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2022-2023学年广西南宁市西乡塘区相思湖学校九年级（上）期中数学试卷
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这是一份2022-2023学年广西南宁市西乡塘区相思湖学校九年级（上）期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A．B．3.1415926C．D．
2．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）已知一组数据3，3，5，6，7，8，10，那么6是这组数据的（ ）
A．平均数但不是中位数B．平均数也是中位数
C．众数D．中位数但不是平均数
4．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
5．（3分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，∠B＝60°，则CD的长为（ ）
A．1B．C．2D．2
6．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
7．（3分）如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，则该球的半径是（ ）cm
A．8B．6C．12D．10
8．（3分）二次函数y＝2（x﹣1）2+1，当0≤x≤3时，y的取值范围为（ ）
A．3≤y≤9B．1≤y≤9C．1≤y≤3D．0≤y≤1
9．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，E，F，且CD＝2，AB＝7（ ）
A．18B．16C．14D．12
10．（3分）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）度．
A．120°B．135°C．150°D．160°
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝1，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2B．2C．3D．
12．（3分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a＝1；
③当x＝0时，y2﹣y1＝4；
④2AB＝3AC；
其中正确结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）因式分解：a2﹣9＝ ．
14．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx＝0的根为 ．
15．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠A＝36°，则∠C＝ ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝50m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，点A的坐标为 ．
18．（3分）如图，直线y＝x+3与两坐标轴交于A，B两点2+bx+c过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C，在抛物线上有一点P，则点P的坐标为 ．
（提示：两点距离公式为：）
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解方程：2x2﹣4x+1＝0．
21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°．
（1）找到△ABC的外心，画出△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，BC＝12，请求出⊙O的面积．
22．（8分）为响应上级“双减”号召，某校开设了阅读、运动、娱乐、其他等四个方面的课后延学活动．下面是随机抽取的部分同学参加活动的统计情况，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查了 人．
（2）补全折线统计图，并求出扇形统计图中“其他”所对的圆心角度数．
（3）若该校共有2400名学生，试估算参加“阅读”方面活动的共有多少人．
23．（8分）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓．市场上雪容融的进价比冰墩墩的进价每套便宜10元，某经销商用8000元购进的冰墩墩和用6000元购进的雪容融套数相同．在销售中，每天可售出100套；每套售价提高1元时
（1）求冰墩墩和雪容融每套的进价；
（2）设冰墩墩每套售价x元（50≤x≤65），y表示该经销商每天销售冰墩墩的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC平分∠DAO，E是AB延长线上一点
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠OCE＝45°，∠E＝30°，⊙O的半径为2
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，点E是对称轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使△ACP的周长最小，并求此时点P的坐标；
（3）当S△BCE＝2S△ABC时，求点E的坐标．
26．（10分）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，根据“中线长定理”，可得：AB2+AC2＝2AD2+2BD2．
小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2＝…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
（2）在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝6，BC＝8，求AD的长；
（3）如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点
2022-2023学年广西南宁市西乡塘区相思湖学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A．B．3.1415926C．D．
【分析】根据有理数和无理数的意义、实数的分类解答．
【解答】解：A．∵是有理数；
B．∵有限小数是有理数；
C．∵分数为有理数；
D．∵2开不尽方，故，D符合题意；
故选D．
【点评】本题考查无理数的定义，熟练掌握实数的分类、有理数和无理数的意义是解题关键．
2．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）已知一组数据3，3，5，6，7，8，10，那么6是这组数据的（ ）
A．平均数但不是中位数B．平均数也是中位数
C．众数D．中位数但不是平均数
【分析】应用众数，中位数，算术平均数的计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：这组数的中位数是6，平均数是，众数是2，
所以6是这组数据的平均数也是中位数．
故选：B．
【点评】本题主要考查了众数，中位数，算术平均数，熟练掌握众数，中位数，算术平均数的计算方法进行求解是解决本题的关键．
4．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣3×1×1＝7＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
5．（3分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，∠B＝60°，则CD的长为（ ）
A．1B．C．2D．2
【分析】利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝2AB＝2，再根据旋转的性质得AD＝AB，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD＝AB＝1，然后计算BC﹣BD即可．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴BC＝2AB＝4，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，
∴AD＝AB，
