还剩5页未读，
继续阅读
2023-2024学年吉林省长春市五校高二下学期期末联考数学试卷（含答案）
展开
这是一份2023-2024学年吉林省长春市五校高二下学期期末联考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x(x−3)<0}，B={x|0A. {x|−32.“a>b≥0”是“b+1a+1>ba”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3.小明和小红两名高考生高考完之后计划暑假假期分别从北戴河，白石山，金山岭长城，承德避暑山庄，邯郸七步沟五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有( )
A. 36种B. 60种C. 64种D. 82种
4.函数f(x)=ex+2sinx1+x2在x=0处的切线斜率为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知随机事件A，B满足P(A)=23，P(B)=35，P(A|B)=13，则P(B|A)=( )
A. 35B. 310C. 25D. 15
6.已知离散型随机变量X的分布列为
且Y=12X+2，则D(Y)=( )
A. 1B. 518C. 59D. 536
7.对于数据组(xi,yi)(i=1,2,⋯,n)，如果由线性回归方程得到的自变量xi的估计值是yi，那么将yi−yi称为样本点(xi,yi)处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到下表所示数据.若某商品销量y(单位：件)与单价x(单位：元)之间的线性回归方程为y=−20x+a，且样本点(8.4,82)处的残差为2，则m=( )
A. 66B. 68C. 70D. 72
8.若等式4b=(b+1b)2(b>1)成立，则b的取值范围为( )
A. (2,4)B. (1,2)C. (4,5)D. (5,6)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则( )
A. 没有空盒子的方法共有36种
B. 可以有空盒子的方法共有256种
C. 恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种
10.某学校高三年级共有900人，其中男生500人，现采用按性别比例分配的分层抽样抽取了容量为90的样本.经计算得男生样本的身高平均数为170，方差为19，女生样本的身高平均数为161，方差为19，则( )
A. 男生的样本容量为50
B. 女生甲被抽到的概率为19
C. 估计该校高三年级学生身高的平均数为156
D. 估计该校高三年级学生身高的方差为39
11.已知f(x)=elnxx+xelnx+x−k(k∈R)有三个不相等的零点x1，x2，x3且x1A. 1B. 43C. 54D. 32
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(x+1)n的二项展开式中，若各项系数和为32，则n= ．
13.已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投篮一次(三人投篮互不影响)，则恰有一人命中的概率为 ．
14.若存在x>1，使2ax3−3ax2−2bx+b=0(a≠0)成立，则ba的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
用二项式定理展开(2x+1 x)12．
(1)求展开式中x6的系数(用组合数表示即可，不用化简出最终答案);
(2)求展开式中系数最大的项的二项式系数．
16.(本小题15分)
近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间;现调查某高中生(包含基础年级学生与毕业班学生，其中两个学段的人数均为200人)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：
(1)补充2×2列联表，并依据小概率值α=0.01的独立性检验，判断能否认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联;
(2)以频率估计概率，若在该校所有高中生中随机抽取4人，记“喜欢增加体育运动时间”的人数为X，求X的分布列．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=a(x2−ln x)．
(1)若a≠0，讨论f(x)的单调性；
(2)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+y−2=0垂直，证明：f(x)≥x．
18.(本小题17分)
将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到的每个区域的某种水源指标xi和区域内该植物分布的数量yi(i=1,2,⋯,15)，得到数组(xi,yi).已知i=115(xi−x)2=45，i=115(yi−y)2=8000，i=115(xi−x)(yi−y)=480．
(1)求样本(xi,yi)(i=1,2,⋯,15)的样本相关系数;
(2)假设该植物的寿命为随机变量X(X可取任意正整数)，研究人员统计大量数据后发现，对于任意的k∈N∗，寿命为k+1的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均为0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.用含k的式子表示P(X= k)(k∈N∗)，并求P(X=2024)的值．
附：样本相关系数r=i=1nxiyi−nx y i=1nxi2−nx2 i=1nyi2−ny2;当k足够大时，k×0.9k≈0.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx2−x+2(1−x)+b(x−1)3．
