湖南省长沙市长郡双语实验中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题（原卷及解析版）

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一、单选题（每题3分，共30分）
1.下列四个数中，最大的一个数是（ ）
A.B.2C.D.
2.下列运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
3.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A.∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADCB.AB＝CD，AD＝AC
C.AD∥BC，AB＝CDD.OA＝CD，OB＝OD
4.函数中自变量x的取值范围是（ ）
A B.且C.x＜2且D.
5.一家鞋店在一段时间内销售了某款运动鞋30双，该款的各种尺码鞋销售量如图所示．鞋店决定在下一次进货时增加一些尺码为的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是（ ）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差
6.对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（ ）
A.开口向下B.对称轴是直线x＝﹣2
C.顶点坐标是（2，1）D.与x轴有两个交点
7.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A.560（1＋x）2＝315B.560（1－x）2＝315
C.560（1－2x）2＝315D.560（1－x2）＝315
8.如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：
①关于的方程的解为；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是( )

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
9.如图，在中，，为中线，延长至点，使，连接，为的中点，连接，若，则的长为（ ）

A.2B.C.3D.4
10.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（每题3分，共18分）
11.因式分解： ________．
12.计算：________．
13.如果将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是_________．
14.“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首《苔》．若苔花的花粉直径约为0.0000084m，则数据0.0000084用科学记数法表示为_______．
15.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，交DC于E，AD＝5，AB＝8，则EC的长为_____．
16.如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别为BC、CD上的两点BE=CF，AE、BF分别交BD、AC于M、N两点，连OE、OF，下列结论：①AE＝BF．②AE⊥BF;③CE+CF= BD：④S四边形OECF＝S正方形ABCD，中正确的是 _____．
三、解答题（17-19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分）
17.已知二次函数的图象经过点、和．求此二次函数的解析式，并直接写出它的顶点坐标；
18.已知：如图， 、 是平行四边形 对角线 上两点，．求证：．

19.某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如条形图所示．

下面是根据5名选手的决赛成绩的条形图绘制的关于平均数、中位数、众数方差的统计表．
（1）根据条形图计算出a，b，c的值： _________， _________， _________．
（2）计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手的成绩较为稳定．
20.如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．

（1）求值；
（2）求的面积；
21.已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为α，β，，求m的值．
22.如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
23.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系．
（1）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（2）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
24.在平面直角坐标系中，我们将形如，这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
（1）直线上的“互补点”的坐标为_________；
（2）直线上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，m的最小值为k，求k的值．
25.在平面直角坐标系中，矩形的坐标分别为点，点，点，点，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称图形，设点的运动时间为．

（1）如图①，若，求的长；
（2）如图②，若点恰好落在上时，求点的坐标；
（3）是否存在异于图②时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的值？若不存在，请说明理由．
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差/分2
初中代表队
a
85
b
高中代表队
85
c
100
160