2020-2021学年湖南省常德市安乡县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年湖南省常德市安乡县八年级下学期期中数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各组数据不是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．6，8，10D．5，12，13
2．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．同旁内角互补
B．直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半
C．任意多边形的外角和等于360°
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
3．（3分）能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．角平分线B．中线C．高D．中位线
4．（3分）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC，AB∥CDB．AC＝BD
C．∠BAD＝∠ADCD．∠ABC＝90°
6．（3分）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5cm，那么HF的长为（ ）
A．5cmB．6cmC．4cmD．不能确定
7．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝6，∠A＝30°，∠C＝90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（ ）
A．1B．C．D．2
8．（3分）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推，则平行四边形AO2020C2021B的面积为（ ）cm2．
A．B．C．D．
二、填空题（本题共8个小题，每题3分，共24分）
9．（3分）如图所示，小明从坡度为30°的斜坡的山底（A）到山顶（B）共走了1000米，则山坡的高度BC为 米．
​
10．（3分）一个直角三角形的两边长分别为5cm，12cm，则第三边长为 cm．
11．（3分）菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，则菱形ABCD的周长为 ．
12．（3分）如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF，若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为 ．
​
13．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠EBD＝ ．
14．（3分）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为 ．
15．（3分）如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝14，则△DOE的周长为 ．
16．（3分）如图，一只蚂蚁从长为5cm、宽为7cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 cm．
三、解答题（本题共72分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（5分）如图，一艘帆船由于风向的原因，先向正东航行了120千米，然后向正北方航行了90千米，这时它离出发点有多远？
​
18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠A＝30°，CD＝4，求AC的长．
​
19．（6分）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C为小正方形的顶点，求证：∠ABC＝45°．
20．（6分）如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
21．（7分）如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹，不写画法），并说明理由．
22．（7分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
24．（8分）如图，菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是16cm．
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
25．（10分）如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE＝∠ACB＝90°，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连接GF．
（1）FG与DC的位置关系是 ，FG与CD的数量关系是 ；
（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成图形，并判断（1）中的结论是否成立？请证明你的结论．
26．（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
2020-2021学年湖南省常德市安乡县八年级（下）期中数学试卷
（参考答案）
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）（下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请将正确的选项涂在答题卡上）
1．（3分）下列各组数据不是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．6，8，10D．5，12，13
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，所以不是勾股数，故符合题意；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
C、62+82＝102，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
故选：A．
2．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．同旁内角互补
B．直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半
C．任意多边形的外角和等于360°
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故A符合题意；
B、直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，正确，故B不符合题意；
C、任意多边形的外角和等于360°，正确，故C不符合题意；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，故D不符合题意．
故选：A．
3．（3分）能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．角平分线B．中线C．高D．中位线
【解答】解：三角形的中线把三角形分成等底等高的两个三角形，面积相等，
所以，能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是中线．
故选：B．
4．（3分）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【解答】解：设这个多边形是n边形，
则（n﹣2）•180°＝900°，
解得：n＝7，
即这个多边形为七边形．
故选：C．
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC，AB∥CDB．AC＝BD
C．∠BAD＝∠ADCD．∠ABC＝90°
【解答】解：A．根据一组对边相等，一组对边平行，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠BAD＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
D．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
故选：A．
6．（3分）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5cm，那么HF的长为（ ）
A．5cmB．6cmC．4cmD．不能确定
【解答】解：∵点E，D分别是AB，BC的中点，
∴DE是三角形ABC的中位线，有DE＝AC，
∵AH⊥BC，点F是AC的中点，
∴HF是Rt△AHC中斜边AC上的中线，有HF＝AC，
∴FH＝DE＝5cm．
故选：A．
7．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝6，∠A＝30°，∠C＝90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（ ）
A．1B．C．D．2
【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠CBD＝60°．
∵将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，
∴∠A＝∠DBE＝∠EBC＝30°．
∵∠EBC＝∠DBE，∠BCE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，
∴△BCE≌△BDE．
∴CE＝DE．
∵AC＝6，∠A＝30°，
∴BC＝AC×tan30°＝2．
∵∠CBE＝30°．
∴CE＝2．即DE＝2．
故选：D．
8．（3分）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推，则平行四边形AO2020C2021B的面积为（ ）cm2．
A．B．C．D．
【解答】解：设矩形ABCD的面积为S，
根据题意得：平行四边形AOC1B的面积＝矩形ABCD的面积＝S，
平行四边形AO1C2B的面积＝平行四边形AOC1B的面积＝S＝，…，