(1)若b=0，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)∀x∈(1,2)，f(x)>0，求b的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.C
5.B
6.D
7.B
8.A
9.BCD
10.AD
11.BC
12.5
14.−1,+∞
15.解：(1)展开式的通项公式为Tr+1=C12r⋅(2x)12−r⋅(1 x)r=C12r⋅212−r⋅x12−32r．
令12−3r2=6，解得r=4，则展开式中x6的系数为C124⋅28=256C124;
(2)设第r+1项的系数最大，则C12r⋅212−r⩾C12r+1⋅211−rC12r⋅212−r⩾C12r−1·213−r,
解得103≤r≤133，由于r为整数，所以r=4，所以展开式中系数最大的项二项式系数为C124=495．
16.解：(1)完善2×2列联表如下：
零假设H0:不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，
则χ2=400×(160×60−140×40)2200×200×300×100=163≈5.333<6.635，
故依据α=0.01的独立性检验，没有充足证据推断H0不成立，
因此可以认为H0成立，即不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联．
(2)喜欢增加体育运动时间的人数有300人，
故喜欢增加体育运动时间的概率为34，依题意，X∼B(4,34)，
P(X=0)=(14)4=1256，
P(X=1)=C41(14)3×(34)=12256=364，
P(X=2)=C42(14)2×(34)2=54256=27128，
P(X=3)=C43(14)×(34)3=108256=2764，
P(X=4)=(34)4=81256，
故X的分布列为：
17.(1)解：依题意，x∈(0,+∞)，
f′(x)=a(2x−1x)
=a⋅( 2x+1)( 2x−1)x，
令f′(x)=0，解得x= 22，
若a>0，则当x∈(0, 22)时，f′(x)<0，当x∈( 22,+∞)时，f′(x)>0，
则f(x)在(0, 22)上单调递减，在( 22,+∞)上单调递增;
若a<0，则当x∈(0, 22)时，f′(x)>0，当x∈( 22,+∞)时，f′(x)<0，
则f(x)在(0, 22)上单调递增，在( 22,+∞)上单调递减，
综上所述，若a>0，f(x)在(0, 22)上单调递减，在( 22,+∞)上单调递增;
若a<0，f(x)在(0, 22)上单调递增，在( 22,+∞)上单调递减；
(2)证明：由(1)可知，f′(1)=a，
而f′(1)⋅(−1)=−1，解得a=1．
令ℎ(x)=f(x)−x=x2−lnx−x，x∈(0,+∞)，
故ℎ′(x)=2x−1x−1
=2x2−x−1x=(2x+1)(x−1)x，
则当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
故ℎ(x)min=ℎ(1)=0，即ℎ(x)≥0，故f(x)≥x.
18.解：(1)由i=115(xi−x)2=45，i=115(yi−y)2=8000，
i=115(xi−x)(yi−y)=480，
得相关系数r=i=115(xi−x)(yi−y) i=115(xi−x)2i=115(yi−y)2=480 45×8000=0.8．
(2)依题意，P(X=1)=P(X=k+1|X>k)=0.1，
又P(X=k+1|X>k)=P(X=k+1)P(X>k)，则P(X=k+1)=0.1P(X>k)，
当k≥2时，把k换成k−1，则P(X=k)=0.1P(X>k−1)，
两式相减，得P(X=k)−P(X=k+1)=0.1P(X=k)，即P(X=k+1)P(X=k)=0.9(k≥2)，
P(X=2)=0.1P(X>1)=0.1×(1−P(X=1))=0.9P(X=1)，
于是P(X=k+1)P(X=k)=0.9对任意k∈N∗都成立，
从而{P(X=k)}是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，
所以P(X=k)=0.1×0.9k−1，
所以P(X=2024)=0.1×0.92023．
19.解：(1)b=0时，f(x)=lnx2−x+2−2x，x∈(0,2)，
f(1)=0，可得f′(x)=1x+12−x−2=2x(2−x)−2，x∈(0,2)，f′(1)=0，
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=0；
(2)设t=x−1∈(0,1)，由题意可转化为lnt+11−t−2t+bt3>0在(0,1)上恒成立，
设g(t)=lnt+11−t−2t+bt3，t∈(0,1)，则g′(t)=21−t2−2+3bt2=t2(−3bt2+2+3b)1−t2，
当b≥0，−3bt2+2+3b≥−3b+2+3b=2>0，故g′(t)>0恒成立，故g(t)在(0.1)上为增函数，
故g(t)>g(0)=0，即f(x)>0在(1,2)上恒成立．
当−23≤b<0时，−3bt2+2+3b>2+3b≥0，故g′(t)>0恒成立，故g(t)在(0,1)上为增函数，
故g(t)>g(0)=0，即f(x)>0在(1,2)上恒成立，
当b<−23，则当0故g(t)综上，b≥−23． X
−1
0
1
P
12
13
16
单价x/元
8.2
8.4
8.6
8.8
销量y/件
84
82
78
m
喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
合计
基础年级学生
160
毕业班学生
60
合计
α
0.05
0.01
0.005
xα
3.841
6.635
7.879
喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
合计
基础年级学生
160
40
200
毕业班学生
140
60
200
合计
300
100
400
X
0
1
2
3
4
P
1256
364
27128
2764
81256
1.已知集合A={x|x(x−3)<0}，B={x|0
