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2023-2024学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷（含详解）
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这是一份2023-2024学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷（含详解），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知a>b，则下列结论正确的是( )
A. a−3−2bC. 5a>5bD. a23.用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变形为( )
A. (x+1)2=6B. (x+2)2=9C. (x−1)2=6D. (x−2)2=9
4.矩形ABCD在平面直角坐标系中如图所示，若矩形平移，使得点A(−4,3)到点A′(1,4)的位置，平移后矩形顶点C的对应点C′的坐标是( )
A. C′(−2,0)B. C′(3,0)C. C′(3,1)D. C′(4,1)
5.计算：x+yxy−x−yxy( )
A. 2xB. −2xC. 2yD. −2y
6.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是( )
A. AD=BCB. AB=CD
C. AD//BCD. ∠A=∠C
7.如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，若△ABC的周长是10，则△AOE的周长为( )
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
8.若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. k<13B. k≤13C. k<13且k≠0D. k≤13且k≠0
9.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，OC=6，∠AOC=60°，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OC于点D、E；再分别以点D、点E圆心，大于12DE的长度为半径画弧，两弧相交于点F，过点O作射线OF，交BC于点P，则点P的坐标为( )
A. (4,2 3)B. (6,2 3)C. (9,2 3)D. (9,3 3)
10.关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0有一个根是−1，若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，设t=a+2b，则t的取值范围是( )
A. −12≤t<1B. −1二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：a2−4= ．
12.我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形．如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则∠1=______°.
13.已知一元二次方程x2+kx−6=0有一个根是2，则另一个根是______．
14.代数式3x+2与代数式2x−1的值相等，则x=______．
15.如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则S△BHF= ______．
16.如图，矩形ABCD中，E为CD上一点，F为AB上一点，分别沿AE，CF折叠，D，B两点刚好都落在矩形内一点P，且∠EPC=150°，则AB：AD=______．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式组5x−3≤2(x−3)①x418.(本小题6分)
先化简，再求值：(1−4m+1)÷m2−9m+3，其中m=2．
19.(本小题6分)
在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，连接DE、BF．
求证：DE=BF．
20.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−2x=0；
(2)2x2−7x+6=0．
21.(本小题8分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
(2)画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
(3)若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 ．
22.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=CD，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO=∠ACE，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=2 10，BD=4，求OE的长．
23.(本小题10分)
为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩.已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
24.(本小题10分)
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？
【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
解决方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则点P即为所求.此时，PA+PB的值最小，且PA+PB=A′P+PB=A′B．
【模型应用】
