析】因为，所以，得.
故答案为：.
14. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为________；若点是线段上的动点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】如图，设中点为O，
由底面，底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，同理可得，
因为，，所以，
所以在中，
，
所以O为四棱锥外接球的球心，为该球半径，
所以其表面积为；
将绕AC翻折到与所在面重合，此时运动到处，
连接，交AC于点Q，如图，
此时最小，因为，，
所以，又，，
所以
，
所以的最小值为.
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
解：（1）由题意可得，，
因为，所以，解得．
（2）由题意可得，，
因为，所以，解得．
16. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的周长．
解：（1）因，所以，
则，所以，
又因为，所以．
（2）由余弦定理得，，即，
得，则，
故的周长为．
17. 某果园大约还有5万个蜜桔等待出售，原销售方案是所有蜜桔都以25元/千克的价格进行销售，为了更好地促进销售，需对蜜桔质量进行质量分析，以便做出合理的促销方案．现从果园内随机采摘200个蜜桔进行测重，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示．
（1）求m的值；
（2）估计该果园这200个蜜桔的平均质量为多少克/个；（同一组的数据以该组区间的中点值为代表）
（3）以样本估计总体，若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售，试问该果园的收益是否会更高？
解：（1）根据题意得，
解得．
（2）该果园这200个蜜桔的平均质量约为
克/个.
（3）依题意可估计该果园这5万个蜜桔的总质量为万克千克，
若按原销售方案进行销售，则可获得的收益约为元；
若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售，则可获得的收益约为
元，
因为，所以按新方案进行销售，该果园收益会更高．
18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，AB＝2，，△PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，点Q是线段PC的中点．
（1）求三棱锥Q－PAD的体积；
（2）求平面PBC与平面BCD夹角余弦值．
解：（1）取中点，连接，
∵是正三角形，∴，
∵平面平面，且两平面的交线为，平面，
∴平面，∴，
，
设，
.
（2）由（1）知平面，平面，故，
过作于，连接，
∵平面，，
∴平面，则，
∴即为平面与平面的夹角，
在中，，
∴，
∴，
即平面与平面夹角的余弦值为．
19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面⊥平面；
（3）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）证明：因为，为的中点，，平面平面，
交线为，面面，面.
（2）证明：∵底面为矩形，，
∵面面，面面，面，∴面，
又面，∴，
又，，面，
而面，∴平面⊥平面.
（3）存在，且，理由如下：
连接，连接，
因为是矩形，且为的中点，所以，所以，
又面BMN，面，所以，
所以.