2023-2024学年内蒙古自治区通辽市第一中学高二下学期期末考试数学试题（含答案）

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这是一份2023-2024学年内蒙古自治区通辽市第一中学高二下学期期末考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=xx<1,B=xx2−3x<0，则A∩B=( )
A. x0C. {xx<1或x>3}D. xx<3
2.设甲：x>1，乙：x>1，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3.若命题“∃x0∈R，x02−2x0+m<0”为假命题，则实数m的取值范围是( )
A. −∞,1B. 1,+∞C. −∞,1D. 1,+∞
4.若函数y=f(x)的定义域是0,2023，则函数g(x)=f(x+1)x−2的定义域是( )
A. [−1,2022]B. [−1,2)∪(2,2022]
C. [1,2)∪(2,2024]D. (1,2024]
5.设函数f(x)=x2−4x+6,x≥0x+6,x<0则不等式f(x)>f(1)的解集是( )．
A. (−3,1)∪(3,+∞)B. (−3,1)∪(2,+∞)
C. (−1,1)∪(3,+∞)D. (−∞,−3)∪(1,3)
6.随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高.据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99.则一列车能正点到达该车站的概率为( )
A. 0.9825B. 0.9833C. 0.9867D. 0.9875
7.设函数fx的定义域为R，fx−1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈−1,2时，fx=ax2+b.若f1=0，f−4+f3=−3，则f152=( )
A. −54B. 54C. −34D. 34
8.已知定义在R上函数fx的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R,f−x=fx；②∀x1,x2∈0,+∞，当x1≠x2时，都有fx2−fx1x2−x1>0；③f−1=0.则下列选项不成立的是( )
A. f3C. 若fxx>0，则x∈−1,0∪1,+∞ D. ∀x∈R,∃M∈R，使得fx≥M
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a,b,c,d均为非零实数，则下列一定正确的有( )
A. a2+b2≥(a+b)22B. a+1a≥2
C. 若0>1a>1b，则abd
10.现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有( )
A. 没有空盒子的方法共有24种
B. 可以有空盒子的方法共有256种
C. 恰有1个盒子不放球的方法共有288种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种
11.牛顿(1643−1727)在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种数值解法——牛顿法，用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为x1的点处作f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2；用x2代替x1重复上面的过程得到x3；一直下去，得到数列xn，叫作牛顿数列.若函数f(x)=x2−x−6,an=lnxn+2xn−3且a1=1,xn>3，数列an的前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. xn+1=xn−fxnf′xnB. 数列an是递减数列
C. 数列an是等比数列D. S2024=22023−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a2= ．
13.面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：x=72，y=71，i=16xi2=79，i=16xiyi=1481.则销量每增加1000箱，单位成本下降元(结果保留5位有效数字)．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx．
14.若函数fx=lg2024 x2+1−x+1，则关于x的不等式f2x−1+f3x2>2的解集是．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x2,g(x)=ex．
(1)求函数y=f(x)+g(x)在x=0处的切线方程；
(2)求函数y=f(x)g(x)的单调区间和极值．
16.(本小题15分)
在中国的传统医学中，食物和药物一直被认为是相辅相成的.中医食疗是一门利用食物来调理身体和治疗疾病的科学，它将中草药的药效引入食物中，达到治病的目的.为了研究姜汤对治疗感冒是否更有效，进行了临床试验，得到如下数据：抽到服用姜汤的患者40名，其中30名痊愈，10名未痊愈;抽到服用白开水的患者60名，其中35名痊愈，25名未痊愈．
(1)根据上述信息完成下列2×2列联表;
(2)依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为姜汤对治疗感冒更有效果?并解释得到的结论．
附：参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
17.(本小题15分)
“摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则是：第一次在装有红色、白色球各两个共4个球的A袋中随机取出2个球；第二次在装有红色、白色、黑色球各一个共3个球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表：
(1)求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
(2)设一次摸奖中所获得的积分为X，求X的数学期望EX；
(3)某人摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率．
18.(本小题17分)
对于数列an，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称an为P数列．
(1)若an的前n项和Sn=3n+2，试判断an是否是P数列，并说明理由；
(2)设数列a1,a2,⋯,a20是首项为−1公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；
19.(本小题17分)
曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线C:y=fx具有连续转动的切线，在点x,fx处的曲率K=f′′x1+f′x232，其中f′x为fx的导函数，f′′x为f′x的导函数，已知fx=x2lnx−a3x3−32x2．
(1)a=0时，求fx在极值点处的曲率；
(2)a>0时，f′x是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；
(3)gx=2xex−4ex+a2x2，a∈0,1e，当fx，gx曲率均为0时，自变量最小值分别为x1，x2，求证：x1ex2>e2．
参考答案
1.A
2.A
3.D
4.B
5.A
6.A
7.A
8.B
9.ACD
10.AB
11.AC
12.40