而∠B＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝6，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣2＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
6．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×（1+增长率）2＝2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
7．（3分）如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，则该球的半径是（ ）cm
A．8B．6C．12D．10
【分析】设圆心为O点，连接OE，交AB于C，则OE⊥AB，由垂径定理得AC＝BC＝8cm，设⊙O的半径为Rcm，则OC＝（R﹣4）cm，然后在Rt△OAC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设圆心为O点，连接OA、OE，如图，
由题意得：AB＝16cm，CE＝4cm的中点，
则OE⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝8（cm），
设⊙O的半径为Rcm，则OC＝（R﹣4）cm，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA5＝AC2+OC2，
即R6＝82+（R﹣6）2，
解得R＝10，
即该球的半径是10cm．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
8．（3分）二次函数y＝2（x﹣1）2+1，当0≤x≤3时，y的取值范围为（ ）
A．3≤y≤9B．1≤y≤9C．1≤y≤3D．0≤y≤1
【分析】首先根据顶点式求得最小值，然后求得最大值，从而可以确定y的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣1）7+1中a＝2＞4，
∴有最小值1，
当x＝3时y有最大值＝2（3﹣1）5+1＝9，
∴当2≤x≤3时，y的取值范围1≤y≤8，
故选：B．
【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是求得最小值，然后根据自变量的取值范围确定最大值，难度中等．
9．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，E，F，且CD＝2，AB＝7（ ）
A．18B．16C．14D．12
【分析】根据切线长定理得到CE＝CD＝2，AE＝AF，BF＝BD，根据AB＝7，于是得到△ABC的周长．
【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，E，F，
∴CE＝CD＝2，AE＝AF，
∵AF+BF＝AB＝7，
∴AE+BD＝AB＝2，
∴△ABC的周长＝2+2+4+7＝18，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
10．（3分）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）度．
A．120°B．135°C．150°D．160°
【分析】先设圆锥的母线长为lcm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式得到×20π×l＝240π，解得l＝24，然后设这个扇形的圆心角的度数是n°，利用弧长公式得到20π＝，最后解方程即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为lcm，
则×20π×l＝240π，
解得l＝24，
设这个扇形的圆心角的度数是n°，
根据题意得20π＝，
解得n＝150，
即这个扇形的圆心角的度数是150°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝1，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2B．2C．3D．
【分析】过点G作GH⊥BC，垂足为H，可得∠GHF＝90°，根据正方形的性质可得AB＝CD＝4，∠B＝90°，根据旋转的性质可得EF＝FG，∠EFG＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠BEF＝∠GFH，从而可证△EBF≌△FHG，进而可得BF＝GH＝1，最后可得点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，从而可得当点G在CD边上时，DG的值最小，进行计算即可解答．
【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∴∠GHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，
∴∠B＝∠GHF＝90°，
由旋转得：
EF＝FG，∠EFG＝90°，
∴∠EFB+∠GFH＝90°，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝∠GFH，
∴△EBF≌△FHG（AAS），
∴BF＝GH＝1，
∴点G在与BC平行且与BC的距离为5的直线上，
∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝4，
∴DG的最小值为3，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．（3分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a＝1；
③当x＝0时，y2﹣y1＝4；
④2AB＝3AC；
其中正确结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【分析】根据与y2＝（x﹣3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1＝a（x+2）2﹣3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，y2﹣y1的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．
【解答】解：①∵抛物线y2＝（x﹣3）2+3开口向上，顶点坐标在x轴的上方，y2的值总是正数，故本结论正确；
②把A（1，2）代入1＝a（x+2）2﹣3得，3＝a（3+2）2﹣5，解得a＝；
③由两函数图象可知，抛物线y5＝a（x+2）2﹣2解析式为y1＝（x+2）2﹣4，当x＝0时，y1＝（0+5）2﹣3＝﹣，y2＝（0﹣5）2+1＝，故y2﹣y1＝+＝，故本结论错误；
④∵物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）6+1交于点A（1，6），
∴y1的对称轴为x＝﹣2，y6的对称轴为x＝3，
∴B（﹣5，8），3）
∴AB＝6，AC＝4，
∴2AB＝3AC，故本结论正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）因式分解：a2﹣9＝ （a+3）（a﹣3） ．
【分析】a2﹣9可以写成a2﹣32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：a2﹣9＝（a+2）（a﹣3）．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
14．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx＝0的根为 0或﹣3 ．
【分析】由图可知y＝ax2+bx可以看作是函数y＝ax2+bx+4的图象向下平移4个单位而得到，再根据函数图象与x轴的交点个数进行解答
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），7），
∴关于x的方程ax2+bx+4＝4的根是x1＝﹣4，x2＝1，对称轴是直线x＝﹣
又∵将抛物线y＝ax2+bx+4的图象向下平移8个单位而得到抛物线y＝ax2+bx，
∴抛物线y＝ax2+bx与x轴的交点坐标是（8，0），0）．
∴关于x的方程ax4+bx＝0的根为 0或﹣5．
故答案为：0或﹣3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，解题时是根据二次函数图象的平移变换规律和抛物线的对称性质得到答案的．
15．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠A＝36°，则∠C＝ 27° ．