∴平行四边形AOn﹣1∁nB的面积＝，
∴平行四边形AOnCn+1B的面积＝，
∴平行四边形AO2021C2022B的面积为，
故选：C．
二、填空题（本题共8个小题，每题3分，共24分）
9．（3分）如图所示，小明从坡度为30°的斜坡的山底（A）到山顶（B）共走了1000米，则山坡的高度BC为 500 米．
​
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1000（米），∠A＝30°，
∴BC＝AB＝500（米），
故答案为：500．
10．（3分）一个直角三角形的两边长分别为5cm，12cm，则第三边长为 13或 cm．
【解答】解：当12cm为直角边时，第三边长为＝13（cm），
当12cm为斜边时，第三边长为＝（cm），
综上所述，第三边长为13cm或cm．
故答案为：13或．
11．（3分）菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，则菱形ABCD的周长为 20 ．
【解答】解：如图，
∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，
∴AB＝＝5，
∴菱形ABCD的周长是4×5＝20．
故答案为：20．
12．（3分）如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF，若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为 10 ．
​
【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、BC的中点，
∴DE＝AC，
同理，EF＝AB，DF＝BC，
∴C△DEF＝DE+EF+DF＝AC+BC+AB＝（AC+BC+AC）＝×20＝10．
故答案是：10．
13．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠EBD＝ 30° ．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝AB，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝150°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝15°，
∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝45°﹣15°＝30°
故答案为30°．
14．（3分）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为 4 ．
【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴CB＝CD，
∴∠BDC＝∠DBC＝30°，
又∵∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝8，
∴BD＝＝＝4．
故答案为：4．
15．（3分）如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝14，则△DOE的周长为 16 ．
【解答】解：∵▱ABCD的周长为36，
∴AB＝CD，AD＝BC，OD＝OB＝BD＝7，2（BC+CD）＝36，
则BC+CD＝18．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD，
∴OE＝BC，
∴△DOE的周长＝OD+OE+DE＝BD+（BC+CD）＝7+9＝16，
即△DOE的周长为16．
故答案为：16．
16．（3分）如图，一只蚂蚁从长为5cm、宽为7cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 15 cm．
【解答】解：由题意可得，
当展开前面和右面时，最短路线长是：＝＝15（cm）；
当展开前面和上面时，最短路线长是：＝（cm）；
当展开左面和上面时，最短路线长是：＝＝7（cm）；
∵15＜7＜，
∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm．
故答案为：15．
三、解答题（本题共72分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（5分）如图，一艘帆船由于风向的原因，先向正东航行了120千米，然后向正北方航行了90千米，这时它离出发点有多远？
​
【解答】解：由图知，AB＝120千米，BC＝90千米，
△ABC构成直角三角形，
根据勾股定理，
AC2＝AB2+BC2，
∴AC2＝1202+902，
∴AC＝150千米．
答：这时它离出发点有150千米远．
18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠A＝30°，CD＝4，求AC的长．
​
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，CD＝4，
∴AB＝2CD＝8，
∵∠A＝30°，
∴BC＝AB＝4，AC＝BC＝4，
∴AC的长为4．
19．（6分）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C为小正方形的顶点，求证：∠ABC＝45°．
【解答】证明：连接AC，则由勾股定理可以得到：AC＝，BC＝，AB＝．
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
又∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠ABC．
∴∠ABC＝45°．
20．（6分）如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
【解答】证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
21．（7分）如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹，不写画法），并说明理由．
【解答】解：如图：OP是∠AOB的平分线；
理由：由四边形AEBF是平行四边形可以知道AP＝BP，
又OA＝0B，
则OP是等腰三角形OAB底边AB上的中线，
所以OP是∠AOB的平分线．
22．（7分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF；
（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝4，DE＝1，
∴AE＝3，
∴BE＝＝＝5，
在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，
∴AG＝＝．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA＝∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC＝＝5，
∴AD＝BC＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠FAB，
即AF平分∠DAB．
24．（8分）如图，菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是16cm．
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC+2∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠ABO＝30°，
∵菱形ABCD的周长是16cm，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝4cm，
∴AO＝2cm，则BO＝2cm，
故AC＝4cm，BD＝4cm；
（2）菱形ABCD的面积为：×4×4＝8（cm2）．
25．（10分）如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE＝∠ACB＝90°，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连接GF．
（1）FG与DC的位置关系是 FG⊥CD ，FG与CD的数量关系是 FG＝CD ；
（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成图形，并判断（1）中的结论是否成立？请证明你的结论．
【解答】解：（1）如图1：延长DE交AC于M，连接FM、FC、FD，
∴四边形BCMD是矩形，
∴CM＝BD．
又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
∴ED＝BD＝CM．
∵∠AEM＝∠A＝45°，
∴△AEM是等腰直角三角形．
又F是AE的中点，
∴MF⊥AE，EF＝MF，∠E＝∠FMC．
在△EFD和△MFC中，
，
∴△EFD≌△MFC（SAS）．
∴FD＝FC，∠EFD＝∠MFC．
又∠EFD+∠DFM＝90°，
∴∠MFC+∠DFM＝90°．
即△CDF是等腰直角三角形，
又G是CD的中点，
∴FG＝CD，FG⊥CD，
故答案为：FG⊥CD，FG＝CD；
（2）如图2：延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM，
∴四边形BCMD是矩形，
∴CM＝BD．
又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
∴ED＝BD＝CM．
∵∠AEM＝∠A＝45°，
∴△AEM是等腰直角三角形．
又F是AE的中点，
∴MF⊥AE，EF＝MF，∠E＝∠FMC．
在△EFD和△MFC中，
，
∴△EFD≌△MFC（SAS）．
∴FD＝FC，∠EFD＝∠MFC．
又∠EFD+∠DFM＝90°，
∴∠MFC+∠DFM＝90°．
即△CDF是等腰直角三角形，
又G是CD的中点，
∴FG＝CD，FG⊥CD．
26．（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
证明：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）如图1中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝．