2023-2024学年宁夏回族自治区银川一中高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年宁夏回族自治区银川一中高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a=(2,−3,1)，b=(2,0,3)，c=(0,2,2)，则a·(b+c)的值为( )
A. 4B. 15C. 7D. 3
2.已知α,β,γ是三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βB. 若m//α，m//β，则α//β
C. 若m⊥α，m⊥β，则α//βD. 若m//α，n//α，则m//n
3.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为xA和xB，样本标准差分别为sA和sB，则( )

A. xA>xB，sA>sBB. xAC. xA>xB，sAsB
4.已知A,B,C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且PA=0.2,PC=0.7，则PA∪B=( )
A. 0.2B. 0.5C. 0.6D. 0.9
5.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1= 2,BC=2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为( )
A. π2B. π3C. π4D. π6
6.某兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中选2人参加公益活动，则至少选中一名女生的概率为( )
A. 110B. 310C. 710D. 910
7.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，acsB=(2c−b)csA，则△ABC面积的最大值为( )
A. 9 34B. 9 32C. 94D. 92
8.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑V−ABC，VA⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F分别在棱VB，VC上，且EF⊥VC，AE⊥VB.若VA=4，则三棱锥V−AEF外接球的体积为( )
A. 163πB. 4 2πC. 323πD. 16 23π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某市7天国庆节假期期间的楼房认购量(单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如图所示，则以下说法错误的是( )
A. 成交量的中位数是16B. 日成交量超过日平均成交量的有1天
C. 认购量越大，则成交量就越大D. 认购量的第一四分位数是100
10.已知事件A，B相互独立，且PA=13，PB=12，则( )
A. PA=23B. PAB=13
C. PA+B=23D. PAB+AB=12
11.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为 5，则( )
A. 圆台的高为2B. 圆台的侧面积为3 5π
C. 圆台的体积为7πD. 圆台的轴截面面积为4π
12.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，F是侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，点E在棱CC1上，且C1E=1，则下列结论正确的有( )
A. 平面AD1E被正方体ABCD−A1B1C1D1截得截面为三角形
B. 若DF=FD1，直线AF⊥D1E
C. 若F在DD1上，BF+FE的最小值为 57+32 2
D. 若DF⊥BD1，点F 的轨迹长度为4 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某眼科医院为了了解高中学生的视力情况，利用分层抽样的方法从某高中三个年级中抽取了45人进行问卷调查，其中高一年级抽取了12人，高二年级抽取了15人，且高三年级共有学生540人，则该高中三个年级的学生总数为 人．
14.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为 ．
15.甲、乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为60kg，方差为100，乙队体重的平均数为64kg，方差为200，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1:3，那么甲、乙两队全部队员的方差等于 ．
16.电路从A到B上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路．则从A到B连通的概率是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且∠C=2π3，a=6．
(1)若c=14，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积为3 3，求c的值．
18.(本小题12分)
如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1，D是BC的中点，D1是B1C1的中点．求证：
(1)A1B//平面AC1D；
(2)平面A1BD1//平面AC1D.
19.(本小题12分)
新高考实行“3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考；“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科；“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科．
(1)写出所有选科组合的样本空间.从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率；
(2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率．
20.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD//BC，BC=6，PA=AD=CD=2，E是BC上一点且BE=23BC，PB⊥AE．
(Ⅰ)求证：AB⊥平面PAE；
(Ⅱ)求点C到平面PDE的距离．
21.(本小题12分)
某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65,75)，第二组[75,85)，⋯第八组[135,145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
(1)根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值)；
(2)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．
22.(本小题12分)
如图，在四棱锥E−ABCD中，BC⊥平面ABE，BC//AD，且AD=2BC=2，F是DE的中点．
(1)证明：DA⊥CF；
(2)若BA=BE=2，直线CF与直线DB所成角的余弦值为 64．
(ⅰ)求直线DE与平面ABE所成角;
(ⅱ)求二面角E−DC−B的余弦值．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.B
5.B
6.C
7.A
8.C
9.AC
10.ACD
11.AB
12.CD
13.1350
14. 105 或15 10
15.178
16.448729
17.解：(1)在△ABC中，asinA=csinC，
∴sinA=acsinC，即sinA=614sin2π3=3 314．
(2)∵S△ABC=12absinC，
则3 3=12×6b·sin2π3，
解得b=2，
又∵c2=a2+b2−2abcsC，
∴c2=4+36−2×2×6×(−12)=52，
∴c=2 13．

