2023-2024学年福建省福州市鼓楼区屏东中学八年级（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省福州市鼓楼区屏东中学八年级（下）期末数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.观察如图每组图形，是相似图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列四个等式中，y不是x的函数的是( )
A. y=x2B. y=xC. y2=xD. y=1x
3.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB//CD，AD//BCB. AB=AD，CB=CD
C. ∠A=∠C，∠B=∠DD. AB//CD，AB=CD
4.一次函数y=−12x+3图象经过点(a,2)，则a的值是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
5.如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，若△ABC的周长是10，则△AOE的周长为( )
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
6.函数y=ax−2与y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
7.某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支.若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是( )
A. x2=31B. (1+x)2=31
C. 1+x+x2=31D. 1+x+(1+x)2=31
8.南山区博物馆五位小讲解员的年龄分别为10，12，12，13，15(单位：岁)，则三年后这五位小讲解员的年龄数据中一定不会改变的是( )
A. 方差B. 众数C. 中位数D. 平均数
9.已知二次函数y=(x−1)2+2的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当−13时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是( )
A. y110.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边做等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法错误的是( )
A. ∠BCE=∠ACDB. △ACD∽△BCE
C. 四边形ABCD面积的最大值为12D. AD//BC
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.将正比例函数y=3x的图象沿y轴向上平移3个单位长度，所得直线对应的函数表达式为______．
12.两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们的周长比为______．
13.设m，n是方程x2+x−2024=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为______．
14.如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−2,p)，B(4,q)两点，则不等式ax2−mx+c≤n的解集是______．
15.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BAD=58°，则∠DHO的度数为______．
16.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，a+b+c=0.下列四个结论：
①若抛物线经过点(−5,0)，则4a+b=0；
②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2；
③若a>0，则方程ax2+bx+c=2一定有两个不相等的实数根；
④若A(x1,n)，B(x2,n)是抛物线上两点，当x=x1+x2时，则y=c．
其中正确的是______(填写序号)．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程：
(1)x2+4x−2=0；
(2)3x(x−1)=x−1．
18.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，邻边AD，CD上的高相等，即BE=BF.求证：四边形ABCD是菱形．
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD=1，BD=2，AC= 3，求证：∠ACD=∠ABC．
20.(本小题10分)
已知二次函数y=ax2+bx+c自变量x与函数y的部分对应值如下表：
(1)求二次函数解析式及顶点坐标．
(2)点P为抛物线上一点，抛物线与x轴交于A、B两点，若S△PAB=12，求出此时点P的坐标．
21.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是BC的中点．
(1)尺规作图：在AE上求作一点F，使△ABE∽△DFA；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，求DF的长．
22.(本小题10分)
4月23日是“世界读书日”，某中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放50份调查问卷，并全部收回.根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如表：
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)被调查的学生月阅读册数的中位数是______；
(2)求被调查的学生月平均阅读册数；
(3)若该中学有学生1000人，请估计四月份该校学生阅读课外书籍不少于3本的共有多少人？
23.(本小题10分)
某工厂生产A型产品，每件成本为20元，当A型产品的售价为x元时，销售量为y万件.要求每件A型产品的售价不低于20元且不高于30元.经市场调查发现，y与x之间满足一次函数关系，且当x=21时，y=38；x=25时，y=30．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若某次销售刚好获得192万元的利润，则每件A型产品的售价是多少元？
24.(本小题10分)
已知四边形ABCD中，AB=8，E，F分别是AD，DC边上的点，BE⊥AF交于点G．

(1)如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：AE=DF；
(2)如图2，若四边形ABCD是矩形，BC=10，BM平分∠ABC交AD于点M，交AF于点H.当E为AM的三等分点时，求HM的长．
(3)如图3，若AD=AB，BC=CD=6，∠ADC=90°.请直接写出BEAF的值．
25.(本小题10分)
在平面直角坐标系中xOy中，已知直线l：y=kx−12k与抛物线C：y=x2．
(1)当直线l与抛物线C只有一个公共点时，求k的值；
(2)若抛物线C向下平移t个单位后与直线l必有交点，求t的取值范围；
(3)设直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，其中点A在第二象限，过点A作x轴的垂线分别与抛物线y=−x2+k，直线OB交于点M，Q，求证：AQ=MQ．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.C
5.B
6.A
7.C
8.A
9.B
10.C
11.y=3x+3
12.2：3
13.2023
14.−2≤x≤4
15.29°
16.①②④
17.解：(1)x2+4x−2=0，
x2+4x=2，
x2+4x+4=2+4，
(x+2)2=6，
x+2=± 6，
x1=−2+ 6，x2=−2− 6；
(2)3x(x−1)=x−1，
3x (x−1)−(x−1)=0，
(x−1)(3x−1)=0，
x−1=0或3x−1=0，
∴x1=1，x2=13．
18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，BE，BF分别为邻边AD，CD上的高，
∴S平行四边形ABCD=AD⋅BE=CD⋅BF，
∵BE=BF，
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
19.证明：∵AD=1，BD=2，AC= 3，
∴AB=3，
∴ACAB= 33，ADAC=1 3= 33，
∴ACAB=ADAC，
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠ABC．
20.解：(1)由图表可知抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，(3,0)，
∴y=a(x+1)(x−3)，
把点(0,−3)代入得，−3=−3a，
∴a=1，
∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x−3)，即y=x2−2x−3，
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴顶点坐标为：(1,−4)；
(2)∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
∴AB=4，
∵点P为抛物线上一点，S△PAB=12，
∴S△PAB=12AB⋅|yP|=12，
∴yP=±6，
∵抛物线y=x2−2x−3开口向上，顶点为(1,−4)，
∴y=−6不合题意，
把y=6代入y=x2−2x−3得，x2−2x−3=6，
解得x=1± 10，
∴点P的坐标为(1− 10,6)或(1+ 10,6)．
21.解：(1)如图，过点D作DF⊥AE即可；

