2023-2024学年吉林省吉林八校高一下学期7月期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年吉林省吉林八校高一下学期7月期末考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足zi=1−2i，则z=( )
A. 2+iB. −2+iC. −2−iD. 2−i
2.已知某校有3000名男学生，2400名女学生，为了了解该校学生的体重情况，按男､女分层抽样的方法随机抽取180名学生进行调查，则被抽取到的女学生人数是( )
A. 60B. 80C. 100D. 120
3.已知向量a=−2,m+1,b=1,3，且a//b，则m=( )
A. −5B. 5C. −7D. 7
4.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，C1D1的中点，则异面直线EF与B1C所成角的余弦值是( )
A. 33B. 63C. 36D. 66
5.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是( )
A. 若m⊥α，m⊥n，则n//αB. 若m//α，m//β，则α//β
C. 若m//α，m⊥n，则n⊥αD. 若m⊥α，m//β，则α⊥β
6.在平静的湖面上，小船甲从A处沿北偏西15∘的方向匀速行驶，同时，在A的正东方向，且相距20 2千米的B处，小船乙沿北偏西60∘的方向行驶，经过2小时后，这两艘小船在C处相遇，则小船甲的速度是( )
A. 5 2千米/时B. 5 3千米/时C. 10千米/时D. 20千米/时
7.在边长为2的正△ABC中，AE=λAB,λ∈0,1,AF=μAC,μ∈0,1，点D在线段BC上，DE⋅AB=0,DF//AB，则BE+|DF|2的最小值为( )
A. 1516B. 1916C. 2516D. 5516
8.某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则m−n=( )
A. 10B. 5 3C. 5 2D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=1+i,z为z的共轭复数，若z0=zz，下列结论正确的是( )
A. z0在复平面内对应的点位于x轴上B. z0的实部为0
C. z0的虚部为−1D. z0=1
10.已知a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. a+2c，a+2b，b−cB. a+2b，a−b，b−c
C. a−b，a+c，b−cD. a+b，a+b+c，b+c
11.如图，点P在正方体ABCD−A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论，其中正确的结论的是( )
A. 三棱锥A−D1PC的体积不变B. A1P//平面ACD1
C. DP⊥BC1D. 平面PDB1⊥平面ACD1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l的方向向是为a=2,−1,1，平面α的一个法向量为b=−1,2,1，则直线l与平面α所成的角是 ．
13.在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该园台形容器的上底面圆的直径是1.2米，下底面圆的直径是2.4米，母线长为1米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是 立方米．
14.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=4，4sinB= 3bcsA，AD是内角A的角平分线，▵ABC和▵ABD的面积分别是S1，S2，且S1=3S2，则S1= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某水产养殖户对其养殖的一批鱼的重量(单位：kg)进行统计，所得数据都在1,4内，按1,1.5,1.5,2，2,2.5,2.5,3，3,3.5,3.5,4分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值；
(2)估计该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数；
(3)若这批鱼有1000条，估计这批鱼中重量在1.5,2.5内
数量．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=PC，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点．
(1)证明：PB//平面ACE．
(2)证明：平面PBD⊥平面ACE．
17.(本小题15分)
记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知C=2A,c=43a．
(1)求csA；
(2)若a=3，求▵ABC的周长．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AD=2AB=2BC=4,BC//AD，E,F分别是棱AD,AP的中点，PA=PD=2 2，平面PAD⊥平面ABCD．
(1)证明：AC⊥平面PBE．
(2)求二面角P−BF−E的正弦值．
19.(本小题17分)
在复数域中，对于正整数n满足zn=1的所有复数ωk=cs2kπn+isin2kπnk∈Z称为单位根，其中满足对任意小于n的正整数m，都有zm≠1，则称这种复数为n次的本原单位根，例如当n=4时，存在四个4次单位根±1,±i，因为11=1,(−1)2=1，因此只有两个4次本原单位根±i．
(1)直接写出复数z的3次单位根，并指出那些是复数z的3次本原单位根(无需证明)．
(2)①若ωk是复数z的8次本原单位根，证明：1+ωk+ωk2+⋯+ωk7=0．
②若ωk是复数z的n次本原单位根，证明：1+ωk+ωk2+ωk3+⋯+ωkn−1=0．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.C
5.D
6.C
7.A
8.A
9.BCD
10.BCD
11.ABD
12.π6
π
14.8 33 或83 3
15.解：(1)由频率分布直方图可得0.1+2a+0.6+0.5+0.4×0.5=1，
解得a=0.2；
(2)设该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为m，
因为0.1+0.2+0.6×0.5=0.45<0.5，0.45+0.5×0.5=0.7>0.5，
所以m∈2.5,3,
则0.45+m−2.5×0.5=0.5，解得m=2.6，
即该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为2.6kg；
(3)由频率分布直方图可知这批鱼中重量在1.5,2.5内的频率是0.2+0.6×0.5=0.4，
则这批鱼中重量在1.5,2.5内的数量是1000×0.4=400条.

