2023-2024学年安徽省六安市皖西中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年安徽省六安市皖西中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数z=|1+ 3i|1+i的虚部为( )
A. 1B. −1C. iD. −i
2.已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立.若甲、乙各罚球一次，则至少有一人命中的概率为( )
A. 0.26B. 0.28C. 0.72D. 0.98
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a= 6，c=3，csA=23，则b=( )
A. 3B. 1C. 1或3D. 无解
4.已知两不同直线m，n与三不同平面α，β，γ，下列条件能推出α//β的是( )
A. α⊥γ且β⊥γB. m⊂α，n⊂β，m//n
C. m⊥α 且m⊥βD. m⊂α，n⊂α，m//β，n//β
5.若D为△ABC的边AB的中点，则CB=( )
A. 2CD−CAB. 2CA−CDC. 2CD+CAD. 2CA+CD
6.已知向量a与b的夹角为120°，|a|=3，|a+b|= 13，则|b|=( )
A. 1B. 3C. 4D. 5
7.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A. 8B. 6 2C. 8 2D. 8 3
8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsA+acsB=3,2acs2A+B2= 3csinA，则( )
A. C=π3 B. △ABC的外接圆半径为2 3
C. △ABC的面积的最大值为9 34 D. △ABC的周长的取值范围是(6,3+2 3]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组样本数据：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10.关于这组样本数据，结论正确的是( )
A. 平均数为8B. 众数为7C. 极差为6D. 中位数为8
10.湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点.某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点P，Q之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点M，N，测得MN=380 5米，∠PMQ=3π4，∠QMN=∠PNM=π12,∠PNQ=2π3，则( )
A. MQ=380 10米B. PM=380 5米
C. PN=380 10米D. PQ=1900米
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线D1D与AF所成角的余弦值为13
B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 点C与点G到平面AEF的距离相等
D. 平面AEF截正方体所得大小两部分的体积比为177
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE⋅BD=________．
13.若一组数据x1，x2，⋯，xn的方差为1，则数据2x1+4，2x2+4，⋯，2xn+4的标准差为______．
14.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=6，AB=8，则鳖臑A1CBC1外接球的表面积为 ，阳马A1−BCC1B1体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,3)，b=(−2,3)，c=(−2,m)．
(1)若a⊥(b+c)，求|c|；
(2)若ka+b与2a−b共线，求k的值．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，点E、F分别为A1C1、BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F//平面ABE；
(3)求三棱锥E−ABC的体积．
17.(本小题15分)
某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求图中a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)从成绩在第四、五组的志愿者中，按比例分配的分层抽样方法随机抽取5人，再从这5人中选出两人，求选出的两人成绩来自同一组的概率．
18.(本小题17分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a23sinA．
(1)求sinBsinC；
(2)若6csBcsC=1，a=3，求△ABC的周长．
19.(本小题17分)
如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2 2．
(1)求A到平面A1BC的距离；
(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A−BD−C的大小．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.C
5.A
6.C
7.C
8.D
9.BC
10.ABD
11.ABD
12.2
13.2
14.100π
64

15.解：(1)∵向量a=(1,3)，b=(−2,3)，c=(−2,m)，
∴b+c=(−4,3+m)，
∵a⊥(b+c)，
∴a⋅(b+c)=−4+3(3+m)=0，
解得m=−53，
∴c=(−2,−53)，
∴|c|= (−2)2+(−53)2= 613；
(2)∵向量a=(1,3)，b=(−2,3)，c=(−2,m)，
∴ka+b=(k−2,3k+3)，2a−b=(4,3)，
∵ka+b与2a−b共线，
∴3(k−2)−4(3k+3)=0，
解得k=−2．
16.(1)证明：∵三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，
∴BB1⊥平面ABC，
又∵AB⊂平面ABC，∴BB1⊥AB，
又∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1、BC⊂平面B1BCC1，
∴AB⊥平面B1BCC1，
又∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)证明：取线段AB的中点G，连接EG、FG，
又∵点F是BC的中点，∴FG/​/AC，且FG=12AC，
∵点E是A1C1的中点，∴EC1/​/AC，且EC1=12A1C1=12AC，
∴FG/​/EC1，且FG=EC1，
∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F//EG，
又∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F/​/平面ABE；
(3)解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AB= AC2−BC2= 3，
∴三棱锥E−ABC的体积VE−ABC=13S△ABC·AA1=13×(12× 3×1)×2= 33．
17.解：(1)∵第三、四、五组的频率之和为0.7，
∴(0.045+0.020+a)×10=0.7，解得a=0.005，
∴前两组的频率之和为1−0.7=0.3，即(a+b)×10=0.3，解得b=0.025．
(2)前三组频率之和为0.75，∴第80百分位数位于[75,85)组内，
且75+0.8−0.750.2×10=77.5，即估计第80百分位数为77.5；
估计平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5．
(3)成绩在第四、五两组志愿者分别有20人、5人，
按比例分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为A，B，C，D，
第五组志愿者人数为1，设为E，
这5人选出2人，所有情况有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(B,C)，
(B,D)，(B,E)，(C,D)，(C,E)，(D,E)，共10种，
其中选出的两人来自同一组的有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(B,C)，(B,D)，(C,D)，共6种，
∴选出的两人来自同一组的概率为610=35．
18.解 ：(1)因为△ABC面积S=a23sinA，且S=12bcsinA，
所以a23sinA=12bcsinA，所以a2=32bcsin2A．
由正弦定理得sin2A=32sinBsinCsin2A，
因为sinA≠0，所以sinBsinC=23．
(2)由(1)得sinBsinC=23，csBcsC=16．
因为A+B+C=π，所以csA=cs(π−B−C)=−cs(B+C)=sinBsinC−csBcsC=12，
又A∈(0,π)，所以A=π3，sinA= 32，csA=12，
由余弦定理得a2=b2+c2−bc=9， ①
由正弦定理得b=asinA⋅sinB，c=asinA⋅sinC，
所以bc=a2sin2A⋅sinBsinC=8， ②
由①②得：b+c= 33，
所以a+b+c=3+ 33，即△ABC周长为3+ 33．

19.解：(1)由直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，可得VA1−ABC=13VA1B1C1−ABC=43，
设A到平面A1BC的距离为d，由VA1−ABC=VA−A1BC，
∴13S△A1BC⋅d=43，∴13×2 2⋅d=43，解得d= 2．
(2)连接AB1交A1B于点E，∵AA1=AB，∴四边形ABB1A1为正方形，
∴AB1⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B，
∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，
由直三棱柱ABC−A1B1C1知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB1=B1，
∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB，
以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AA1=AB，∴BC× 2AB×12=2 2，又12AB×BC×AA1=4，解得AB=BC=AA1=2，
则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，A1(0,2,2)，D(1,1,1)，
则BA=(0,2,0)，BD=(1,1,1)，BC=(2,0,0)，
设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BA=2y=0n⋅BD=x+y+z=0，令x=1，则y=0，z=−1，
∴平面ABD的一个法向量为n=(1,0,−1)，
设平面BCD的一个法向量为m=(a,b,c)，
m⋅BC=2a=0m⋅BD=a+b+c=0，令b=1，则a=0，c=−1，
平面BCD的一个法向量为m=(0,1,−1)，
cs=1 2⋅ 2=12，
由图可知二面角A−BD−C的平面角为钝角，二面角A−BD−C的大小为2π3．