2022-2023学年山东省滨州市邹平市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年山东省滨州市邹平市九年级（上）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）疫情防控期间，无数医护人员坚守在抗疫防疫第一线，下列有关医护的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ）
A．0B．±1C．1D．﹣1
3．（3分）《九章算术》中“勾股”章有一个问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈（1丈＝10尺，1尺＝10寸），问户高、广各几何？意思是：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门的宽为x尺，下列方程中正确的是（ ）
A．x2+（x+6.8）2＝102B．x2+（x﹣6.8）2＝12
C．x2+102＝（x+6.8）2D．x2÷（x÷6.8）2＝12
4．（3分）盒子里有大小，材质完全相同的红球、黄球、绿球各5个，亮亮每次任意摸出一个球，然后放回再摸．亮亮前两次摸球连续摸到黄球，当亮亮第三次摸球时，下列说法正确的是（ ）
A．一定摸到黄球
B．摸到黄球的可能性大
C．不可能摸到黄球
D．摸到红球，黄球，绿球的可能性一样大
5．（3分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），为了了解该图案的面积是多少，我们采取了以下办法：用一个长为a，宽为b的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），现将若干次有效实验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此估计不规则图案的面积大约是（ ）
A．a2B．abC．b2D．ab
6．（3分）如图，点D在△ABC的边AC上，若要添加一个条件使得△ADB∽△ABC，则下列条件中不能满足要求的是（ ）
A．∠ABD＝∠CB．C．∠ADB＝∠ABCD．
7．（3分）如图，同一坐标系中，直线y＝ax﹣b（ab≠0）与双曲线大致位置错误的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）图所示的四种画法中，能使得△DEF是△ABC位似图形的有（ ）
A．①②B．③④C．①③④D．①②③④
9．（3分）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝30米，拱高CD＝5米，则拱桥的半径为（ ）
A．12.5米B．15米C．25米D．92.5米
10．（3分）如图，Rt△BCO中，∠BCO＝90°，∠CBO＝30°，BO＝4cm，将△BCO绕点O逆时针旋转至△B′C′O，点C'在BO延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．πcm2B．
C．4πcm2D．
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
若（x1，y1）、（x2，y2）是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（ ）
A．m＝12B．顶点的坐标是（0，﹣3）
C．当x1＞x2＞0时，y1＞y2D．图象开口向下
12．（3分）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
①AB＝30m；
②池底所在抛物线的解析式为；
③池塘最深处到水面CD的距离为3.2m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为1.2m．其中结论错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.
13．（4分）若关于x的方程2x2+m﹣1＝2x有两个相等的实数根，则m＝ ．
14．（4分）如图，将一个圆形转盘划分为红、黄、蓝三个扇形区域，且使得随机转动转盘时，指针停止后落在红色区域的概率是，那么该红色区域的圆心角度数为 °．
15．（4分）如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n＝ ．
16．（4分）如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，则AD的长为 ．
17．（4分）将抛物线y＝先向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，可得到抛物线y＝﹣6x+21．
18．（4分）如图，曲线AB是抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的一部分，其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点；曲线BC是双曲线的一部分，曲线AB与BC组合的图形由点C开始不断向右重复，形成一组“波浪线”．若点D（2023，m）在该“波浪线”上，则m＝ ．
三、解答题：本大题共6个小题，满分0分.解答时请写出必要的演推过程.
19．“天宫课堂”激发了学生们学习航天知识的热情，小伟和小刚在学校举办的航天知识竞赛中均获得了一等奖，学校想请其中一人作为代表分享获奖心得．小伟和小刚都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享．游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为3，4，5，6，7的五个球，两口袋中的球除编号外无其他差别．小伟先从甲口袋中随机摸出一个球，小刚再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小伟获胜；若两球编号之和为偶数，则小刚获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
20．按要求解下列方程：
（1）用配方法解方程：4x2﹣3＝6x；
（2）用公式法解方程：5x2+2x﹣1＝0．
21．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”，小明利用此定律，要制作一个杠杆撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200N和0.5m．
（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大的力？
（2）若想使动力F不超过（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
22．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．通过调查市场行情发现销售该水果不会亏本．
（1）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？
（2）若某个月的水果销售量不少于400千克，当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？最大月利润是多少？
23．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，连接CB、OP，OP交AB于点D．
求证：
（1）OP∥CB；
（2）2OA2＝OP•BC．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2x+b与x轴的两个交点为A（1，0）和B（﹣3，0），与y轴的交点为C，顶点为点D．
（1）求a、b的值；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M（0，m）使得△MBD是以BD为斜边的直角三角形，其中0＜m＜4，求此时m的值．
2022-2023学年山东省滨州市邹平市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12个小题，每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题涂对得3分，满分36分.
1．（3分）疫情防控期间，无数医护人员坚守在抗疫防疫第一线，下列有关医护的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ）
A．0B．±1C．1D．﹣1
【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a﹣1≠0，进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，
∴a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，
则a的值为：a＝﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
3．（3分）《九章算术》中“勾股”章有一个问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈（1丈＝10尺，1尺＝10寸），问户高、广各几何？意思是：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门的宽为x尺，下列方程中正确的是（ ）
A．x2+（x+6.8）2＝102B．x2+（x﹣6.8）2＝12
C．x2+102＝（x+6.8）2D．x2÷（x÷6.8）2＝12
【分析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．
【解答】解：根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键．
4．（3分）盒子里有大小，材质完全相同的红球、黄球、绿球各5个，亮亮每次任意摸出一个球，然后放回再摸．亮亮前两次摸球连续摸到黄球，当亮亮第三次摸球时，下列说法正确的是（ ）
A．一定摸到黄球
B．摸到黄球的可能性大
C．不可能摸到黄球
D．摸到红球，黄球，绿球的可能性一样大
【分析】因为盒子里红球、黄球、绿球的个数相等，所以亮亮每次任意摸出一个球，摸到三种颜色球的可能性一样大．
【解答】解：当亮亮第三次摸球时，摸到红球，黄球，绿球的可能性一样大；
故选：D．
【点评】本题考查可能性大小的判断，理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，数量相同，可能性也相同．
5．（3分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），为了了解该图案的面积是多少，我们采取了以下办法：用一个长为a，宽为b的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），现将若干次有效实验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此估计不规则图案的面积大约是（ ）
A．a2B．abC．b2D．ab
【分析】首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【解答】解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为ab m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：＝0.35，解得x＝．
故选：B．
【点评】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
6．（3分）如图，点D在△ABC的边AC上，若要添加一个条件使得△ADB∽△ABC，则下列条件中不能满足要求的是（ ）
A．∠ABD＝∠CB．C．∠ADB＝∠ABCD．
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可．
【解答】解：A．若∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；
