2023-2024学年湖南省汨罗市第一中学高一下学期7月期末数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年湖南省汨罗市第一中学高一下学期7月期末数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数1−2i3−i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.在复平面内，非零复数z满足z=zi(i为虚数单位)，则复数z对应的点在( )
A. 一、三象限B. 二、四象限
C. 实轴上(除原点外)D. 坐标轴上(除原点外)
3.已知a,b,c是空间的一个基底，若p=a+b，q=a+c，则下列与p，q构成一组空间基底的是( )
A. r=2b−3cB. r=a−b+2cC. r=a+2b−cD. r=2a+b+c
4.已知▵ABC的顶点坐标分别是A−2 2,0，B 2,0，C0,2 2，则sinC=( )
A. 3 1010B. 1010C. 5 2±2 510D. − 1010
5.12名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75(单位：m)，则比赛成绩的75%分位数是( )
A. 1.72B. 1.73C. 1.74D. 1.75
6.在▵ABC中，∠A=60∘，AB=2AC，平面内一点O满足OA=OB=OC，则向量OC在向量AB上的投影向量为( )
A. 14ABB. 34ABC. −14ABD. − 34AB
7.如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，该四棱锥的体积为4 23，则该半球的体积为( )
A. 23πB. 4 29πC. 4 23πD. 8 23π
8.甲、乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷2次，乙抛掷3次，事件M=“甲抛掷的两次中第一次正面朝上”，事件N=“甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件S=“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，则下列说法正确的是( )
A. M⊆NB. PM∪N=PM+PN
C. PSB，则sinA>sinB
B. 在锐角三角形ABC中，不等式sinA>csB恒成立
C. 在△ABC中，若acsA=bcsB，则△ABC必是等腰直角三角形
D. 在△ABC中，若B=60º，b2=ac，则△ABC必是等边三角形
10.已知复数z，w均不为0，则下列式子正确的是( )
A. z2≥0B. zwz=wC. z+z=2zD. z2z=z2z
11.已知平面向量a=(1,0)，b=(1,2 3)，则下列说法正确的是( )
A. |a+b|=16B. (a+b)⋅a=2
C. 向量a+b与a的夹角为60°D. 向量a+b在a上的投影向量为2a
12.在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sinA:sinB:sinC=4:5:6，D为线段AC上一点，则下列判断正确的是( )
A. ▵ABC为钝角三角形
B. ▵ABC的最大内角是最小内角的2倍
C. 若D为AC中点，则BD:AC= 79:10
D. 若∠ABD=∠CBD，则BD:AC=3 2:5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为 ．
14.在如图所示的圆锥中，AB为底面圆O的直径，C为AB⌢的中点，AB=2OP=4，则异面直线AP与BC所成角的余弦值为 ．
15.如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A1点的最短路线的长为 cm．
16.已知OA，OB是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量OP，有且只有一对实数x，y使OP=xOA+yOB，且当P，A，B共线时，有x+y=1.同样，在空间中若三个向量OA，OB，OC不共面，那么对任意一个空间向量OP，存在唯一的一组实数组x,y,z，使得OP=xOA+yOB+zOC，且当P，A，B，C共面时，有x+y+z=1.如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AD=2BC，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设PF=xPA+yPB+zPE，则PFPC= ；y+z−2x= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2，BE=−e1+λe2，EC=−2e1+e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)已知e1=(2,1)，e2=(2,−2)，点D(3,5)，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
18.(本小题12分)
如图，在直三棱柱A1B1C1−ABC中，AB=AC=2，D为BC的中点．

(1)证明：A1B//平面AC1D；
(2)若三棱柱A1B1C1−ABC的体积为4 3，且AB=BC，求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
某地统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本数据的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500))．
(1)求居民月收入在[3000,3500)的频率；
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500,3000)的这段应抽多少人？
20.(本小题12分)
龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌(每个数字四个花色：红桃(红色)、方块(红色)、黑桃(黑色)、梅花(黑色)).现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表：
(1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率；
(2)若三种抽取方式小明各进行一次，
(i)求这三次抽取中至少有一次成功的概率；
(ii)设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明．
21.(本小题12分)
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601−1665)于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120∘的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且csB=2acsAc−sinBtanC.若P是▵ABC的“费马点”，a=2 3,b0.5，
∴样本数据的中位数2000+0.5−(0.1+0.2)0.0005=2400；
(3)居民月收入在[2500,3000)的频率为0.0005×(3000−2500)=0.25，
∴10000人中月收入在[2500,3000)的人数为0.25×10000=2500(人)，
再从10000人用分层抽样方法抽出100人，
∴月收入在[2500,3000)的这段应抽取100×250010000=25人．
20.解：(1)
设方式①的样本空间为Ω1，方式②的样本空间为Ω2，方式③的样本空间为Ω3，
则nΩ1=8×8=64，nΩ2=8×7=56，nΩ3=4×4+4×4=32，
设事件A=“抽到一张红10和一张红K，A=红桃10,红桃K，红桃10,方块K，方块10,红桃K，方块10,方块K，红桃K,红桃10，方块K,红桃10，红桃K,方块10，方块K,方块10，
故p1=nAnΩ1=864=18，p2=nAnΩ2=856=17，p3=nAnΩ3=832=14．
(2)
(i)记三次抽取至少有一次成功为事件B，
则pB=1−1−p11−p21−p3=1−78×67×34=716．
(ii)有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大．
若按①②③的顺序，p=18×17×34+78×17×14=5112，
同理，求出①③②、②①③、②③①、③①②、③②①顺序下的概率分别为13224，9224，13224，9224，5112，
故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大

21.解：(1)
由已知，得csB=2acsAc−sinBtanC，
由正弦定理，得sinCcsB=2sinAcsA−sinCsinBtanC，
即2sinAcsA=sinBcsC+csBsinC，
即2sinAcsA=sinB+C=sinA，
由于0