[数学][数学]云南省大理市2023-2024学年高一下学期期末试卷(解析版)

这是一份[数学][数学]云南省大理市2023-2024学年高一下学期期末试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，现两人玩射击游戏，规则如下：每次由1人进行射击，若射击一次不中，则原射击人继续射击，若射击一次命中，则换对方接替射击，且第一次由甲射击.则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记第i次射击由甲射击，且命中为事件，第i次射击由乙射击，且命中为事件，
由题知，第一次由甲射击且前4次中甲恰好射击3次有6种情况：
，
所以所求概率
.
故选：C.
2. 已知满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，设，则，
因为，
所以由，可得，
则，
所以，解得，
所以.
故选：A.
3. 在复平面内，复数的共轭复数的虚部为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意可知，
则，所以其虚部为.
故选：B.
4. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选：D．
5. 已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ）
A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍
【答案】B
【解析】设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，侧面积为；
设体积扩大倍后底面半径为，则，，
其侧面积变为，，即侧面积扩大为原来的倍.
故选：B.
6. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D.
【答案】A
【解析】因为是的中点，且，
所以，
因为三点共线，所以，
即，所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
7. 对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】对于A，若，则，故A正确；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，若，则或或相交，故C错误；
对于D，若，则或，故D错误.
故选：A.
8. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（ ）
A. 勒洛四面体最大的截面是正三角形
B. 若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为
C. 勒洛四面体的体积是
D. 勒洛四面体内切球的半径是
【答案】D
【解析】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，
如图1所示，故A不正确；
根据勒洛四面体的性质，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，
所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值即为内接正四面体的边长，
所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为，故B错误；
如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心，
连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径，
如图3，在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心，
连接、、，由正四面体的性质可知在上，
因为，所以，则，
因为，
即，解得，
则正四面体外接球的体积是，
而勒洛四面体的体积小于其外接球的体积，C错误；
因为，所以，
所以，勒洛四面体内切球的半径是，则D正确.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 给定两组数据，其中第一组数据，，，，的平均数是4，方差是，第二组数据，，，，，则对第二组数据分析正确的有（ ）
A. 和是58B. 平均数是10
C. 方差是D. 标准差是1
【答案】BC
【解析】因为的平均数是4，方差是，即，
，
故，
=，A错；
故的平均数是：
，
方差是
，标准差为，
故B，C正确，D错.
故选：BC．
10. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则与的夹角是钝角
C. 向量能作为平面内所有向量的一个基底
D. 若，则在上的投影向量为
【答案】AD
【解析】，A正确；
当与反向时，，此时与的夹角为，B不正确；
因为，所以，所以向量不能作为基底，C不正确；
在上的投影向量为，D正确.
故选：AD.
11. 如图，在中，，，，点为的中点，，，与交于点，，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 若，则
【答案】ABD
【解析】因为点为的中点，所以，
对于A，当时，即，所以，
故A正确；
对于B，当时，因，，三点共线，且，，
所以，
所以，
又、不共线，所以，消元整理得，即，
故B正确；
对于C，当时，，，
所以，
因为，，，所以，
所以，故C错误；
对于D，，
设，则，
，
解得，所以，解得，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为__________.
【答案】
【解析】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，
因为且，所对应的向量，满足，即，
不妨令，，则，，
又，设，即
则，
所以
，
所以当时取得最大值，即.
故答案为：.
13. 已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】设，如图作平行四边形，
则，令，
由于恒成立，即恒成立，
在中，，
，
，
由于恒成立，故，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为____________m.
【答案】
【解析】在中，由正弦定理，得，
在中，（）.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，且为纯虚数.
（1）求复数；
（2）若，求复数及.
解：（1），则，，
又其为纯虚数，故，解得，故.
（2），
则，.
16. 已知非零向量不共线．
（1）如果，求证：A，B，D三点共线；
（2）若和是方向相反的两个向量，试确定实数k的值．
解：（1），
，
所以共线，且有公共点，所以A，B，D三点共线.
（2）因为和是方向相反的两个向量，
所以存在实数，使，且，
又不共线，所以，解得，或，
因为，所以，所以.
17. 第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图.
（1）试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；
（2）已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人，再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.
解：（1）由题意得，解得，
所以100名志愿者的平均年龄为
岁，
因为，
，
所以第75百分位数位于[50，60）内，设第75百分位数为x，
则，解得，
所以第75百分位数为52.5.
（2）医疗组抽取人数为人，设为a，b，则服务组抽取5-2=3人，
设为A、B、C，
5人中选取3人组成综合组，情况可能为
，共10种，
至少有1人来自医疗组的情况为
，共9种，
所以综合组中至少有1人来自医疗组的概率.
18. 已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若，为的中点，求中线的取值范围.
解：（1）因为是锐角三角形的三个内角，所以，，
根据正弦定理可得，
即，
所以，
则，
整理得，即，
又，所以，即.
（2）因为为的中点，所以，
两边平方得，
在中，由余弦定理得，即，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，，
所以
，
因为为锐角三角形，所以且，解得，
所以，所以，所以，
所以中线的取值范围是.
19. 如图，在正三棱柱中，分别是的中点.
（1）若点为矩形内动点，使得面，求线段的最小值；
（2）求证：面.
解：（1）连接，在正方形中，分别为，的中点，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为面面CPN，所以面，
在中，因为分别为，的中点，所以，
因为面，面，所以面，
因为，面，面，所以面面，
所以当，面，此时面，
所以当时，最小，
在中，，
所以的最小值为.
（2）在正方形中，，设，则为中点，
连接、，
因为分别为，的中点，所以且，
又因为为中点，且，所以且，
又因为面，所以四边形为矩形，所以，
又，，面，面，
所以面，所以面，
又面，所以，
又，面，面，
所以面.