B．若，其夹角不相等则不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；
C．若∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；
D．若，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
7．（3分）如图，同一坐标系中，直线y＝ax﹣b（ab≠0）与双曲线大致位置错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数图象所在象限，确定出a，b的符号，再根据反比例函数图象所在的象限，确定出a，b的符号，至此找出一次函数和反比例函数a，b的符号一致的选项即可．
【解答】解：A．由一次函数图象知a，﹣b异号，即a，b同号，由反比例函数图象知a，b同号，正确，不符合题意；
B．由一次函数图象知a，﹣b异号，即a，b同号，由反比例函数图象知a，b异号，故该选项错误，符合题意；
C．由一次函数图象知a，﹣b异号，即a，b同号，由反比例函数图象知a，b同号，正确，不符合题意；
D．由一次函数图象知a，﹣b异号，即a，b同号，由反比例函数图象知a，b同号，正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于确定出a，b的符号，明确系数与函数图象的关系．
8．（3分）图所示的四种画法中，能使得△DEF是△ABC位似图形的有（ ）
A．①②B．③④C．①③④D．①②③④
【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解．
【解答】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行
∴①②③④能使得△DEF是△ABC位似图形，
故选：D．
【点评】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝30米，拱高CD＝5米，则拱桥的半径为（ ）
A．12.5米B．15米C．25米D．92.5米
【分析】设圆心是O，半径为r米，连接OA、OD．根据垂径定理得AD＝15米，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接OA、OD．则O、D、C三点共线，
∵拱高CD＝5米，
∴OC⊥AB，
∴（米），
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得：r2＝152+（r﹣5）2，
解得：r＝25，
即拱桥的半径为25米，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
10．（3分）如图，Rt△BCO中，∠BCO＝90°，∠CBO＝30°，BO＝4cm，将△BCO绕点O逆时针旋转至△B′C′O，点C'在BO延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．πcm2B．
C．4πcm2D．
【分析】根据旋转的性质得出OC＝OC'，∠COC'＝∠BOB'，OB＝OB'＝4cm，S△COB＝S△C'OB'，然后求出∠COB＝60°，，∠COC'＝∠BOB'＝120°，根据图形得出阴影部分的面积S＝S扇形BOB'+S△C'OB'﹣S扇形COC'﹣S△COB＝S扇形BOB'﹣S扇形COC'，再求出答案即可．
【解答】解：∵将△BCO绕点O逆时针旋转至△B'C'O，∠OBC＝30°，
∴OC＝OC'，∠COC'＝∠BOB'，OB＝OB'＝4cm，S△COB＝S△C'OB'，
∵∠BCO＝90°，∠OBC＝30°，
∴∠COB＝90°﹣∠OBC＝60°，，
∴∠COC'＝180°﹣∠COB＝120°，
∴∠BOB'＝120°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形BOB'+S△C'OB'﹣S扇形COC'﹣S△COB＝S扇形BOB'﹣S扇形COC'＝＝＝4π（cm2），
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，旋转的性质，直角三角形的性质等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
若（x1，y1）、（x2，y2）是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（ ）
A．m＝12B．顶点的坐标是（0，﹣3）
C．当x1＞x2＞0时，y1＞y2D．图象开口向下
【分析】由抛物线经过（﹣3，0），（1，0），（0，﹣3）可得抛物线解析式，进而得出对称轴及开口方向，进而求解．
【解答】解：∵抛物线经过（﹣3，0），（1，0），（0，﹣3），
设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将（0，﹣3）代入得，﹣3＝﹣3a，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，4），故B、D选项错误，
∴当x1＞x2＞0时，y随x的增大而增大，
∴y1＞y2，故C选项正确，
由抛物线对称性可得（3，12）与（﹣5，12）关于对称轴对称，
∴x＝﹣4时，y＝m＜12，故A选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
12．（3分）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
①AB＝30m；
②池底所在抛物线的解析式为；
③池塘最深处到水面CD的距离为3.2m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为1.2m．其中结论错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】计算AB长度，由图象可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可．
【解答】解：①由题可知，AB＝15﹣（﹣15）＝30m，则①正确；
②对称轴为y轴，交y轴于点（0，﹣5），设函数解析式为y＝ax2﹣5，
将点（15，0）代入解析式得0＝152a﹣5，
解得，
池底所在抛物线解析式为，则②正确；
③将x＝12代入解析式得，
解得y＝﹣1.8，
则池塘最深处到水面CD的距离为（﹣1.8）﹣（﹣5）＝3.2 m，则③正确；
④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12m时，
将x＝6代入，得y＝﹣4.2，
可知此时最深处到水面的距离为5﹣4.2＝0.8（m），故④不正确，
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的图象与性质的实际应用，关键是结合图象设出适当的解析式，利用待定系数法求解．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.
13．（4分）若关于x的方程2x2+m﹣1＝2x有两个相等的实数根，则m＝ 2 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【解答】解：∵有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
则，
∴Δ＝b2﹣4ac＝8﹣8（m﹣1）＝0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
14．（4分）如图，将一个圆形转盘划分为红、黄、蓝三个扇形区域，且使得随机转动转盘时，指针停止后落在红色区域的概率是，那么该红色区域的圆心角度数为 75 °．
【分析】根据概率等于扇形的面积比，扇形的面积比等于圆心角度数的比，进而即可求解．
【解答】解：依题意，该红色区域的圆心角度数为，
故答案为：75．
【点评】本题考查了几何概率，理解题意是解题的关键．
15．（4分）如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n＝ 12 ．
【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOB＝90°，∠AOC＝120°，则∠BOC＝30°，即可得到n的值．
【解答】解：连接OA、OB、OC，如图，
∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝120°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，
∴n＝＝12，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12．
【点评】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
16．（4分）如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，则AD的长为 4 ．
【分析】先证明△ADE∽△ACB，得出对应边成比例，即可求出AD的长．
【解答】解：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝90°＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
即，
解得：AD＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
17．（4分）将抛物线y＝先向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，可得到抛物线y＝﹣6x+21．
【分析】把化成顶点式，再根据二次函数的平移规律进行判断解答即可．
【解答】解：∵，
∴将抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线．
故答案为：6，3．
【点评】此题考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．
18．（4分）如图，曲线AB是抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的一部分，其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点；曲线BC是双曲线的一部分，曲线AB与BC组合的图形由点C开始不断向右重复，形成一组“波浪线”．若点D（2023，m）在该“波浪线”上，则m＝ ．
【分析】根据题意求出点A、B、C的坐标和k的值，然后根据图像可知，每重复一次，纵坐标下降，依此列式可以求出m值．
【解答】解：y＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴B（1，3），
当x＝0时，y＝﹣2（0﹣1）2+3＝1，
∴A（0，1），
将B点坐标代入，
∴k＝3，
则双曲线的解析式为，
将x＝4代入双曲线解析式可得，
∴，
∴，
∴每重复一次，纵坐标减小，
∵2023÷4＝505…3，
∵，
当x＝3时，，
则1﹣1＝0，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的顶点坐标求解，待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数图象上点坐标的特点，熟练掌握二次函数顶点的求解以及总结规律是解题的关键．
三、解答题：本大题共6个小题，满分0分.解答时请写出必要的演推过程.
19．“天宫课堂”激发了学生们学习航天知识的热情，小伟和小刚在学校举办的航天知识竞赛中均获得了一等奖，学校想请其中一人作为代表分享获奖心得．小伟和小刚都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享．游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为3，4，5，6，7的五个球，两口袋中的球除编号外无其他差别．小伟先从甲口袋中随机摸出一个球，小刚再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小伟获胜；若两球编号之和为偶数，则小刚获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【分析】画出树状图，找到所有可能结果数，再分别找到两球编号之和为奇数和两球编号之和为偶数的情况数，进行求解，即可做出判断．
【解答】解：根据题意，画树状图如下：
由图可知，总共由10种等可能的情况，其中两球编号之和为奇数有5种，两球编号之和为偶数有5种，
∴两球编号之和为奇数的概率为，两球编号之和为偶数的概率为，
∴这个游戏对双方是公平的．
【点评】此题考查了树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图或列表法是解题的关键．
20．按要求解下列方程：
（1）用配方法解方程：4x2﹣3＝6x；
（2）用公式法解方程：5x2+2x﹣1＝0．
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）4x2﹣3＝6x，
原方程化为：，
∴，
∴，
解得：，
（2）5x2+2x﹣1＝0，
∵a＝5，b＝2，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝4+20＝24＞0，
∴
解得：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”，小明利用此定律，要制作一个杠杆撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200N和0.5m．
（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大的力？
（2）若想使动力F不超过（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
【分析】（1）根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，可得出F与l的函数关系式，将l＝1.5m代入可求出F；
（2）根据（1）的答案，可得F≤200，解出l的最小值，即可得出动力臂至少要加长多少．
【解答】解：（1）Fl＝1200×0.5＝600，
则F＝；
当l＝1.5m时，F＝＝400N；
（2）由题意得，F＝≤200，
解得：l≥3m，
故至少要加长1.5m．
答：若想使动力F不超过（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长1.5m．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，结合物理知识进行考察顺应了新课标理念，立意新颖，注意物理学知识：动力×动力臂＝阻力×阻力臂．
22．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．通过调查市场行情发现销售该水果不会亏本．
（1）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？
（2）若某个月的水果销售量不少于400千克，当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？最大月利润是多少？
【分析】（1）设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；
（2）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8000＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
解得：x1＝60，x2＝80，
答：每千克水果售价为60元或80元；
（2）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，
因为水果销售量不少于400千克，
所以，500﹣10（m﹣50）≥400，
解得，m≤60，
∵﹣10＜0，当m＜70时，y随x增大而增大，
∴当m＝60时，y＝﹣10（60﹣70）2+9000＝8000，即y有最大值为8000元，
答：当每千克水果售价为60元时，获得的月利润最大值为8000元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质．
23．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，连接CB、OP，OP交AB于点D．
求证：
（1）OP∥CB；
（2）2OA2＝OP•BC．
【分析】（1）根据切线长定理得出PA＝PB，∠APO＝∠BPO，根据三线合一得出PO⊥AB，根据AC是⊙O的直径，得出AB⊥BC，即可得证；
（2）根据（1）的结论得出△AOD∽△ACB，进而得出，证明△AOD∽△POA得出AO2＝OP•OD，即可得证．
【解答】证明：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO，
∴PO⊥AB，
∵AC是⊙O的直径，
∴AB⊥BC，
∴OP∥CB；
（2）由（1）知OP∥CB，
∴△AOD∽△ACB，
∴，即，
∵AD⊥OP，OA⊥AP，
∴∠OAD＝90°﹣∠DAP＝∠APO，
∴△AOD∽△POA，
∴，
∴AO2＝OP•OD，
∵，
∴AO2＝OP•BC，
即2OA2＝OP•BC．
【点评】本题考查了切线长定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2x+b与x轴的两个交点为A（1，0）和B（﹣3，0），与y轴的交点为C，顶点为点D．
（1）求a、b的值；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M（0，m）使得△MBD是以BD为斜边的直角三角形，其中0＜m＜4，求此时m的值．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，设P（﹣1，p），根据勾股定理得出PC2＝1+（p﹣3）2，PA2＝（1+1）2+p2，进而解方程即可求解；
（3）设点Q为BD的中点，则Q（﹣2，2），如图所示，以Q为圆心为半径作圆，交y轴于点M，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）将A（1，0）和B（﹣3，0）代入y＝ax2﹣2x+b得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
（2）由y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，解得：y＝3，
∴C（0，3）
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，顶点坐标为D（﹣1，4），对称轴为直线x＝﹣1，
点P为该抛物线对称轴上的一个动点，
设P（﹣1，p），
∵A（1，0），
∴PC2＝1+（p﹣3）2，PA2＝（1+1）2+p2，
∵PA＝PC，
∴1+（p﹣3）2＝（1+1）2+p2，
解得：p＝1，
∴点P的坐标为（﹣1，1）；
（3）∵B（﹣3，0），D（﹣1，4），
∴，
∵点M（0，m），其中0＜m＜4，使得△MBD是以BD为斜边的直角三角形，
设点Q为BD的中点，则Q（﹣2，2），如图所示，以Q为圆心为半径作圆，交y轴于点M，
∴，
即22+（2﹣m）2＝5，
解得：m＝1或m＝3．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，线段问题，特殊三角形问题，直径所对的圆周角是直角，掌握以上知识是解题的关键．
x
…
﹣4
﹣3
0
1
3
…
y
…
m
0
﹣3
0
12
…
x
…
﹣4
﹣3
0
1
3
…
y
…
m
0
﹣3
0
12
…