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3.小明和小红两名高考生高考完之后计划暑假假期分别从北戴河，白石山，金山岭长城，承德避暑山庄，邯郸七步沟五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有( )
A. 36种B. 60种C. 64种D. 82种
4.函数f(x)=ex+2sinx1+x2在x=0处的切线斜率为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知随机事件A，B满足P(A)=23，P(B)=35，P(A|B)=13，则P(B|A)=( )
A. 35B. 310C. 25D. 15
6.已知离散型随机变量X的分布列为
且Y=12X+2，则D(Y)=( )
A. 1B. 518C. 59D. 536
7.对于数据组(xi,yi)(i=1,2,⋯,n)，如果由线性回归方程得到的自变量xi的估计值是yi，那么将yi−yi称为样本点(xi,yi)处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到下表所示数据.若某商品销量y(单位：件)与单价x(单位：元)之间的线性回归方程为y=−20x+a，且样本点(8.4,82)处的残差为2，则m=( )
A. 66B. 68C. 70D. 72
8.若等式4b=(b+1b)2(b>1)成立，则b的取值范围为( )
A. (2,4)B. (1,2)C. (4,5)D. (5,6)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则( )
A. 没有空盒子的方法共有36种
B. 可以有空盒子的方法共有256种
C. 恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种
10.某学校高三年级共有900人，其中男生500人，现采用按性别比例分配的分层抽样抽取了容量为90的样本.经计算得男生样本的身高平均数为170，方差为19，女生样本的身高平均数为161，方差为19，则( )
A. 男生的样本容量为50
B. 女生甲被抽到的概率为19
C. 估计该校高三年级学生身高的平均数为156
D. 估计该校高三年级学生身高的方差为39
11.已知f(x)=elnxx+xelnx+x−k(k∈R)有三个不相等的零点x1，x2，x3且x1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(x+1)n的二项展开式中，若各项系数和为32，则n= ．
13.已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投篮一次(三人投篮互不影响)，则恰有一人命中的概率为 ．
14.若存在x>1，使2ax3−3ax2−2bx+b=0(a≠0)成立，则ba的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
用二项式定理展开(2x+1 x)12．
(1)求展开式中x6的系数(用组合数表示即可，不用化简出最终答案);
(2)求展开式中系数最大的项的二项式系数．
16.(本小题15分)
近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间;现调查某高中生(包含基础年级学生与毕业班学生，其中两个学段的人数均为200人)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：
(1)补充2×2列联表，并依据小概率值α=0.01的独立性检验，判断能否认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联;
(2)以频率估计概率，若在该校所有高中生中随机抽取4人，记“喜欢增加体育运动时间”的人数为X，求X的分布列．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=a(x2−ln x)．
(1)若a≠0，讨论f(x)的单调性；
(2)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+y−2=0垂直，证明：f(x)≥x．
18.(本小题17分)
将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到的每个区域的某种水源指标xi和区域内该植物分布的数量yi(i=1,2,⋯,15)，得到数组(xi,yi).已知i=115(xi−x)2=45，i=115(yi−y)2=8000，i=115(xi−x)(yi−y)=480．
(1)求样本(xi,yi)(i=1,2,⋯,15)的样本相关系数;
(2)假设该植物的寿命为随机变量X(X可取任意正整数)，研究人员统计大量数据后发现，对于任意的k∈N∗，寿命为k+1的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均为0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.用含k的式子表示P(X= k)(k∈N∗)，并求P(X=2024)的值．
附：样本相关系数r=i=1nxiyi−nx y i=1nxi2−nx2 i=1nyi2−ny2;当k足够大时，k×0.9k≈0.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx2−x+2(1−x)+b(x−1)3．
(1)若b=0，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)∀x∈(1,2)，f(x)>0，求b的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.C
5.B
6.D
7.B
8.A
9.BCD
10.AD
11.BC
12.5
14.−1,+∞
15.解：(1)展开式的通项公式为Tr+1=C12r⋅(2x)12−r⋅(1 x)r=C12r⋅212−r⋅x12−32r．
令12−3r2=6，解得r=4，则展开式中x6的系数为C124⋅28=256C124;