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵点E是BC的中点．
∴BE=12BC=3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB=5，
∵△ABE∽△DFA，
∴ADAE=DFAB，
∴65=DF4，
∴DF=245．
22.(1)3；
(2)平均数为：1×5+2×14+3×14+4×10+5×750=3(册)；
(3)14+10+750×1000=620(人)，
答：四月份该校学生阅读课外书籍3本以上约有620人．
23.解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，
∵当x=21时，y=38；x=25时，y=30；
∴21k+b=3825k+b=30，
解得k=−2b=80，
即y与x的函数关系式为y=−2x+80(20≤x≤30)；
(2)由题意可得，
(x−20)(−2x+80)=192，
解得x1=28，x2=32，
∵要求每件A型产品的售价不低于20元且不高于30元，
∴x=28，
答：每件A型产品的售价是28元．
24.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAE=∠ADF=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵BE⊥AF，
∴∠AGE=90°，
∴∠AEB+∠DAF=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
在△ABE和△DAF中，
∠BAE=∠ADFAB=DA∠ABE=∠DAF，
∴△ABE≌△DAF(ASA)，
∴AE=DF；
(2)解：如图，作HI⊥AD于I，

∵四边形ABCD是矩形，BC=10，BM平分∠ABC，
∴∠BAE=∠AH=90°，
∴∠ABM=∠CBM=∠AMB=45°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴AM=AB=8，MI=HI，
∵BE⊥AF，
∴∠AGE=90°，
∴∠AEB+∠IAH=90°，
∴∠ABE=∠IAH，
∴△ABE∽△IAH，
设MI=HI=a，则AI=8−a，
∴当AE=13AM时，则AIHI=AMAE=3，
∴8−aa=3，
解得a=2，
∴MI=HI=2，
∴HM= 22+22=2 2；
当ME=13AM时，
则AE=23AM，AIHI=AMAE=32，
∴8−aa=32，
解得a=165，
∴MI=HI=165，
∴HM= (165)2+(165)2=16 25，
综上，HM=2 2或16 25；
(3)解：如图，连接AC，过点B作BP⊥AD于P，过点B作BQ⊥CD于Q，

∴∠BPD=∠PDQ=∠BQD=90°，
∴四边形BPDQ是矩形，
∴BP=DQ，BQ=DP，
在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=CD,AC=AC
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠DCB+∠BAD=360°−90°−90°=180°，
∵∠DCB+∠BCQ=180°，
∴∠BAP=∠BCQ，
∴△BAP∽△BCQ，
∴APCQ=ABBC=86=43，
设CQ=3x，则AP=4x，BP=DQ=6+3x，
∵AP2+BP2=AB2，
∴(4x)2+(6+3x)2=82，
整理得25x2+36x−28=0，
解得x1=1425，x2=−2 (舍去)，
∴BP=6+3×1425=19225，
∵BE⊥AF，BP⊥AD，
∴∠AGE=∠BPE=90°，
∴∠DAF+∠AEB=∠PBE+∠AEB=90°，
∴∠DAF=∠PBE，
又∵∠ADF=∠BPE=90°，
∴△ADF∽△BPE，
∴BEAF=BPAD=19225÷8=2425．
25.(1)解：由题意得x2=kx−12k，即x2−kx+12k=0，
∵当直线l与抛物线C只有一个公共点时，则Δ=0，
∴Δ=k2−4×12k=k2−2k=k(k−2)=0，
∴k=0或k−2=0，
∴k的值为0或2；
(2)解：抛物线C向下平移t个单位后解析式为y=x2−t，
∵抛物线C向下平移t个单位后与直线l必有交点，
∴x2−t=kx−12k，
即x2−kx+12k−t=0，
∴Δ=k2−4(12k−t)=k2−2k+4t=k2−2k+1−1+4t=(k−1)2+4t−1，
∴Δ≥0，
∴4t−1≥0，
解得t≥14；
(3)证明：∵直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，
∴x2=kx−12k，
即x2−kx+12k=0，
∴x=k± k2−2k2，
又∵点A在第二象限，
∴点A的横坐标=k− k2−2k2，点B的横坐标=k+ k2−2k2，
∴点B的纵坐标=(k+ k2−2k2)2，
设直线OB解析式为y=k1x，
∴k1×k+ k2−2k2=(k+ k2−2k2)2，
∴k1=k+ k2−2k2，
∴直线OB解析式为y=k+ k2−2k2x，
∵过点A作x轴垂线分别与抛物线y=−x2+k，直线OB交于点M，Q，
∴点A、M、Q的横坐标相同，
∴点A的纵坐标+点M的纵坐标=x2−x2+k=k，
∴点Q的纵坐标=k+ k2−2k2×k− k2−2k2=k2−( k2−2k)24=k2，
∴点A的纵坐标+点M的纵坐标=点Q的纵坐标×2，
∴点Q是AM的中点，
∴AQ=MQ．
x
…
−2
−1
0
2
3
…
y
…
5
0
−3
−3
0
…
月阅读册数(本)
1
2
3
4
5
被调查的学生数(人)
5
14
14
10
7