【分析】连接OB，求出∠OBA，求出∠BOA，根据圆周角定理求出∠C＝∠BOA，即可求出答案．
【解答】解：
连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝36°，
∴∠BOA＝54°，
∴由圆周角定理得：∠C＝∠BOA＝27°，
故答案为：27°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠BOA度数．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝50m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 10s或s ．
【分析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P运动到点C及点Q运动到点B所需时间，设运动时间为xs，当0＜x≤时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝3xm，根据△PCQ的面积等于450m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值；当＜x＜25时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝40m，根据△PCQ的面积等于450m2，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值．综上，此题得解．
【解答】解：50÷2＝25（s），40÷3＝．
设运动时间为xs．
当0＜x≤时，PC＝（50﹣8x）m，
依题意得：（50﹣7x）•3x＝450，
整理得：x2﹣25x+150＝6，
解得：x1＝10，x2＝15（不合题意，舍去）；
当＜x＜25时，CQ＝40m，
依题意得：×40（50﹣2x）＝450，
解得：x＝．
故答案为：10s或s．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，分0＜x≤及＜x＜25两种情况，找出关于x的一元二次（或一元一次）方程是解题的关键．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，点A的坐标为 ．
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点的坐标即可．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点0重合，
∴OP＝5，AO＝2，
∴，
∴第1次旋转结束时，点A的坐标为，
第2次旋转结束时，点A的坐标为，
第3次旋转结束时，点A的坐标为，
第4次旋转结束时，点A的坐标为，
∴4次一个循环，
∵2022÷3＝505⋯⋯2，
∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
18．（3分）如图，直线y＝x+3与两坐标轴交于A，B两点2+bx+c过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C，在抛物线上有一点P，则点P的坐标为 （﹣1，4）或（2，﹣5） ．
（提示：两点距离公式为：）
【分析】先根据点A，B，C所在位置，利用待定系数法求出抛物线的解析式和各点的坐标，再根据勾股定理的逆定理，利用两点间的距离公式，列出关于m的方程，求出答案即可．
【解答】解：令y＝0，则x+3＝8，
令x＝0，则y＝0+2＝3，
∴A（﹣3，3），3），
把A（﹣3，3），3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解之得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x4﹣2x+3，
令y＝6，则﹣x2﹣2x+7＝0，
x2+3x﹣3＝0，
（x+4）（x﹣1）＝0，
x+3＝0，x﹣1＝6，
x1＝﹣3，x6＝1，
∴C（1，7），
设P（m，﹣m2﹣2m+3），
若AP为斜边，则AB2+BP2＝AP3，
∴（﹣3﹣0）5+（0﹣3）3+（m﹣0）2+（﹣m6﹣2m+3﹣3）2＝（m+3）3+（﹣m2﹣2m+2）2，
18+m2+（m5+2m）2＝（m+7）2+（m2+2m﹣3）2，
18+m5+（m2+2m）5＝m2+6m+5+（m2+2m）4﹣6（m2+8m）+9，
18+m2＝m3+6m+9﹣2m2﹣12m+9，
18+m5＝18﹣5m2﹣5m，
6m2+4m＝0，
6m（m+2）＝0，
m1＝4，m2＝﹣1，
当m＝3时，﹣m2﹣2m+7＝3，
当m＝﹣1时，﹣m8﹣2m+3＝7，
若BP为斜边，则AB2+AP2＝BP7，
∴（﹣3﹣0）7+（0﹣3）4+（m+3）2+（﹣m2﹣2m+3﹣8）2＝（m﹣0）8+（﹣m2﹣2m+3﹣3）2，
18+（m+3）2+（m2+7m﹣3）2＝m8+（m2+2m）3，
18+m2+6m+7+（m2+2m）8﹣6（m2+7m）+9＝m2+（m2+2m）2，
36+m7+6m﹣6m4﹣12m＝m2，
﹣6m8﹣6m+36＝0，
m2+m﹣6＝0，
（m+8）（m﹣2）＝0，
m+3＝0，m﹣2＝5，
m1＝﹣3，m3＝2，
当m＝﹣3时，﹣m3﹣2m+3＝3，
当m＝2时，﹣m2﹣3m+3＝﹣5，
∵点P在抛物线上，
∴P的坐标为：（﹣2，4）或（2．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题关键是数量掌握两点间的距离公式和一次函数的性质．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：．
【分析】利用算术平方根的定义，零指数幂及有理数的乘除法则计算即可．
【解答】解：原式＝3×3﹣2+1
＝9﹣3+1
＝6．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（6分）解方程：2x2﹣4x+1＝0．
【分析】先化二次项系数为1，然后把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：由原方程，得
x2﹣2x＝﹣，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2﹣3x+1＝，
配方，得
（x﹣1）2＝，
直接开平方，得
x﹣1＝±，
x1＝6+，x8＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°．
（1）找到△ABC的外心，画出△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，BC＝12，请求出⊙O的面积．
【分析】（1）作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）过A点作AD⊥BC于D，如图，利用等腰三角形的性质得到BD＝CD＝6，即AD垂直平分BC，根据垂径定理的推论可判断△ABC的外接圆的圆心O在AD上，连接OB，如图，OD＝8，则可利用勾股定理计算出OB，然后计算圆的面积．
【解答】解：（1）如图，点O为所作；
（2）过A点作AD⊥BC于D，如图，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝3，
∴AD垂直平分BC，
∴△ABC的外接圆的圆心O在AD上，
连接OB，如图，
在Rt△OBD中，OB＝＝，
即⊙O的半径为10，
∴⊙O的面积＝π×102＝100π．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形的外接圆．
22．（8分）为响应上级“双减”号召，某校开设了阅读、运动、娱乐、其他等四个方面的课后延学活动．下面是随机抽取的部分同学参加活动的统计情况，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查了 200 人．
（2）补全折线统计图，并求出扇形统计图中“其他”所对的圆心角度数．
（3）若该校共有2400名学生，试估算参加“阅读”方面活动的共有多少人．
【分析】（1）根据运动人数40人所占的百分比是20%计算总人数；
（2）根据各部分所占的百分比求得娱乐和其他的人数，进行补全折线统计图；
（3）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）40÷20%＝200（人），
∴在这次研究中，一共调查了200名学生；
（2）娱乐人数：200×40%＝80（人），
其他人数：200﹣60﹣40﹣80＝20（人），
补全折线统计图如图：
∴根据人数占比可知，
∴扇形统计图中“其他”所对的圆心角度数为10%×360°＝36°；
（3）（人），
答：参加“阅读”方面活动的大约有720人．
【点评】本题考查了折线统计图，扇形统计图，求扇形统计图中某项的圆心角以及用样本估计总体，掌握扇形统计图反映的是各部分所占总体的百分比，折线统计图反映的是事物的变化趋势是关键．
23．（8分）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓．市场上雪容融的进价比冰墩墩的进价每套便宜10元，某经销商用8000元购进的冰墩墩和用6000元购进的雪容融套数相同．在销售中，每天可售出100套；每套售价提高1元时
（1）求冰墩墩和雪容融每套的进价；
（2）设冰墩墩每套售价x元（50≤x≤65），y表示该经销商每天销售冰墩墩的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【分析】（1）设冰墩墩每套进价a元，可得：，解方程并检验可得冰墩墩每套进价40元，雪容融每套进价30元；
（2）由题意可得y＝（x﹣40）•[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，根据二次函数性质得最大利润为1750元．
【解答】解：（1）设冰墩墩每套进价a元，则雪容融每套进价（a﹣10）元，
根据题意得：，
解得：a＝40，
经检验a＝40是方程的解，
∴a﹣10＝40﹣10＝30，
答：冰墩墩每套进价40元，雪容融每套进价30元；
（2）由题意得，当x＝50时，
当冰墩墩每套售x元时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]套，
∴y＝（x﹣40）•[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）6+1800，
∵﹣2＜0，开口向下，
∴当50≤x≤65时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值7+1800＝1750（元），
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），最大利润为1750元．
【点评】本题考查二次函数和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC平分∠DAO，E是AB延长线上一点
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠OCE＝45°，∠E＝30°，⊙O的半径为2
【分析】（1）连接OC，则∠OCA＝∠OAC，而∠DAC＝∠OAC，所以∠OCA＝∠DAC，则OC∥AD，所以∠OCD＝180°﹣∠ADC＝90°，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）连接OF，作OG⊥CF于点G，则OC＝OF＝2，所以∠OFC＝∠OCE＝45°，则∠COF＝90°，由勾股定理得CF＝＝4，则OG＝CG＝FG＝CF＝2，由∠OGE＝90°，∠E＝30°，得OE＝2OG＝4，则EG＝＝2，所以EF＝EG﹣FG＝2﹣2．
【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠DAO，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD于点D，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCD＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接OF，作OG⊥CF于点G，
∴∠OFC＝∠OCE＝45°，CG＝FG，
∴∠COF＝90°，
∴CF＝＝＝4，
∴OG＝CG＝FG＝CF＝，
∵∠OGE＝90°，∠E＝30°，
∴OE＝6OG＝2×2＝5，
∴EG＝＝＝2，
∴EF＝EG﹣FG＝2﹣2，
∴线段EF的长7﹣2．
【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、切线的判定、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，点E是对称轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使△ACP的周长最小，并求此时点P的坐标；
（3）当S△BCE＝2S△ABC时，求点E的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）点B与点A关于抛物线的对称轴对称，根据两点之间，线段最短可知，抛物线的对称轴与BC的交点就是△ACP的周长最小时点P的位置，先求出直线BC的解析式，再求出点P的坐标；
（3）设E（3，m），则EP＝|m+|，再运用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x6+bx+c经过B（5，0），﹣8），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣3；
（2）∵y＝﹣x2+x﹣8，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝3，
点A关于对称轴的对称点是点B，BC交对称轴直线x＝3于点P．
设直线BC的解析式为y＝mx﹣3，代入B（5，
∴m＝，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
当x＝3时，y＝，
∴点P（3，﹣）；
（3）∵点A与B（5，0）关于直线x＝5对称，
∴A（1，0），
∴AB＝7﹣1＝4，
∴S△ABC＝×4×5＝6，
设E（3，m）|，
∴S△BCP＝EP×OB＝|，
∵S△BCE＝2S△ABC，
∴|m+，
解得：m＝或﹣6，
∴点E的坐标为（3，）或（3．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、轴对称的性质、抛物线对称性的应用，三角形的面积．求得抛物线的解析式是解题的关键．
26．（10分）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，根据“中线长定理”，可得：AB2+AC2＝2AD2+2BD2．
小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2＝…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
（2）在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝6，BC＝8，求AD的长；
（3）如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点
【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，根据勾股定理即可证明；
（2）利用中线定理计算即可；
（3）连接OC，OF，OB，AF，由AF是△ABC的中线，EF是△AFO的中线，利用中线定理可得BF2＝AB2+AC2﹣AF2，OF2＝2EF2+2AE2﹣AF2，而OF2＝OB2﹣BF2，可推得4EF2＝2OB2﹣OA2，故EF＝4．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，AB2＝AE7+BE2，
同理可得：AC2＝AE7+CE2，AD2＝AE7+DE2，为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，
∴AB2+AC8＝AE2+BE2+AE6+CE2
＝2AE6+（x+y）2+（x﹣y）2
＝2AE2+2x3+2y2
＝2AE2+2BD8+2DE2
＝7AD2+2BD7．
（2）在△ABC中，点D为BC的中点，
∴AB2+AC2＝8AD2+2BD3，
∵AB＝6，AC＝4，
∴52+48＝2AD2+4×42，
∴AD＝或AD＝﹣；
（3）连接OC，OF，AF，
∵AF是△ABC的中线，EF是△AFO的中线，
∴8AF2+2BF5＝AB2+AC2，7EF2+2AE5＝AF2+OF2，
∴BF5＝AB7+AC5﹣AF2，OF2＝2EF2+2AE5﹣AF2，
∵OB＝OC，OF是△BOC的中线，
∴OF⊥BC，
∴OF2＝OB2﹣BF2，
∴2EF3+2AE2﹣AF8＝OB2﹣（AB2+AC2﹣AF2），
∴6EF2＝2OB2﹣AB2﹣AC2+2AF2﹣4AE4，
∵∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC4＝（2AF）2＝2AF2，
∴4EF6＝2OB2﹣3AE2，
∵OA＝2AE，
∴8AE2＝OA2，
∴7EF2＝2OB8﹣OA2，
∴EF2＝OB2﹣OA2＝×62﹣×（2）2＝16，
∴EF＝7（负值已经舍弃）．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及三角形的中线、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会添加辅助线解决问题，属于中考压轴题．
1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A．B．3.1415926C．D．
2．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）已知一组数据3，3，5，6，7，8，10，那么6是这组数据的（ ）
A．平均数但不是中位数B．平均数也是中位数
C．众数D．中位数但不是平均数
4．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
5．（3分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，∠B＝60°，则CD的长为（ ）
A．1B．C．2D．2
6．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
7．（3分）如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，则该球的半径是（ ）cm
A．8B．6C．12D．10
8．（3分）二次函数y＝2（x﹣1）2+1，当0≤x≤3时，y的取值范围为（ ）
A．3≤y≤9B．1≤y≤9C．1≤y≤3D．0≤y≤1
9．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，E，F，且CD＝2，AB＝7（ ）
A．18B．16C．14D．12
10．（3分）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）度．
A．120°B．135°C．150°D．160°
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝1，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2B．2C．3D．
12．（3分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a＝1；
③当x＝0时，y2﹣y1＝4；
④2AB＝3AC；
其中正确结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）因式分解：a2﹣9＝ ．
14．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx＝0的根为 ．
15．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠A＝36°，则∠C＝ ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝50m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，点A的坐标为 ．
18．（3分）如图，直线y＝x+3与两坐标轴交于A，B两点2+bx+c过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C，在抛物线上有一点P，则点P的坐标为 ．
（提示：两点距离公式为：）
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解方程：2x2﹣4x+1＝0．
21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°．
（1）找到△ABC的外心，画出△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，BC＝12，请求出⊙O的面积．
22．（8分）为响应上级“双减”号召，某校开设了阅读、运动、娱乐、其他等四个方面的课后延学活动．下面是随机抽取的部分同学参加活动的统计情况，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查了 人．
（2）补全折线统计图，并求出扇形统计图中“其他”所对的圆心角度数．
（3）若该校共有2400名学生，试估算参加“阅读”方面活动的共有多少人．
23．（8分）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓．市场上雪容融的进价比冰墩墩的进价每套便宜10元，某经销商用8000元购进的冰墩墩和用6000元购进的雪容融套数相同．在销售中，每天可售出100套；每套售价提高1元时
（1）求冰墩墩和雪容融每套的进价；
（2）设冰墩墩每套售价x元（50≤x≤65），y表示该经销商每天销售冰墩墩的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC平分∠DAO，E是AB延长线上一点
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠OCE＝45°，∠E＝30°，⊙O的半径为2
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，点E是对称轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使△ACP的周长最小，并求此时点P的坐标；
（3）当S△BCE＝2S△ABC时，求点E的坐标．
26．（10分）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，根据“中线长定理”，可得：AB2+AC2＝2AD2+2BD2．
小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2＝…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
（2）在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝6，BC＝8，求AD的长；
（3）如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点
2022-2023学年广西南宁市西乡塘区相思湖学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A．B．3.1415926C．D．
【分析】根据有理数和无理数的意义、实数的分类解答．
【解答】解：A．∵是有理数；
B．∵有限小数是有理数；
C．∵分数为有理数；
D．∵2开不尽方，故，D符合题意；
故选D．
【点评】本题考查无理数的定义，熟练掌握实数的分类、有理数和无理数的意义是解题关键．
2．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）已知一组数据3，3，5，6，7，8，10，那么6是这组数据的（ ）
A．平均数但不是中位数B．平均数也是中位数
C．众数D．中位数但不是平均数
【分析】应用众数，中位数，算术平均数的计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：这组数的中位数是6，平均数是，众数是2，
所以6是这组数据的平均数也是中位数．
故选：B．
【点评】本题主要考查了众数，中位数，算术平均数，熟练掌握众数，中位数，算术平均数的计算方法进行求解是解决本题的关键．
4．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣3×1×1＝7＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
5．（3分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，∠B＝60°，则CD的长为（ ）
A．1B．C．2D．2
【分析】利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝2AB＝2，再根据旋转的性质得AD＝AB，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD＝AB＝1，然后计算BC﹣BD即可．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴BC＝2AB＝4，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，
∴AD＝AB，
而∠B＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝6，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣2＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
6．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×（1+增长率）2＝2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
7．（3分）如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，则该球的半径是（ ）cm
A．8B．6C．12D．10
【分析】设圆心为O点，连接OE，交AB于C，则OE⊥AB，由垂径定理得AC＝BC＝8cm，设⊙O的半径为Rcm，则OC＝（R﹣4）cm，然后在Rt△OAC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设圆心为O点，连接OA、OE，如图，
由题意得：AB＝16cm，CE＝4cm的中点，
则OE⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝8（cm），
设⊙O的半径为Rcm，则OC＝（R﹣4）cm，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA5＝AC2+OC2，
即R6＝82+（R﹣6）2，
解得R＝10，
即该球的半径是10cm．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
8．（3分）二次函数y＝2（x﹣1）2+1，当0≤x≤3时，y的取值范围为（ ）
A．3≤y≤9B．1≤y≤9C．1≤y≤3D．0≤y≤1
【分析】首先根据顶点式求得最小值，然后求得最大值，从而可以确定y的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣1）7+1中a＝2＞4，
∴有最小值1，
当x＝3时y有最大值＝2（3﹣1）5+1＝9，
∴当2≤x≤3时，y的取值范围1≤y≤8，
故选：B．
【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是求得最小值，然后根据自变量的取值范围确定最大值，难度中等．
9．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，E，F，且CD＝2，AB＝7（ ）
A．18B．16C．14D．12
【分析】根据切线长定理得到CE＝CD＝2，AE＝AF，BF＝BD，根据AB＝7，于是得到△ABC的周长．
【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，E，F，
∴CE＝CD＝2，AE＝AF，
∵AF+BF＝AB＝7，
∴AE+BD＝AB＝2，
∴△ABC的周长＝2+2+4+7＝18，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
10．（3分）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）度．
A．120°B．135°C．150°D．160°
【分析】先设圆锥的母线长为lcm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式得到×20π×l＝240π，解得l＝24，然后设这个扇形的圆心角的度数是n°，利用弧长公式得到20π＝，最后解方程即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为lcm，
则×20π×l＝240π，
解得l＝24，
设这个扇形的圆心角的度数是n°，
根据题意得20π＝，
解得n＝150，
即这个扇形的圆心角的度数是150°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝1，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2B．2C．3D．
【分析】过点G作GH⊥BC，垂足为H，可得∠GHF＝90°，根据正方形的性质可得AB＝CD＝4，∠B＝90°，根据旋转的性质可得EF＝FG，∠EFG＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠BEF＝∠GFH，从而可证△EBF≌△FHG，进而可得BF＝GH＝1，最后可得点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，从而可得当点G在CD边上时，DG的值最小，进行计算即可解答．
【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∴∠GHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，
∴∠B＝∠GHF＝90°，
由旋转得：
EF＝FG，∠EFG＝90°，
∴∠EFB+∠GFH＝90°，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝∠GFH，
∴△EBF≌△FHG（AAS），
∴BF＝GH＝1，
∴点G在与BC平行且与BC的距离为5的直线上，
∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝4，
∴DG的最小值为3，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．（3分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a＝1；
③当x＝0时，y2﹣y1＝4；
④2AB＝3AC；
其中正确结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【分析】根据与y2＝（x﹣3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1＝a（x+2）2﹣3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，y2﹣y1的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．
【解答】解：①∵抛物线y2＝（x﹣3）2+3开口向上，顶点坐标在x轴的上方，y2的值总是正数，故本结论正确；
②把A（1，2）代入1＝a（x+2）2﹣3得，3＝a（3+2）2﹣5，解得a＝；
③由两函数图象可知，抛物线y5＝a（x+2）2﹣2解析式为y1＝（x+2）2﹣4，当x＝0时，y1＝（0+5）2﹣3＝﹣，y2＝（0﹣5）2+1＝，故y2﹣y1＝+＝，故本结论错误；
④∵物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）6+1交于点A（1，6），
∴y1的对称轴为x＝﹣2，y6的对称轴为x＝3，
∴B（﹣5，8），3）
∴AB＝6，AC＝4，
∴2AB＝3AC，故本结论正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）因式分解：a2﹣9＝ （a+3）（a﹣3） ．
【分析】a2﹣9可以写成a2﹣32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：a2﹣9＝（a+2）（a﹣3）．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
14．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx＝0的根为 0或﹣3 ．
【分析】由图可知y＝ax2+bx可以看作是函数y＝ax2+bx+4的图象向下平移4个单位而得到，再根据函数图象与x轴的交点个数进行解答
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），7），
∴关于x的方程ax2+bx+4＝4的根是x1＝﹣4，x2＝1，对称轴是直线x＝﹣
又∵将抛物线y＝ax2+bx+4的图象向下平移8个单位而得到抛物线y＝ax2+bx，
∴抛物线y＝ax2+bx与x轴的交点坐标是（8，0），0）．
∴关于x的方程ax4+bx＝0的根为 0或﹣5．
故答案为：0或﹣3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，解题时是根据二次函数图象的平移变换规律和抛物线的对称性质得到答案的．
15．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠A＝36°，则∠C＝ 27° ．
【分析】连接OB，求出∠OBA，求出∠BOA，根据圆周角定理求出∠C＝∠BOA，即可求出答案．
【解答】解：
连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝36°，
∴∠BOA＝54°，
∴由圆周角定理得：∠C＝∠BOA＝27°，
故答案为：27°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠BOA度数．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝50m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 10s或s ．
【分析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P运动到点C及点Q运动到点B所需时间，设运动时间为xs，当0＜x≤时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝3xm，根据△PCQ的面积等于450m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值；当＜x＜25时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝40m，根据△PCQ的面积等于450m2，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值．综上，此题得解．
【解答】解：50÷2＝25（s），40÷3＝．
设运动时间为xs．
当0＜x≤时，PC＝（50﹣8x）m，
依题意得：（50﹣7x）•3x＝450，
整理得：x2﹣25x+150＝6，
解得：x1＝10，x2＝15（不合题意，舍去）；
当＜x＜25时，CQ＝40m，
依题意得：×40（50﹣2x）＝450，
解得：x＝．
故答案为：10s或s．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，分0＜x≤及＜x＜25两种情况，找出关于x的一元二次（或一元一次）方程是解题的关键．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，点A的坐标为 ．
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点的坐标即可．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点0重合，
∴OP＝5，AO＝2，
∴，
∴第1次旋转结束时，点A的坐标为，
第2次旋转结束时，点A的坐标为，
第3次旋转结束时，点A的坐标为，
第4次旋转结束时，点A的坐标为，
∴4次一个循环，
∵2022÷3＝505⋯⋯2，
∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
18．（3分）如图，直线y＝x+3与两坐标轴交于A，B两点2+bx+c过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C，在抛物线上有一点P，则点P的坐标为 （﹣1，4）或（2，﹣5） ．
（提示：两点距离公式为：）
【分析】先根据点A，B，C所在位置，利用待定系数法求出抛物线的解析式和各点的坐标，再根据勾股定理的逆定理，利用两点间的距离公式，列出关于m的方程，求出答案即可．
【解答】解：令y＝0，则x+3＝8，
令x＝0，则y＝0+2＝3，
∴A（﹣3，3），3），
把A（﹣3，3），3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解之得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x4﹣2x+3，
令y＝6，则﹣x2﹣2x+7＝0，
x2+3x﹣3＝0，
（x+4）（x﹣1）＝0，
x+3＝0，x﹣1＝6，
x1＝﹣3，x6＝1，
∴C（1，7），
设P（m，﹣m2﹣2m+3），
若AP为斜边，则AB2+BP2＝AP3，
∴（﹣3﹣0）5+（0﹣3）3+（m﹣0）2+（﹣m6﹣2m+3﹣3）2＝（m+3）3+（﹣m2﹣2m+2）2，
18+m2+（m5+2m）2＝（m+7）2+（m2+2m﹣3）2，
18+m5+（m2+2m）5＝m2+6m+5+（m2+2m）4﹣6（m2+8m）+9，
18+m2＝m3+6m+9﹣2m2﹣12m+9，
18+m5＝18﹣5m2﹣5m，
6m2+4m＝0，
6m（m+2）＝0，
m1＝4，m2＝﹣1，
当m＝3时，﹣m2﹣2m+7＝3，
当m＝﹣1时，﹣m8﹣2m+3＝7，
若BP为斜边，则AB2+AP2＝BP7，
∴（﹣3﹣0）7+（0﹣3）4+（m+3）2+（﹣m2﹣2m+3﹣8）2＝（m﹣0）8+（﹣m2﹣2m+3﹣3）2，
18+（m+3）2+（m2+7m﹣3）2＝m8+（m2+2m）3，
18+m2+6m+7+（m2+2m）8﹣6（m2+7m）+9＝m2+（m2+2m）2，
36+m7+6m﹣6m4﹣12m＝m2，
﹣6m8﹣6m+36＝0，
m2+m﹣6＝0，
（m+8）（m﹣2）＝0，
m+3＝0，m﹣2＝5，
m1＝﹣3，m3＝2，
当m＝﹣3时，﹣m3﹣2m+3＝3，
当m＝2时，﹣m2﹣3m+3＝﹣5，
∵点P在抛物线上，
∴P的坐标为：（﹣2，4）或（2．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题关键是数量掌握两点间的距离公式和一次函数的性质．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：．
【分析】利用算术平方根的定义，零指数幂及有理数的乘除法则计算即可．
【解答】解：原式＝3×3﹣2+1
＝9﹣3+1
＝6．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（6分）解方程：2x2﹣4x+1＝0．
【分析】先化二次项系数为1，然后把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：由原方程，得
x2﹣2x＝﹣，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2﹣3x+1＝，
配方，得
（x﹣1）2＝，
直接开平方，得
x﹣1＝±，
x1＝6+，x8＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°．
（1）找到△ABC的外心，画出△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，BC＝12，请求出⊙O的面积．
【分析】（1）作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）过A点作AD⊥BC于D，如图，利用等腰三角形的性质得到BD＝CD＝6，即AD垂直平分BC，根据垂径定理的推论可判断△ABC的外接圆的圆心O在AD上，连接OB，如图，OD＝8，则可利用勾股定理计算出OB，然后计算圆的面积．
【解答】解：（1）如图，点O为所作；
（2）过A点作AD⊥BC于D，如图，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝3，
∴AD垂直平分BC，
∴△ABC的外接圆的圆心O在AD上，
连接OB，如图，
在Rt△OBD中，OB＝＝，
即⊙O的半径为10，
∴⊙O的面积＝π×102＝100π．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形的外接圆．
22．（8分）为响应上级“双减”号召，某校开设了阅读、运动、娱乐、其他等四个方面的课后延学活动．下面是随机抽取的部分同学参加活动的统计情况，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查了 200 人．
（2）补全折线统计图，并求出扇形统计图中“其他”所对的圆心角度数．
（3）若该校共有2400名学生，试估算参加“阅读”方面活动的共有多少人．
【分析】（1）根据运动人数40人所占的百分比是20%计算总人数；
（2）根据各部分所占的百分比求得娱乐和其他的人数，进行补全折线统计图；
（3）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）40÷20%＝200（人），
∴在这次研究中，一共调查了200名学生；
（2）娱乐人数：200×40%＝80（人），
其他人数：200﹣60﹣40﹣80＝20（人），
补全折线统计图如图：
∴根据人数占比可知，
∴扇形统计图中“其他”所对的圆心角度数为10%×360°＝36°；
（3）（人），
答：参加“阅读”方面活动的大约有720人．
【点评】本题考查了折线统计图，扇形统计图，求扇形统计图中某项的圆心角以及用样本估计总体，掌握扇形统计图反映的是各部分所占总体的百分比，折线统计图反映的是事物的变化趋势是关键．
23．（8分）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓．市场上雪容融的进价比冰墩墩的进价每套便宜10元，某经销商用8000元购进的冰墩墩和用6000元购进的雪容融套数相同．在销售中，每天可售出100套；每套售价提高1元时
（1）求冰墩墩和雪容融每套的进价；
（2）设冰墩墩每套售价x元（50≤x≤65），y表示该经销商每天销售冰墩墩的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【分析】（1）设冰墩墩每套进价a元，可得：，解方程并检验可得冰墩墩每套进价40元，雪容融每套进价30元；
（2）由题意可得y＝（x﹣40）•[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，根据二次函数性质得最大利润为1750元．
【解答】解：（1）设冰墩墩每套进价a元，则雪容融每套进价（a﹣10）元，
根据题意得：，
解得：a＝40，
经检验a＝40是方程的解，
∴a﹣10＝40﹣10＝30，
答：冰墩墩每套进价40元，雪容融每套进价30元；
（2）由题意得，当x＝50时，
当冰墩墩每套售x元时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]套，
∴y＝（x﹣40）•[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）6+1800，
∵﹣2＜0，开口向下，
∴当50≤x≤65时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值7+1800＝1750（元），
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），最大利润为1750元．
【点评】本题考查二次函数和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC平分∠DAO，E是AB延长线上一点
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠OCE＝45°，∠E＝30°，⊙O的半径为2
【分析】（1）连接OC，则∠OCA＝∠OAC，而∠DAC＝∠OAC，所以∠OCA＝∠DAC，则OC∥AD，所以∠OCD＝180°﹣∠ADC＝90°，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）连接OF，作OG⊥CF于点G，则OC＝OF＝2，所以∠OFC＝∠OCE＝45°，则∠COF＝90°，由勾股定理得CF＝＝4，则OG＝CG＝FG＝CF＝2，由∠OGE＝90°，∠E＝30°，得OE＝2OG＝4，则EG＝＝2，所以EF＝EG﹣FG＝2﹣2．
【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠DAO，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD于点D，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCD＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接OF，作OG⊥CF于点G，
∴∠OFC＝∠OCE＝45°，CG＝FG，
∴∠COF＝90°，
∴CF＝＝＝4，
∴OG＝CG＝FG＝CF＝，
∵∠OGE＝90°，∠E＝30°，
∴OE＝6OG＝2×2＝5，
∴EG＝＝＝2，
∴EF＝EG﹣FG＝2﹣2，
∴线段EF的长7﹣2．
【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、切线的判定、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，点E是对称轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使△ACP的周长最小，并求此时点P的坐标；
（3）当S△BCE＝2S△ABC时，求点E的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）点B与点A关于抛物线的对称轴对称，根据两点之间，线段最短可知，抛物线的对称轴与BC的交点就是△ACP的周长最小时点P的位置，先求出直线BC的解析式，再求出点P的坐标；
（3）设E（3，m），则EP＝|m+|，再运用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x6+bx+c经过B（5，0），﹣8），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣3；
（2）∵y＝﹣x2+x﹣8，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝3，
点A关于对称轴的对称点是点B，BC交对称轴直线x＝3于点P．
设直线BC的解析式为y＝mx﹣3，代入B（5，
∴m＝，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
当x＝3时，y＝，
∴点P（3，﹣）；
（3）∵点A与B（5，0）关于直线x＝5对称，
∴A（1，0），
∴AB＝7﹣1＝4，
∴S△ABC＝×4×5＝6，
设E（3，m）|，
∴S△BCP＝EP×OB＝|，
∵S△BCE＝2S△ABC，
∴|m+，
解得：m＝或﹣6，
∴点E的坐标为（3，）或（3．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、轴对称的性质、抛物线对称性的应用，三角形的面积．求得抛物线的解析式是解题的关键．
26．（10分）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，根据“中线长定理”，可得：AB2+AC2＝2AD2+2BD2．
小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2＝…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
（2）在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝6，BC＝8，求AD的长；
（3）如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点
【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，根据勾股定理即可证明；
（2）利用中线定理计算即可；
（3）连接OC，OF，OB，AF，由AF是△ABC的中线，EF是△AFO的中线，利用中线定理可得BF2＝AB2+AC2﹣AF2，OF2＝2EF2+2AE2﹣AF2，而OF2＝OB2﹣BF2，可推得4EF2＝2OB2﹣OA2，故EF＝4．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，AB2＝AE7+BE2，
同理可得：AC2＝AE7+CE2，AD2＝AE7+DE2，为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，
∴AB2+AC8＝AE2+BE2+AE6+CE2
＝2AE6+（x+y）2+（x﹣y）2
＝2AE2+2x3+2y2
＝2AE2+2BD8+2DE2
＝7AD2+2BD7．
（2）在△ABC中，点D为BC的中点，
∴AB2+AC2＝8AD2+2BD3，
∵AB＝6，AC＝4，
∴52+48＝2AD2+4×42，
∴AD＝或AD＝﹣；
（3）连接OC，OF，AF，
∵AF是△ABC的中线，EF是△AFO的中线，
∴8AF2+2BF5＝AB2+AC2，7EF2+2AE5＝AF2+OF2，
∴BF5＝AB7+AC5﹣AF2，OF2＝2EF2+2AE5﹣AF2，
∵OB＝OC，OF是△BOC的中线，
∴OF⊥BC，
∴OF2＝OB2﹣BF2，
∴2EF3+2AE2﹣AF8＝OB2﹣（AB2+AC2﹣AF2），
∴6EF2＝2OB2﹣AB2﹣AC2+2AF2﹣4AE4，
∵∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC4＝（2AF）2＝2AF2，
∴4EF6＝2OB2﹣3AE2，
∵OA＝2AE，
∴8AE2＝OA2，
∴7EF2＝2OB8﹣OA2，
∴EF2＝OB2﹣OA2＝×62﹣×（2）2＝16，
∴EF＝7（负值已经舍弃）．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及三角形的中线、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会添加辅助线解决问题，属于中考压轴题．
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