2023-2024学年内蒙古自治区巴彦淖尔市高一下学期7月期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年内蒙古自治区巴彦淖尔市高一下学期7月期末考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.12−12i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.在正▵ABC中，向量AB在AC方向上的投影向量为( )
A. 12BCB. 12ABC. 12ACD. 32AC
3.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a=3,b=6,sinA=14，则B=( )
A. π6或5π6B. π3或2π3C. π6D. π3
4.某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则该商场这个月所有销售员销售额的平均数为( )
A. 7.05万元B. 6.95万元C. 7.25万元D. 6.85万元
5.已知α,β,γ是三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是( )
A. 若m//α,α//β，则m//β
B. 若α⊥β,α⊥γ，则β⊥γ
C. 若m⊂α,n⊂α,m//β,n//γ，则β//γ
D. 若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m，则n⊥β
6.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据x1,x2,x3,⋯,x9，后来复查数据时，又将x3,x9重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 极差D. 众数
7.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=3,AD=4，则该四棱锥外接球的表面积为( )
A. 34πB. 36πC. 40πD. 136π
8.已知四边形ABCD的顶点都在半径为2的圆O上，且AD经过圆O的圆心，BC=2,CDA. 2B. 3C. 2 2D. 2 3
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件A,B,C两两互斥，若PA=15,PA∪B=815,PA∪C=920，则( )
A. PB=13B. PC=13C. PB∪C=712D. PB∩C=0
10.已知复数z满足z2−z+1=0，则( )
A. z=1B. z=12− 32iC. z+1=2D. z−2= 3
11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=3 2,AA1= 7，点P在线段A1C1上，则直线PB与平面ABCD所成角的正弦值可能为( )
A. 9 740B. 54C. 22D. 14
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数z=2+2i1−i的虚部为 ．
13.如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1的侧棱长均相等，四边形ABCD和
四边形A1B1C1D1都是正方形，A1B1=2,AB=4,AA1=3 2，则该四
棱台的体积为 ．
14.已知O是▵ABC的外心，若AO⋅BC=CO⋅AB，则内角B的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量a=1,2，b=2,x．
(1)若a⊥a−b，求b；
(2)若向量c=−3,−2，a//b+c，求a与b夹角的余弦值．
16.(本小题12分)
某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量(单位：g)进行统计，并将样本数据分为45,55,55,65,65,75,75,85,85,95,95,105六组，得到如下频率分布直方图．

(1)试估计样本数据的60%分位数；
(2)从样本数据在85,95,95,105内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在95,105内的概率；
(3)若规定质量在95,105内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．
17.(本小题12分)
某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是12，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的．
(1)求甲第二次答题通过初赛的概率；
(2)求乙通过初赛的概率；
(3)求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率．
18.(本小题12分)
A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上(点M与P,Q两点均不重合)，我们称如下操作为“由点A对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记P,Q;M=APsin∠PAMAQsin∠MAQ；若点M在线段PQ外，记P,Q;M=−APsin∠PAMAQsin∠MAQ.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，点D在射线BC上．
(1)若AD是角A的平分线，且b=3c，由点A对BC施以视角运算，求B,C;D的值；
(2)若A=60∘,a=4,AB⊥AD，由点A对BC施以视角运算，B,C;D=2−2 3，求▵ABC的周长．
19.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB=AD=8,PA=6，平面PBC⊥平面PAC,M,N分别为PB,PD的中点．

(1)证明：MN//平面ABCD．
(2)证明：BC⊥AC．
(3)若二面角C−PB−A的正切值为5 33，求三棱锥C−PAD的体积．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.B
5.D
6.C
7.A
8.C
9.ACD
10.AD
11.AB
12.2
13.1123
14.π3 或60∘
15.解：(1)因为a=1,2，b=2,x，所以a−b=−1,2−x．
由a⊥a−b，可得a⋅a−b=0，
即−1×1+22−x=0，解得x=32，
所以b=2,32，故b=52．
(2)依题意得b+c=−1,x−2．
因为a//b+c，所以x−2+2=0
解得x=0，则b=2,0．
a⋅b=2，a= 5，b=2，
所以csa,b=a⋅bab= 55，
所以a与b夹角的余弦值为 55．