14.−1,13
15.解：(1)函数y=ex+x2，导函数y′=ex+2x，
所以在x=0处的切线的斜率为k=e0+0=1，
切点的纵坐标为e0+0=1，所以切点为0,1，
所以切线方程为y−1=x+0，即y=x+1；
(2)函数y=x2ex，导函数y′=x2−xex，
由y′>0得02，
所以y=x2ex单调递增区间为0,2，单调递减区间为−∞,0,2,+∞．
所以y=x2ex极大值为f2g2=4e2，极小值为f0g0=0．

16.解：(1)根据题意得2×2列联表;
(2)零假设为H0:疗法和疗效独立，即两种疗法效果没有差异.根据列联表中的数据，
经计算得到χ2=100(30×25−10×35)240×60×65×35≈2.93>2.706=x0.1，
根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，
我们推断H0不成立，即认为姜汤对治疗感冒更有效果，此推断犯错误的概率不大于0.1．
17.解：(1)一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率：P=C22C42×C21C31+C21C21C42×C11C31=13．
(2)由题意得，X的可能取值为100，80，60，0．
P(X=100)=C22C42×C11C31=118，P(X=80)=C21C21C42×C11C31=418=29，
P(X=60)=C22C42×C21C31+C21C21C42×C11C31=618=13，P(X=0)=1−P(X=100)−P(X=80)−P(X=60)=718．
所以X的分布列为：
则X的数学期望为：E(X)=100×118+80×29+60×13+0×718=1303．
(3)由二项分布的定义知，三次摸奖中获得积分为60的次数Y～B(3,13)，则P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=C32(13)2(23)+C33(13)3=727，
故所求概率为727．

18.解：(1)因为Sn=3n+2,an=Sn−Sn−1=2⋅3n−1(n≥2)
当n=1时，a1=S1=5，故an=5,n=12⋅3n−1,n≥2，
那么当k∈N∗时，ak+1−Sk=2⋅3k−3k−2>0符合题意，故数列an是P数列；
(2)由题意知，该数列的前n项和为，Sn=−n+n(n−1)2d,an+1=−1+nd，
由数列a1,a2,⋯,a20是P数列，可知a2>S1=a1，故公差d>0，
Sn−an+1=d2n2−(1+32d)n+1<0对满足n=1,2,⋯,19,n∈N∗任意n都成立，
则n=1时，−d<0，明显成立；n=19时，令d2×192−(1+32d)×19+1<0，解得d<976，
故d的取值范围为0
19.解：(1)当a=0时，fx=x2lnx−32x2,x>0，可得f′x=2xlnx+x−3x=2x(lnx−1)，
令f′x=0，可得x=e，当0e时，f′x>0，
所以当x=e为fx在极小值点，又f′′x=2lnx，所以f′′e=2lne=2，
所以K=f′′e1+f′e232=2[1+02]32=2；
(2)由fx=x2lnx−a3x3−32x2，可得f′x=2xlnx+x−ax2−3x=2xlnx−2x−ax2，
令ℎ(x)=f′x=2xlnx+x−ax2−3x=2xlnx−2x−ax2，则ℎ′x=2lnx−2ax，
令ℎ′x=0时，可得a=lnxx，令φ(x)=lnxx，可得φ′(x)=1−lnxx2，
当00，φ(x)=lnxx单调递增，
当x>e时，φ′x<0，φ(x)=lnxx单调递减，则φ(x)max=1e，
所以0x1为f′x的极小值点，x3为f′x的极大值点，
当a=1e时，f′′x=2lnx−2ax=0有解，且有唯一解，但此解不是f′x极值点，
当a>1e时，f′′x=2lnx−2ax=0无解，所以f′x无极值点，
所以当0所以K=f′′x1+f′x232=0；
(3)由题意可得gx=2xex−4ex+a2x2，可得g′x=2(x+1)ex−4ex+2ax，
要gx，fx曲率为0，则g′′x=f′′(x)=0，即2lnx−2ax=2a+2xex=0，
可得a=lnxx，a2=−xex，
所以0e2，
由(2)可得lnx1−ax1=0，lnx3−ax3=0，
可得lnx1+lnx3=ax1+ax3，lnx1−lnx3=ax1−ax3．
要证明x1x3>e2，即证明lnx1+lnx3>2，也就是a(x1+x3)>2．
因为a=lnx1−lnx3x1−x3，所以即证明lnx1−lnx3x1−x3>2x1+x3，
即lnx1x3<2(x1−x3)x1+x3，令x1x3=t，则0令f(t)=lnt−2(t−1)t+1，则f′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2(t+1)2>0，
故函数f′(t)在(0,1)上是增函数，
所以f(t)e2成立．
又因为a2由(2)可得φ(x)=lnxx在(e,+∞)上单调递减，
因为e−x2>e，x3>e，所以x1ex2=x1e−x2>x1x3>e2，
疗法
疗效
合计
痊愈
未痊愈
服用姜汤
服用白开水
合计
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
所取球的情况
三球均为红色
三球均不同色
恰有两球为红色
其他情况
所获得的积分
100
80
60
0
疗法
疗效
合计
痊愈
未痊愈
服用姜汤
30
10
40
服用白开水
35
25
60
合计
65
35
100
X
100
80
60
0
P
118
29
13
718