18.证明：(1)由题意，ABC−A1B1C1是三棱柱，
连接A1C，与AC1交于O，连接DO，可得A1B/​/DO，
∵DO⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，
∴A1B/​/平面AC1D.
(2)∵D是BC的中点，D1是B1C1的中点，
∴D1C1= /​/BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴D1B/​/C1D，
又D1B⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D，
∴D1B/​/平面AC1D，
∵由(1)可知A1B/​/平面AC1D，
又D1B∩A1B=B，D1B、A1B⊂平面A1BD1，
∴平面A1BD1/​/平面AC1D.
19.解：(1)依题意，样本空间为Ω={物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政}，n(Ω)=12，
记事件A=“所选组合符合该大学某专业报考条件”，则A={物化生，物化地，物化政，物生地，物生政}，n(A)=5，所以P(A)=n(A)n(Ω)=512．
(2)记事件M1=“甲符合该大学某专业报考条件”，
事件M2=“乙符合该大学某专业报考条件”，
事件M=“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”，
由(1)可知，PM1=PM2=512，
所以PM=1−PM1PM2=1−712×712=95144．

20.(Ⅰ)证明：∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
∴PA⊥AE，
又∵PB⊥AE，PB∩PA=P，PB、PA⊂平面PAB，
∴AE⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，
∴AE⊥AB．
又∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，
又PA∩AE=A，PA、AE⊂平面PAE，
∴AB⊥平面PAE，
(Ⅱ)解：由EC=13BC=2=AD，且ABCD为梯形，AD/​/EC，且AD=DC=2，
则ADCE为菱形，所以AE=2，
由(1)得，AB⊥AE，又BE=4，所以∠ABE=30°，
则∠AEC=120°
从而有△CDE是边长为2的等边三角形．
在△PDE中：PE=PD=2 2，DE=2，
设C到平面PDE的距离为ℎ，
由VP−ECD=VC−PDE得13S△ECD⋅PA=13S△PDE⋅ℎ，
13×12×2× 3×2=13×12×2× 8−1×ℎ，
解得ℎ=2 217，
即C到平面PDE的距离为2 217．
21.解：(1)由频率分布直方图得第七组的频率为：
1−0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004×10=0.08．
用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：
x=70×0.04+80×0.12+90×0.16+100×0.3+110×0.2+120×0.06
+130×0.08+140×0.04=102．
(2)样本成绩属于第六组的有0.006×10×50=3人，设为A,B,C，
样本成绩属于第八组的有0.004×10×50=2人，设为a,b，
从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，
基本事件有：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个
他们的分差的绝对值小于10分，即在同一组中包含的基本事件有：AB，AC，BC，ab共4个
∴他们的分差的绝对值小于10分的概率p=410=25．

22.解：(1)取AE的中点O，连接FO，OB，如图所示，
因为BC⊥平面ABE，BO⊂平面ABE，所以BC⊥BO，
因为BC//AD，所以AD⊥BO，
BC⊥平面ABE，BC//AD，所以AD⊥平面ABE，
因为AE⊂平面ABE，所以AD⊥AE，
在△EDA中，因为F，O分别为DE，AE的中点，则OF//AD，OF=12AD，
又BC//AD，BC=12AD，所以OF/​/BC，OF=BC，所以四边形OBCF为平行四边形，
所以FC//OB，
因为AD⊥BO，所以DA⊥CF．
(2)(i)连接DO，如图，
在ΔABE中，BA=BE，AO=OE，所以AE⊥BO，
因为AD⊥BO，AE⊂平面ADE，AD⊂平面ADE，AE∩AD=A，所以BO⊥平面DAE，
因为OD⊂平面DAE，所以BO⊥OD，
因为FC/​/OB，所以CF与DB所成角与BO与DB所成角相等，
在Rt△DOB中，DB=2 2，cs∠DBO=OBDB= 64，所以OB= 3，
所以AE=2AO=2 22− 32=2，
由(1)知AD⊥平面ABE，所以直线DE与平面ABE所成角为∠DEA，
在RtΔDAE中，AE=DA=2，所以∠DEA=45∘，
所以直线DE与平面ABE所成角为45∘．
(ii)延长DC，交AB的延长线于G，连结EG，如图所示，
取AB的中点M，在RtΔDAG中，过点M作DG的垂线，垂足为N，连接EN，
因为AE=EB=2，AM=MB，所以EM⊥AB，
因为AD⊥平面BAE，ME⊂平面ABE，所以AD⊥ME，
因为AB⊂平面ADG，AD⊂平面ADG，AB∩AD=A，所以EM⊥平面ADG，
因为DG⊂平面ADG，所以EM⊥DG，
因为MN⊥DG，MN⊂平面MNE，EM⊂平面MNE，EM∩MN=M，所以DG⊥平面MNE，
因为NE⊂平面MNE，所以DG⊥EN，
又平面EDC∩平面BCD=DC，所以∠MNE为二面角E−DC−B的平面角，
在RtΔDAG中，AD=2，MG=3，DG=2 5，MNMG=ADDG，所以MN=3 5，
在RtΔEMN中，MN=3 5，ME= 3，所以EN=2 6 5，
所以cs∠MNE=MNNE=3 52 6 5= 64，
所以二面角E−DC−B的余弦值为 64．