16.解：(1)由频率分布直方图知，样本数据在[45,65)的频率为0.18+0.21=0.39，在[45,75)的频率为0.63，
则样本数据的60%分位数x∈(65,75)，于是0.39+(x−65)×0.024=0.6，解得x=73.75，
所以样本数据的60%分位数约为73.75g．
(2)样本数据在85,95内的产品被抽取的件数为+0.09×5=3，记为A,B,C，
样本数据在95,105内的产品被抽取的件数为+0.09×5=2，记为a,b,
则从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品的情况有：
A,B,A,C,A,a,A,b,B,C,B,a,B,b,C,a,C,b,a,b，共10种，
其中标准样例中恰有1件产品的质量在95,105内的情况有6种．
所以标准样例中恰有1件产品的质量在95,105内的概率为610=35．
(3)依题意，从该生产线上随机抽取1件产品，该件产品为优等品的概率为0.006×10=0.06，
则抽取到的产品中至少有1件优等品的概率为1−0.94×0.94=0.1164．

17.解：(1)记甲第二次答题通过初赛为事件A，则PA=1−12×12=14；
(2)记乙通过初赛为事件B，则PB=1−1−12×1−12×1−12=78；
(3)依题意甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为78，
记甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件C，
则PC=78×1−78×78+1−78×78×78+78×78×1−78=147512．

18.解：(1)因为AD是角A的平分线，所以∠BAD=∠DAC且D在线段BC上，
所以B,C;D=ABsin∠BADACsin∠DAC=cb，
又b=3c，所以B,C;D=cb=13；

(2)因为点D在射线BC上，∠BAC=60∘，且AB⊥AD，所以D在线段BC外，且∠DAC=30∘，
所以B,C;D=−ABsin∠BADACsin∠DAC=−csin90∘bsin30∘=−2cb=2−2 3，
所以b= 3+12c，
在▵ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA，
即4+2 34c2+c2− 3+12c2=32c2=16，解得c=4 63(负值已舍去)，
所以b=6 2+2 63，
所以▵ABC的周长为C▵ABC=a+b+c=4+2 2+2 6．

19.解：(1)如图，连接BD．

因为M,N分别为PB,PD的中点，所以MN为▵PBD的中位线，则MN//BD．
因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD，所以MN//平面ABCD.(2) 如图，过A作AH⊥PC交PC于H．

因平面PBC⊥平面PAC，平面PBC∩平面PAC=PC，AH⊂平面PAC，故AH⊥平面PBC．
因为BC⊂平面PBC，所以AH⊥BC．
因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．
因为PA∩AH=A，所以BC⊥平面PAC，
又AC⊂平面PAC，所以BC⊥AC．
(3)如图3，过C作CF⊥AB交AB于F，过F作FE⊥PB交PB于E，连接CE．

因PA⊥平面ABCD，CF⊂平面ABCD，则CF⊥PA，
因AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB，故得CF⊥平面PAB．
因PB⊂平面PAB，则CF⊥PB．
因为FE⊥PB,FE∩CF=F，FE,CF⊂平面CEF，所以PB⊥平面CEF．
又CE⊂平面CEF，则PB⊥CE，则∠FEC即为二面角C−PB−A的平面角，
依题意，tan∠FEC=FCEF=5 33．
设EF=3x，则FC=5 3x.因为AB=8,PA=6，所以PB=10．
由△BEF∽△BAP，得BFPB=EFPA，即BF10=3x6，则BF=5x,AF=8−5x．
又由△BFC∽△CFA，得BFCF=FCFA，即5x5 3x=5 3x8−5x，解得x=25．
AF=8−5×25=6,因CF//AD，则▵ACD的面积为12×AD×AF=12×8×6=24，
故VC−PAD=VP−CAD=13×6×24=48.