2023-2024学年青海省西宁市大通县高一下学期期末联考数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年青海省西宁市大通县高一下学期期末联考数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简AB−AD−DC=( )
A. ADB. ACC. DBD. CB
2.已知集合A=x12x<14,B=x∣x≤1，则B∪∁RA=( )
A. x∣x≥2B. x∣x≤2C. {x∣x>1}D. R
3.下列说法中错误的是( )
A. 棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C. 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
4.一组数据：5，1，3，5，2，2，2，3，1，2，则这组数据的85%分位数是( )
A. 3B. 4C. 4.5D. 5
5.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y=g(x)的图象，则g(x)=( )
A. −3cs2xB. 3cs2xC. −3sin2x+π4D. 3sin2x+π4
6.用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为( )
A. 13B. 12C. 23D. 34
7.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，M为AB的中点，在▵CMD1中，CM⊥MD1，CD=4，DD1=3，则AD=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.在三棱锥A−BCD中，▵ABD和▵BCD均为边长为2的等边三角形，AC=3，则该三棱锥的外接球的表面积是( )
A. 82π9B. 83π9C. 28π3D. 28π
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=2+ 3i，则( )
A. z的虚部为 3B. z是纯虚数
C. z的模是 7D. z在复平面内对应的点位于第四象限
10.下列化简正确的是( )
A. sin2023π−α=sinαB. tanα−2023π=−tanα
C. sin11π2+α=−csαD. cs7π2−α=sinα
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知E,F是线段B1D1上的两个动点，且EF=13，则( )
A. △BEF的面积为定值B. EF⊥AC
C. 点A到直线EF的距离为定值D. 二面角E−BD−C的大小为60∘
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知x、y∈R，若(x−2)+yi=−1+i，则x+y= ．
13.已知e1,e2是两个不共线的向量，a=e1−2e2,b=2e1+ke2，若a与b是共线向量，则实数k= ．
14.定义在R上的奇函数fx满足fx+2=−fx，当0四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数”．
16.(本小题12分)
(1)已知cs(α+β)=15，cs(α−β)=35，求tanα⋅tanβ的值
(2)已知csα+csβ=12，sinα+sinβ=13，求cs(α−β)的值．
17.(本小题12分)
已知a,b,c为ΔABC三个内角A,B,C的对边，且acsC+ 3asinC−b−c=0．
(1)求A；
(2)若a=2，ΔABC的面积为 3，求b,c．
18.(本小题12分)
如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，∠A1AB=∠A1AD．
(1)证明：平面A1BD//平面CD1B1；
(2)证明：平面A1BD⊥平面ACC1A1．
19.(本小题12分)
为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分(满分100分)，并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品．

(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；
(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；
(3)已知落在50,60的平均综合评分是54，方差是3，落在60,70的平均综合评分为63，方差是3，求落在50,70的总平均综合评分z和总方差s2．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.D
5.B
6.C
7.B
8.C
9.AC
10.AC
11.ABC
12.2
13.−4
14.5
15.解：(1)设试验的样本空间为Ω，
则依题意可得Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9}；
(2)由事件A=“摸到球的号码小于5”，
则A={1,2,3,4}，
由事件B=“摸到球的号码大于4”，
则B={5,6,7,8,9}，
由事件C=“摸到球的号码是偶数”．
则C={2,4,6,8}．
16.解：(1)∵cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=15①；
cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=35②.
由①、②联立可得csαcsβ=25，sinαsinβ=15，
∴tanα⋅tanβ=sinα⋅sinβcsα⋅csβ=12．
(2)csα+csβ=12⇒cs2α+2csαcsβ+cs2β=14③，
sinα+sinβ=13⇒sin2α+2sinαsinβ+sin2β=19④，
③+④得：2+2cs(α−β)=1336，
∴cs(α−β)=−5972．
17.解：(1)∵在△ABC中，acsC+ 3asinC−b−c=0，
利用正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入上式并约去2R得：
sinAcsC+ 3sinAsinC=sinB+sinC，
而sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∴sinAcsC+ 3sinAsinC=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∴ 3sinAsinC=sinCcsA+sinC，
∵C为三角形内角，∴0°∴ 3sinA=csA+1，即 3sinA−csA=1，
∴sin(A−30​∘)=12，
∵A为三角形内角，∴0°∴A=60​∘．
(2)若a=2，△ABC的面积为 3，
则S=12bc⋅sinA= 34bc= 3，
∴bc=4①，
又由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−3bc=4，
∴b+c=4②，
由①②解得b=c=2．
18.(1)
由题意可知：BB1//DD1，BB1=DD1，可知BB1D1D为平行四边形，
则BD//B1D1，且BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，可得BD//平面CD1B1，
又因为A1B1//CD，A1B1=CD，可知A1B1CD为平行四边形，
则A1D//B1C，且A1D⊄平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B1，可得A1D//平面CD1B1，
且BD∩A1D=D，BD,A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD//平面CD1B1．
(2)
因为ABCD为正方形，则AC⊥BD，
因为∠A1AB=∠A1AD,A1A=A1A,AD=AB，则▵A1AB≅▵A1AD，
可得A1D=A1B，
设AC∩BD=O，可知O为BD的中点，则A1O⊥BD，
且AC∩A1O=O，AC,A1O⊂平面ACC1A1，可得BD⊥平面ACC1A1，
由BD⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面ACC1A1．
19.(1)由频率和为1，得0.005+0.010+0.025+a+0.020×10=1，解得a=0.040；
设综合评分的平均数为x，
则x=10×55×0.005+65×0.010+75×0.025+85×0.040+95×0.020=81，
所以综合评分的平均数为81．
(2)由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个，
一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E；
从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间
Ω=ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE，nΩ=10；
记事件A=“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，
则A=aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE，nA=7，
所以所求的概率为P=710．
(3)由题意可知：落在50,60的频率为0.05，落在60,70的频率为0.1，
所以z=+0.1×54++0.1×63=60，
s2=+0.13+54−602++0.13+63−602=21．