(2)设第r+1项的系数最大，则C12r⋅212−r⩾C12r+1⋅211−rC12r⋅212−r⩾C12r−1·213−r,
解得103≤r≤133，由于r为整数，所以r=4，所以展开式中系数最大的项二项式系数为C124=495．
16.解：(1)完善2×2列联表如下：
零假设H0:不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，
则χ2=400×(160×60−140×40)2200×200×300×100=163≈5.333<6.635，
故依据α=0.01的独立性检验，没有充足证据推断H0不成立，
因此可以认为H0成立，即不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联．
(2)喜欢增加体育运动时间的人数有300人，
故喜欢增加体育运动时间的概率为34，依题意，X∼B(4,34)，
P(X=0)=(14)4=1256，
P(X=1)=C41(14)3×(34)=12256=364，
P(X=2)=C42(14)2×(34)2=54256=27128，
P(X=3)=C43(14)×(34)3=108256=2764，
P(X=4)=(34)4=81256，
故X的分布列为：
17.(1)解：依题意，x∈(0,+∞)，
f′(x)=a(2x−1x)
=a⋅( 2x+1)( 2x−1)x，
令f′(x)=0，解得x= 22，
若a>0，则当x∈(0, 22)时，f′(x)<0，当x∈( 22,+∞)时，f′(x)>0，
则f(x)在(0, 22)上单调递减，在( 22,+∞)上单调递增;
若a<0，则当x∈(0, 22)时，f′(x)>0，当x∈( 22,+∞)时，f′(x)<0，
则f(x)在(0, 22)上单调递增，在( 22,+∞)上单调递减，
综上所述，若a>0，f(x)在(0, 22)上单调递减，在( 22,+∞)上单调递增;
若a<0，f(x)在(0, 22)上单调递增，在( 22,+∞)上单调递减；
(2)证明：由(1)可知，f′(1)=a，
而f′(1)⋅(−1)=−1，解得a=1．
令ℎ(x)=f(x)−x=x2−lnx−x，x∈(0,+∞)，
故ℎ′(x)=2x−1x−1
=2x2−x−1x=(2x+1)(x−1)x，
则当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
故ℎ(x)min=ℎ(1)=0，即ℎ(x)≥0，故f(x)≥x.
18.解：(1)由i=115(xi−x)2=45，i=115(yi−y)2=8000，
i=115(xi−x)(yi−y)=480，
得相关系数r=i=115(xi−x)(yi−y) i=115(xi−x)2i=115(yi−y)2=480 45×8000=0.8．
(2)依题意，P(X=1)=P(X=k+1|X>k)=0.1，
又P(X=k+1|X>k)=P(X=k+1)P(X>k)，则P(X=k+1)=0.1P(X>k)，
当k≥2时，把k换成k−1，则P(X=k)=0.1P(X>k−1)，
两式相减，得P(X=k)−P(X=k+1)=0.1P(X=k)，即P(X=k+1)P(X=k)=0.9(k≥2)，
P(X=2)=0.1P(X>1)=0.1×(1−P(X=1))=0.9P(X=1)，
于是P(X=k+1)P(X=k)=0.9对任意k∈N∗都成立，
从而{P(X=k)}是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，
所以P(X=k)=0.1×0.9k−1，
所以P(X=2024)=0.1×0.92023．
19.解：(1)b=0时，f(x)=lnx2−x+2−2x，x∈(0,2)，
f(1)=0，可得f′(x)=1x+12−x−2=2x(2−x)−2，x∈(0,2)，f′(1)=0，
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=0；
(2)设t=x−1∈(0,1)，由题意可转化为lnt+11−t−2t+bt3>0在(0,1)上恒成立，
设g(t)=lnt+11−t−2t+bt3，t∈(0,1)，则g′(t)=21−t2−2+3bt2=t2(−3bt2+2+3b)1−t2，
当b≥0，−3bt2+2+3b≥−3b+2+3b=2>0，故g′(t)>0恒成立，故g(t)在(0.1)上为增函数，
故g(t)>g(0)=0，即f(x)>0在(1,2)上恒成立．
当−23≤b<0时，−3bt2+2+3b>2+3b≥0，故g′(t)>0恒成立，故g(t)在(0,1)上为增函数，
故g(t)>g(0)=0，即f(x)>0在(1,2)上恒成立，
当b<−23，则当0
−1
0
1
P
12
13
16
单价x/元
8.2
8.4
8.6
8.8
销量y/件
84
82
78
m
喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
合计
基础年级学生
160
毕业班学生
60
合计
α
0.05
0.01
0.005
xα
3.841
6.635
7.879
喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
合计
基础年级学生
160
40
200
毕业班学生
140
60
200
合计
300
100
400
X
0
1
2
3
4
P
1256
364
27128
2764
81256
相关试卷
2023-2024学年吉林省辽源市田家炳高中五校高二（下）期末数学试卷（含答案）： 这是一份2023-2024学年吉林省辽源市田家炳高中五校高二（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年吉林省长春市部分校高二下学期期末测试数学试卷（含答案）： 这是一份2023-2024学年吉林省长春市部分校高二下学期期末测试数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年吉林省长春市汽开三中高二（下）期末数学试卷（含答案）： 这是一份2023-2024学年吉林省长春市汽开三中高二（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