16.解：(1)记AC∩BD=O，连接OE．
因为四边形ABCD是正方形，所以O是BD的中点．
因为E是PD的中点，所以OE//PB．
因为OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB//平面ACE．

(2)连接OP．
因为四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点．
因为PA=PC，所以OP⊥AC．
因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
因为OP,BD⊂平面PBD，且OP∩BD=O，所以AC⊥平面PBD．
因为AC⊂平面ACE，所以平面PBD⊥平面ACE．

17.解：(1)因为C=2A，所以sinC=2sinAcsA．
又c=43a，所以sinC=43sinA，则2sinAcsA=43sinA，
因为sinA>0，所以csA=23．
(2)因为a=3，所以c=43a=4．
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，得9=b2+16−8b×23．
整理得3b2−16b+21=0，解得b=73或b=3．
因csA=23∈12, 22，则A∈π4,π3⇒C=2A∈π2,2π3⇒csC<0．
当b=3时，csC=32+32−422×3×3>0，不合题意排除；
当b=73时，csC=32+7322−422×3×3<0，满足题意．
则b=73，▵ABC的周长为73+3+4=283．

18.解：(1)连接CE．
因为E是AD的中点，所以AD=2AE．
因为AD=2AB=2BC=4,BC//AD，所以四边形ABCE是菱形，
则BE⊥AC．
因为PA=PD,E是AD的中点，所以PE⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD,PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD．
因为AC⊂平面ABCD，所以PE⊥AC．
因为BE,PE⊂平面PBE，且BE∩PE=E，所以AC⊥平面PBE．
(2)取BC的中点H，连接EH，易证EH,ED,EP两两垂直，
故以E为原点，以EH,ED，EP的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题中数据可得B 3,−1,0,E0,0,0,F0,−1,1,P0,0,2，
则BF=− 3,0,1,BE=− 3,1,0,PF=0,−1,−1．
设平面PBF的法向量为n=x1,y1,z1，
则n⋅BF=− 3x1+z1=0,n⋅PF=−y1−z1=0,令x1=1，得n=1,− 3, 3．
设平面BEF的法向量为m=x2,y2,z2，
则m⋅BF=− 3x2+z2=0,m⋅BE=− 3x2+y2=0,令x2=1，得m=1, 3, 3．
设二面角P−BF−E为θ，则csθ=csn,m=n⋅mnm=17，
故sinθ= 1−cs2θ=4 37，即二面角P−BF−E的正弦值为4 37．

19.解：(1)由题意可得zn=1的解为z=cs2kπ3+isin2kπ3k=0,1,2，
则复数z的3次单位根为1,−12+ 32i,−12− 32i，
由于因为11=1，−12+ 32i,−12− 32i的一次方以及2次方均不等于1，
故复数z的3次本原单位根为−12+ 32i,−12− 32i．
(2)证明：①因为ωk是复数z的8次本原单位根，所以ωkm≠1(m<8),ωk8=1．
因为ωk8=ωk42=1，所以ωk4=−1，
所以ωk+ωk5=ωk1+ωk4=0,ωk2+ωk6=ωk21+ωk4=0,ωk3+ωk7=ωk31+ωk4=0，
则1+ωk+ωk2+⋯+ωk7=0．
②因为ωk是复数z的n次本原单位根，所以ωkm≠1(m设S=1+ωk+ωk2+ωk3+⋯+ωkn−1，则ωkS=ωk+ωk2+ωk3+⋯+ωkn−1+ωkn．
因为ωkn=1，所以S=ωkn+ωk+ωk2+ωk3+⋯+ωkn−1，所以ωkS=S，
所以ωk−1S=0．
因为ωkm≠1(m则S=0，即1+ωk+ωk2+ωk3+⋯+ωkn−1=0．