问题1.如图2，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是______．
问题2.如图3，在平面直角坐标系中，点A(−2,4)，点B(4,2)．
(1)请在x轴上确定一点P，使PA+PB的值最小，求出点P的坐标；
(2)请直接写出PA+PB的最小值．
【模型迁移】
问题3.如图4，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12，BD=16.点P和点E分别为BD，CD上的动点，求PE+PC的最小值．
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+4(k≠0)与y轴交于点A.直线y=−2x+1与直线y=kx+4(k≠0)交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为−1．
(1)求点B的坐标及k的值；
(2)在直线AE上找一点D使S△ACD=2S△ABC，求点D的坐标；
(3)设F是坐标平面内一个动点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点F的坐标．
26.(本小题12分)
旋转是几何图形中的一种重要变换，通常与全等三角形的数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行了如下探究：△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，点D为BC中点，将△DEF绕点D旋转，连接AE、CF．
观察猜想：
(1)如图1，在△DEF旋转过程中，AE与CF的数量关系为______；位置关系为______；
探究发现：
(2)如图2，当点E、F在△ABC内且C、E、F三点共线时，试探究线段CE、AE与DE之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
(3)若△ABC中，AB= 5，在△DEF旋转过程中，当AE= 2且C、E、F三点共线时，直接写出DE的长．
答案解析
1.C
【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2.C
【详解】解：已知a>b，两边同时减去3得a−3>b−3，则A不符合题意；
已知a>b，两边同时乘−2得−2a<−2b，则B不符合题意；
已知a>b，两边同时乘5得5a>5b，则C符合题意；
已知a>b，两边同时除以2得a2>b2，则D不符合题意；
故选：C．
3.C
【详解】解：由原方程移项，得
x2−2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数−2的一半的平方1，得
x2−2x+1=6
∴(x−1)2=6．
故选：C．
4.C
【详解】解：∵点A(−4,3)，点A′(1,4)，
∴点A的横坐标向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到点A′，
∴平移后矩形顶点C(−2,0)的对应点C′的坐标是(3,1)，
故选：C．
5.A
【详解】解：原式=(x+y)−(x−y)xy
=x+y−x+yxy
=2yxy
=2x．
故选：A．
6.A
【详解】解：D、当AB//CD，AD=BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；
B、AB//CD，AB=DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；
C、AB//CD，AD//BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；
D、∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故选：A．
7.B
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD=BC，
∵点E是AD的中点，
∴AD=2AE，AB=2OE，
∵△ABC的周长是10，
∴△AOE的周长=AE+OA+OE=12(AD+AB+AC)=12×10=5，
故选：B．
8.D
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0，
∴k≠0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ=(−2)2−4k×3≥0，
解得k≤13，
∴k的取值范围是k≤13且k≠0，
故选：D．
9.D
【详解】解：如图，延长BC交y轴于G，则BG⊥y轴，
，
∴∠OGC=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠GOC=30°，
∴CG=12OC=3，OG= 3CG=3 3，
由题意得：OP平分∠AOC，
∴∠AOP=∠COP，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA//BC，
∴∠AOP=∠CPO，
∴∠COP=∠CPO，
∴PC=OP=6，
∴PG=PC+CG=6+3=9，
∴点P的坐标为(9,3 3)，
故选：D．
10.C
【详解】解：由题知，
将x=−1代入关于x的方程得，
a−b+12=0．
因为一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，
所以a<0，b>0．
因为t=a+2b，且a=b−12，
所以t=b−12+2b=3b−12，
因为b>0，
所以3b−12>−12，
即t>−12．
同理可得，t<1，
所以−12故选：C．
11.(a+2)(a−2)
【详解】解：a2−4=(a+2)(a−2)．
12.18
【详解】解：∵正五边形的每个内角度数为(5−2)×180°÷5=108°，正方形的每个内角等于90°，
∴∠1=108°−90°=18°，
故答案为：18．
13.−3
【详解】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2t=−6，
解得t=−3，
即方程的另一个根为−3．
故答案为：−3．
14.7
【详解】解：由题意得3x+2=2x−1，
去分母得，3(x−1)=2(x+2)，
去括号得，3x−3=2x+4，
移项得，3x−2x=4+3，
解得x=7，
经检验x=7是原方程的解，
所以原方程的解为x=7，
故答案为7．
15.6
【详解】解：连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，四边形BGFE是正方形，
∴∠DBC=45°，∠FBG=45°，
∴∠DBF=90°，
∵AB=AD=3，BE=EF=4，
∴BD=3 2，BF=4 2，
∴S△DBF=12BD⋅BF=12，
∵H是DF中点，
∴S△BHF=12S△DBF=6．
故答案为：6．
16. 2：1
【详解】解：如图，设AD=BC=x.过点P作PH⊥AC于H．
由翻折的性质可知，PA=PC=BC=AD=x，
∵∠EPC=150°，∠APE=∠D=90°，
∴∠APC=120°，
∵PH⊥AC，
∴AH=CH，∠APH=∠CPH=60°，
∴∠PAH=∠CPH=30°，PH=12AP，
∴AC=2AH=2⋅ PA2−12PA2= 3x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴CD=AB= AC2−AD2= ( 3x)2−x2= 2x，
∴ABAD= 2xx= 2．
故答案为 2：1．
17.解：解不等式①得x≤−1，
解不等式②得x>−4，
故原不等式组的解集为−4则它的所有整数解为−3，−2，−1．
18.解：原式=(m+1m+1−4m+1)÷(m+3)(m−3)m+3
=m+1−4m+1÷(m−3)
=m−3m+1⋅1m−3
=1m+1，
当m=2时，原式=13．
19.证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠BCF，
又∵AE=CF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴DE=BF．
20.解：x2−2x=0，
x(x−2)=0，
则x=0或x−2=0，
所以x1=0，x2=2．
(2)2x2−7x+6=0，
(x−2)(2x−3)=0，
则x−2=0或2x−3=0，
所以x1=2,x2=32．
21.(−2,0)
【详解】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)旋转中心Q的坐标为(−2,0)，
故答案为：(−2,0)．
22.(1)证明：∵CE⊥AB，
∴∠CEA=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∵∠ABO=∠ACE，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AO⊥OB，
∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，BD=4，
∴OA=OC，BD⊥AC，OB=OD=2，
∴∠AOB=90°，
∴OA= AB2−OB2= 40−4=6，
∴AC=2OA=12，
∵CE⊥AB，
∴OE=12AC=6．
23.解：(1)设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是(x+0.2)元，
由题意得：16x+0.2=12x，
解得：x=0.6，
经检验，x=0.6是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.2=0.6+0.2=0.8，
答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元；
(2)解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(15−m)个，
由题意得：15−m≤2m，
解得：m≥5，
设所需费用为w元，
由题意得：w=0.8m+0.6×(15−m)=0.2m+9，
∵0.2>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=5时，w取得最小值=0.2×5+9=10，
答：购买这批充电桩所需的最少总费用为10万元．
24.3 10
【详解】问题1：解：如图，连接BP，BE，
∵正方形ABCD的边长为9，DE=2CE，
∴BC=CD=9，DE=6，CE=3，∠ACB=∠ACD=45°，
∴BE= BC2+CE2= 81+9=3 10，
∵CP=CP，∠ACB=∠ACD=45°，BC=DC，
∴△BCP≌△DCP(SAS)，
∴BP=PD，
∴PE+PD=PB+PE，
∴当点P，点B，点E三点共线时，PE+PD有最小值为BE的长，
∴PE+PD的最小值为3 10，
故答案为：3 10；
问题2：(1)作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，
∵点B(4,2)，
∴B′(4,−2)，
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
∵点A(−2,4)，点B′(4,−2)．
∴4=−2k+b−2=4k+b，解得：k=−1b=2，
∴直线AB′的解析式为y=−x+2，
当y=0时，−x+2=0，解得：x=2，
∴点P的坐标(2,0)；
(2)∵点B关于x轴的对称点B′，
∴PB=PB′，
∴PA+PB=PA+PB′，
∴当点A，点P，点B′三点共线时，PA+PB的最小值为AB′的长，
∵B′(4,−2)，点A(−2,4)，
∴AB′= (4+2)2+(−2−4)2=6 2，
∴PA+PB的最小值为6 2；
问题3：如图5，过A作AE⊥CD，交BD于P，连接CP，
此时线段PE+PC最小，且PE+PC=AE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD=12BD=8，OC=12AC=6，
∴DC= OD2+OC2= 64+36=10，
∵S菱形ABCD=12×AC⋅BD=CD⋅AE，
即：12×12×16=10×AE，
∴AE=9.6
∴PE+PC的最小值是9.6．
25.解：(1)在y=−2x+1中，令x=−1得y=2+1=3，
∴B(−1,3)，
把B(−1,3)代入y=kx+4得：
3=−k+4，
解得k=1，
∴y=x+4，
∴B的坐标是(−1,3)，k的值为1；
(2)∵S△ACD=2S△ABC，
∴12×AC×|xD|=2×12×AC×|xB|，
∴|xD|=2|xB|=2，
∴点D的横坐标为2或−2，
∴点D的坐标为(−2,2)或(2,6)；
(3)∵以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形，
设点F(m,n)，
当平行四边形为▱ABCF时，
根据题意，
m=0−(−1)=1，n−1=4−3，
∴m=1，n=2，
∴F(1,2)；
当平行四边形为▱ACBF时，
根据题意，
0−0=m−(−1)，4−1=n−3，
∴m=−1，n=6，
∴F(−1,6)；
当平行四边形为▱ABFC时，
根据题意，
0−m=0−(−1)=1，n−1=3−4，
∴m=−1，n=0，
∴F(−1,0)；
∴F(−1,6)或F(−1,0)或F(1,2)．
26.AE=CF AE⊥CF
【详解】解：(1)AE=CF；AE⊥CF；理由如下，
如图所示，连接AD，CF交AE于点M，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ACD=∠DAC=45°，
∴AD=CD，
∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，
∴DE=DF，∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中，
AD=CD∠EDA=∠FDCDE=DF，
∴△AED≌△CFD(SAS)，
∴AE=CF，∠AED=∠CFD，
∵∠CFD+∠MFD=180°，
∴∠AED+∠MFD=180°，
∴∠EMF+∠EDF=180°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EMF=90°，
∴AE⊥CF，
故答案为：AE=CF；AE⊥CF；
(2)CE−AE= 2DE；
证明：如图2所示，连接AD，
由(1)可知，△AED≌△CFD(SAS)，
∴∠EAD=∠FCD，AE=CF，
∴CE=CF+EF=AE+EF，
∴CE−AE=CE−CF=EF，
∵△DEF是等腰直角三角形，即DE=DF，
∴EF2=DE2+DF2=2DE2，
∴EF= 2DE= 2DF，
∴CE−AE= 2DE；
(3)DE的长为 6−22或2+ 62.理由如下：
AB= 5，AE= 2，C、E、N三点共线，
①由(2)可知，CE−AE= 2DE，如图3，
由(1)可知，∠EAD=∠FCD，
∵∠ACD=∠ACE+∠FCD=45°，∠DCF+∠FCA+∠DAC=90°，
∴∠EAD+∠FCA+∠DAC=90°，
∴∠AEC=90°，
在Rt△ACE中，AB=AC= 5，AE=CF= 2，
∴CE= AC2−AM2= 5−2= 3，
∴EF=CE−CF= 3− 2，
∴DE= 22FE= 6−22；
②如图4所示，由(1)可知，△ADE≌△CDN，AE=CF= 2，∠DAE=∠DCF，
∴∠DAE+∠EAC+∠ACD=∠DCF+∠EAC+∠ACD=90°，
∴△AEC是直角三角形，
∴CE= AC2−AE2= 5−2= 3，
∴EF=CF−CE= 2− 3(不符合题意舍去)；
③如图5，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠F=∠DEF=45°，
同法可证△ADE≌△CDF，
∴∠AED=∠F=45°，
∴∠AED+∠DEF=45°+45°=90°，即△ACM是直角三角形，
在Rt△ACE中，AB=AC= 5，AE=CF= 2，
∴CE= AC2−AE2= 5−2= 3，
∴EF=CE+CF= 2+ 3，
∵EF= 2DE，
∴DE= 2EF2= 2( 2+ 3)2=2+ 62；
综上所述，DE的长为 6−22或2+ 62．
1.如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知a>b，则下列结论正确的是( )
A. a−3
A. (x+1)2=6B. (x+2)2=9C. (x−1)2=6D. (x−2)2=9
4.矩形ABCD在平面直角坐标系中如图所示，若矩形平移，使得点A(−4,3)到点A′(1,4)的位置，平移后矩形顶点C的对应点C′的坐标是( )
A. C′(−2,0)B. C′(3,0)C. C′(3,1)D. C′(4,1)
5.计算：x+yxy−x−yxy( )
A. 2xB. −2xC. 2yD. −2y
6.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是( )
A. AD=BCB. AB=CD
C. AD//BCD. ∠A=∠C
7.如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，若△ABC的周长是10，则△AOE的周长为( )
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
8.若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. k<13B. k≤13C. k<13且k≠0D. k≤13且k≠0
9.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，OC=6，∠AOC=60°，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OC于点D、E；再分别以点D、点E圆心，大于12DE的长度为半径画弧，两弧相交于点F，过点O作射线OF，交BC于点P，则点P的坐标为( )
A. (4,2 3)B. (6,2 3)C. (9,2 3)D. (9,3 3)
10.关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0有一个根是−1，若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，设t=a+2b，则t的取值范围是( )
A. −12≤t<1B. −1
11.分解因式：a2−4= ．
12.我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形．如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则∠1=______°.
13.已知一元二次方程x2+kx−6=0有一个根是2，则另一个根是______．
14.代数式3x+2与代数式2x−1的值相等，则x=______．
15.如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则S△BHF= ______．
16.如图，矩形ABCD中，E为CD上一点，F为AB上一点，分别沿AE，CF折叠，D，B两点刚好都落在矩形内一点P，且∠EPC=150°，则AB：AD=______．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式组5x−3≤2(x−3)①x4
先化简，再求值：(1−4m+1)÷m2−9m+3，其中m=2．
19.(本小题6分)
在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，连接DE、BF．
求证：DE=BF．
20.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−2x=0；
(2)2x2−7x+6=0．
21.(本小题8分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
(2)画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
(3)若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 ．
22.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=CD，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO=∠ACE，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=2 10，BD=4，求OE的长．
23.(本小题10分)
为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩.已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
24.(本小题10分)
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？
【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
解决方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则点P即为所求.此时，PA+PB的值最小，且PA+PB=A′P+PB=A′B．
【模型应用】
问题1.如图2，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是______．
问题2.如图3，在平面直角坐标系中，点A(−2,4)，点B(4,2)．
(1)请在x轴上确定一点P，使PA+PB的值最小，求出点P的坐标；
(2)请直接写出PA+PB的最小值．
【模型迁移】
问题3.如图4，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12，BD=16.点P和点E分别为BD，CD上的动点，求PE+PC的最小值．
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+4(k≠0)与y轴交于点A.直线y=−2x+1与直线y=kx+4(k≠0)交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为−1．
(1)求点B的坐标及k的值；
(2)在直线AE上找一点D使S△ACD=2S△ABC，求点D的坐标；
(3)设F是坐标平面内一个动点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点F的坐标．
26.(本小题12分)
旋转是几何图形中的一种重要变换，通常与全等三角形的数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行了如下探究：△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，点D为BC中点，将△DEF绕点D旋转，连接AE、CF．
观察猜想：
(1)如图1，在△DEF旋转过程中，AE与CF的数量关系为______；位置关系为______；
探究发现：
(2)如图2，当点E、F在△ABC内且C、E、F三点共线时，试探究线段CE、AE与DE之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
(3)若△ABC中，AB= 5，在△DEF旋转过程中，当AE= 2且C、E、F三点共线时，直接写出DE的长．
答案解析
1.C
【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2.C
【详解】解：已知a>b，两边同时减去3得a−3>b−3，则A不符合题意；
已知a>b，两边同时乘−2得−2a<−2b，则B不符合题意；
已知a>b，两边同时乘5得5a>5b，则C符合题意；
已知a>b，两边同时除以2得a2>b2，则D不符合题意；
故选：C．
3.C
【详解】解：由原方程移项，得
x2−2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数−2的一半的平方1，得
x2−2x+1=6
∴(x−1)2=6．
故选：C．
4.C
【详解】解：∵点A(−4,3)，点A′(1,4)，
∴点A的横坐标向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到点A′，
∴平移后矩形顶点C(−2,0)的对应点C′的坐标是(3,1)，
故选：C．
5.A
【详解】解：原式=(x+y)−(x−y)xy
=x+y−x+yxy
=2yxy
=2x．
故选：A．
6.A
【详解】解：D、当AB//CD，AD=BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；
B、AB//CD，AB=DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；
C、AB//CD，AD//BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；
D、∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故选：A．
7.B
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD=BC，
∵点E是AD的中点，
∴AD=2AE，AB=2OE，
∵△ABC的周长是10，
∴△AOE的周长=AE+OA+OE=12(AD+AB+AC)=12×10=5，
故选：B．
8.D
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0，
∴k≠0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ=(−2)2−4k×3≥0，
解得k≤13，
∴k的取值范围是k≤13且k≠0，
故选：D．
9.D
【详解】解：如图，延长BC交y轴于G，则BG⊥y轴，
，
∴∠OGC=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠GOC=30°，
∴CG=12OC=3，OG= 3CG=3 3，
由题意得：OP平分∠AOC，
∴∠AOP=∠COP，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA//BC，
∴∠AOP=∠CPO，
∴∠COP=∠CPO，
∴PC=OP=6，
∴PG=PC+CG=6+3=9，
∴点P的坐标为(9,3 3)，
故选：D．
10.C
【详解】解：由题知，
将x=−1代入关于x的方程得，
a−b+12=0．
因为一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，
所以a<0，b>0．
因为t=a+2b，且a=b−12，
所以t=b−12+2b=3b−12，
因为b>0，
所以3b−12>−12，
即t>−12．
同理可得，t<1，
所以−12
11.(a+2)(a−2)
【详解】解：a2−4=(a+2)(a−2)．
12.18
【详解】解：∵正五边形的每个内角度数为(5−2)×180°÷5=108°，正方形的每个内角等于90°，
∴∠1=108°−90°=18°，
故答案为：18．
13.−3
【详解】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2t=−6，
解得t=−3，
即方程的另一个根为−3．
故答案为：−3．
14.7
【详解】解：由题意得3x+2=2x−1，
去分母得，3(x−1)=2(x+2)，
去括号得，3x−3=2x+4，
移项得，3x−2x=4+3，
解得x=7，
经检验x=7是原方程的解，
所以原方程的解为x=7，
故答案为7．
15.6
【详解】解：连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，四边形BGFE是正方形，
∴∠DBC=45°，∠FBG=45°，
∴∠DBF=90°，
∵AB=AD=3，BE=EF=4，
∴BD=3 2，BF=4 2，
∴S△DBF=12BD⋅BF=12，
∵H是DF中点，
∴S△BHF=12S△DBF=6．
故答案为：6．
16. 2：1
【详解】解：如图，设AD=BC=x.过点P作PH⊥AC于H．
由翻折的性质可知，PA=PC=BC=AD=x，
∵∠EPC=150°，∠APE=∠D=90°，
∴∠APC=120°，
∵PH⊥AC，
∴AH=CH，∠APH=∠CPH=60°，
∴∠PAH=∠CPH=30°，PH=12AP，
∴AC=2AH=2⋅ PA2−12PA2= 3x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴CD=AB= AC2−AD2= ( 3x)2−x2= 2x，
∴ABAD= 2xx= 2．
故答案为 2：1．
17.解：解不等式①得x≤−1，
解不等式②得x>−4，
故原不等式组的解集为−4
18.解：原式=(m+1m+1−4m+1)÷(m+3)(m−3)m+3
=m+1−4m+1÷(m−3)
=m−3m+1⋅1m−3
=1m+1，
当m=2时，原式=13．
19.证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠BCF，
又∵AE=CF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴DE=BF．
20.解：x2−2x=0，
x(x−2)=0，
则x=0或x−2=0，
所以x1=0，x2=2．
(2)2x2−7x+6=0，
(x−2)(2x−3)=0，
则x−2=0或2x−3=0，
所以x1=2,x2=32．
21.(−2,0)
【详解】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)旋转中心Q的坐标为(−2,0)，
故答案为：(−2,0)．
22.(1)证明：∵CE⊥AB，
∴∠CEA=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∵∠ABO=∠ACE，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AO⊥OB，
∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，BD=4，
∴OA=OC，BD⊥AC，OB=OD=2，
∴∠AOB=90°，
∴OA= AB2−OB2= 40−4=6，
∴AC=2OA=12，
∵CE⊥AB，
∴OE=12AC=6．
23.解：(1)设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是(x+0.2)元，
由题意得：16x+0.2=12x，
解得：x=0.6，
经检验，x=0.6是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.2=0.6+0.2=0.8，
答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元；
(2)解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(15−m)个，
由题意得：15−m≤2m，
解得：m≥5，
设所需费用为w元，
由题意得：w=0.8m+0.6×(15−m)=0.2m+9，
∵0.2>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=5时，w取得最小值=0.2×5+9=10，
答：购买这批充电桩所需的最少总费用为10万元．
24.3 10
【详解】问题1：解：如图，连接BP，BE，
∵正方形ABCD的边长为9，DE=2CE，
∴BC=CD=9，DE=6，CE=3，∠ACB=∠ACD=45°，
∴BE= BC2+CE2= 81+9=3 10，
∵CP=CP，∠ACB=∠ACD=45°，BC=DC，
∴△BCP≌△DCP(SAS)，
∴BP=PD，
∴PE+PD=PB+PE，
∴当点P，点B，点E三点共线时，PE+PD有最小值为BE的长，
∴PE+PD的最小值为3 10，
故答案为：3 10；
问题2：(1)作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，
∵点B(4,2)，
∴B′(4,−2)，
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
∵点A(−2,4)，点B′(4,−2)．
∴4=−2k+b−2=4k+b，解得：k=−1b=2，
∴直线AB′的解析式为y=−x+2，
当y=0时，−x+2=0，解得：x=2，
∴点P的坐标(2,0)；
(2)∵点B关于x轴的对称点B′，
∴PB=PB′，
∴PA+PB=PA+PB′，
∴当点A，点P，点B′三点共线时，PA+PB的最小值为AB′的长，
∵B′(4,−2)，点A(−2,4)，
∴AB′= (4+2)2+(−2−4)2=6 2，
∴PA+PB的最小值为6 2；
问题3：如图5，过A作AE⊥CD，交BD于P，连接CP，
此时线段PE+PC最小，且PE+PC=AE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD=12BD=8，OC=12AC=6，
∴DC= OD2+OC2= 64+36=10，
∵S菱形ABCD=12×AC⋅BD=CD⋅AE，
即：12×12×16=10×AE，
∴AE=9.6
∴PE+PC的最小值是9.6．
25.解：(1)在y=−2x+1中，令x=−1得y=2+1=3，
∴B(−1,3)，
把B(−1,3)代入y=kx+4得：
3=−k+4，
解得k=1，
∴y=x+4，
∴B的坐标是(−1,3)，k的值为1；
(2)∵S△ACD=2S△ABC，
∴12×AC×|xD|=2×12×AC×|xB|，
∴|xD|=2|xB|=2，
∴点D的横坐标为2或−2，
∴点D的坐标为(−2,2)或(2,6)；
(3)∵以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形，
设点F(m,n)，
当平行四边形为▱ABCF时，
根据题意，
m=0−(−1)=1，n−1=4−3，
∴m=1，n=2，
∴F(1,2)；
当平行四边形为▱ACBF时，
根据题意，
0−0=m−(−1)，4−1=n−3，
∴m=−1，n=6，
∴F(−1,6)；
当平行四边形为▱ABFC时，
根据题意，
0−m=0−(−1)=1，n−1=3−4，
∴m=−1，n=0，
∴F(−1,0)；
∴F(−1,6)或F(−1,0)或F(1,2)．
26.AE=CF AE⊥CF
【详解】解：(1)AE=CF；AE⊥CF；理由如下，
如图所示，连接AD，CF交AE于点M，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ACD=∠DAC=45°，
∴AD=CD，
∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，
∴DE=DF，∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中，
AD=CD∠EDA=∠FDCDE=DF，
∴△AED≌△CFD(SAS)，
∴AE=CF，∠AED=∠CFD，
∵∠CFD+∠MFD=180°，
∴∠AED+∠MFD=180°，
∴∠EMF+∠EDF=180°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EMF=90°，
∴AE⊥CF，
故答案为：AE=CF；AE⊥CF；
(2)CE−AE= 2DE；
证明：如图2所示，连接AD，
由(1)可知，△AED≌△CFD(SAS)，
∴∠EAD=∠FCD，AE=CF，
∴CE=CF+EF=AE+EF，
∴CE−AE=CE−CF=EF，
∵△DEF是等腰直角三角形，即DE=DF，
∴EF2=DE2+DF2=2DE2，
∴EF= 2DE= 2DF，
∴CE−AE= 2DE；
(3)DE的长为 6−22或2+ 62.理由如下：
AB= 5，AE= 2，C、E、N三点共线，
①由(2)可知，CE−AE= 2DE，如图3，
由(1)可知，∠EAD=∠FCD，
∵∠ACD=∠ACE+∠FCD=45°，∠DCF+∠FCA+∠DAC=90°，
∴∠EAD+∠FCA+∠DAC=90°，
∴∠AEC=90°，
在Rt△ACE中，AB=AC= 5，AE=CF= 2，
∴CE= AC2−AM2= 5−2= 3，
∴EF=CE−CF= 3− 2，
∴DE= 22FE= 6−22；
②如图4所示，由(1)可知，△ADE≌△CDN，AE=CF= 2，∠DAE=∠DCF，
∴∠DAE+∠EAC+∠ACD=∠DCF+∠EAC+∠ACD=90°，
∴△AEC是直角三角形，
∴CE= AC2−AE2= 5−2= 3，
∴EF=CF−CE= 2− 3(不符合题意舍去)；
③如图5，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠F=∠DEF=45°，
同法可证△ADE≌△CDF，
∴∠AED=∠F=45°，
∴∠AED+∠DEF=45°+45°=90°，即△ACM是直角三角形，
在Rt△ACE中，AB=AC= 5，AE=CF= 2，
∴CE= AC2−AE2= 5−2= 3，
∴EF=CE+CF= 2+ 3，
∵EF= 2DE，
∴DE= 2EF2= 2( 2+ 3)2=2+ 62；
综上所述，DE的长为 6−22或2+ 62．
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