数学1.2 怎样判定三角形全等精品巩固练习

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题型一 ASA或AAS的直接运用
1．（2024·甘肃武威·三模）如图，在中，点D是的中点，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定方法．掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
利用全等三角形的判定方法即可证明．
【详解】，
，，
点D是的中点，
，
在与中，
，
．
2．（2024·云南昭通·一模）如图，，求证：．
【答案】详见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明．
【详解】证明：，
，即．
在和中，
，
∴．
3.（21-22七年级下·全国·单元测试）如图，，，点在边上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定即可判断．
【详解】证明：和相交于点，
．
在和中，
，
．
又，
，
．
在和中，
，
．
题型二 ASA或AAS与全等三角形的性质的综合运用
1.（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，平分，若的面积是9，则的面积是（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形的判定与性质，根据中线求三角形面积，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形．
延长交于点，通过证明，得到，根据三角形中线的性质，即可求解，
【详解】解：延长交于点，
平分，
，
又于点，
，
在和中，
，
，
，，
，
故选：D．
2.如图，AC//BD，连接AD，BC交于点O，若O为BC中点.
(1)求证：△AOC≌△DOB；
(2)连接AB，若AB=2，AC=5，AD的长是偶数，则AD长为 ______ .
【答案】见解析
【分析】
(1)根据平行线的性质可得∠C=∠DBO，∠CAO=∠D，根据AAS即可证明△AOC≌△DOB；
(2)根据全等三角形的性质可得BD=AC，根据三角形的三边关系可得AD的取值范围，进一步即可求出AD的长．
【详解】
(1)证明：∵AC//BD，
∴∠C=∠DBO，∠CAO=∠D，
∵O为BC中点，
∴BO=CO，
在△AOC和△DOB中，
{∠CAO=∠D∠C=∠DBOOC=OB，
∴△AOC≌△DOB(AAS)；
(2)解：∵△AOC≌△DOB，
∴BD=AC，
∵AC=5，
∴BD=5，
∵AB=2，
∴3∵AD的长为偶数，
∴AD=4或6.
故答案为：4或6.
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的三边关系等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答该题的关键．
3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，求的长．
【答案】5
【分析】先根据证明，则可得，即可求出的长．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵、是 的高，
，
，，
，
在和中
，
，
，，
，
，
又，
，
．
故答案为：5.
题型三 ASA或AAS的实际应用
1.小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面MN垂直，OA延长线交MN于点F.她两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.已知点B距地面的高度BM=DF=1m，点B，C到OA的水平距离BD，CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC=90°，点C距地面的高度CN=EF，此时CN等于 ______ m.
【答案】1.4;
【分析】证△COE≌△OBD(AAS)，得CE=OD=1.8m，OE=BD=1.4m，再求出DE=0.4m，然后求出CN的长即可．
【详解】解：由题意可知，∠CEO=∠ODB=90°，OB=OC，BD=1.4m，CE=1.8m，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°.
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，
{∠CEO=∠ODB∠COE=∠OBDOC=BO，
∴△COE≌△OBD(AAS)，
∴CE=OD=1.8m，OE=BD=1.4m，
∴DE=OD−OE=CE−BD=1.8−1.4=0.4(m)，
∴CN=EF=DE+DF=0.4+1=1.4(m)，
故答案为：1.4.
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等，证明△COE≌△OBD是解答该题的关键．
2.如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线MN上取A，B两点，再在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，过点D再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在一条直线上，若此时测得DE=16m，AM=0.5m，BN=1.5m，求池塘两岸M，N两点间的距离.
【答案】14;
【详解】解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠B=∠EDC=90°.
在△ABC和△EDC中，
{∠B=∠EDCBC=DC∠BCA=∠DCE，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=ED=16m，
∵AM=0.5m，BN=1.5m，
∴MN=16−0.5−1.5=14(m)，
故答案为：14.
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理ASA证出△ABC≌△EDC是解答该题的关键．
3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一．设两点分别为茗阳阁底座的两端（其中两点均在地面上）．因为两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，连接，测出的长即可．乙：如图2，先确定直线，过点B作，在点D处用测角仪确定，射线交直线于点C，最后测量的长即可得线段的长．
(1)请用所学知识论证甲、乙两种方案的合理性；
(2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
（1）甲方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；乙方案作出的也是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以也是可行的；
（2）选甲方案，使用工具操作容易；乙方案使用工具操作相对不容易，A，B间可视性未知．
【详解】（1）甲方案：
在与中，
，
∴，
∴，
乙方案
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）选甲种方案，理由：使用工具简单，只需要测量长度的刻度尺，容易操作；乙种方案使用工具需要测量长度的刻度尺和测量角度的测角仪，不容易操作，A，B间是否具备可视性．

如图，在△ABC中，AD为中线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F.在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G=∠BAD.
(1)若BE=2，则CF=______ ；
(2)S△BDES△AGC=______ .
【答案】2;12
【分析】(1)因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD，由BE⊥AD，CF⊥AD于点F，得∠E=∠CFD=90°，而∠BDE=∠CDF，即可根据“AAS”证明△BED≌△CFD，得BE=CF=2，于是得到问题的答案；
(2)由∠CFG=∠E，∠G=∠BAE，CF=BE，根据“AAS”证明△GCF≌△ABE，得GF=AE，推导出AG=FE，则DE=DF=12FE=12AG，所以S△BDE=12DE⋅BE=12×12AG⋅CF=12S△AGC，则S△BDES△AGC=12，于是得到问题的答案．
【详解】解：(1)∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴BE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AD于点F，
∵∠E=∠CFD=∠CFG=90°，
在△BED和△CFD中，
{∠E=∠CFD∠BDE=∠CDFBD=CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴BE=CF=2，
故答案为：2.
(2)在△GCF和△ABE中，
{∠CFG=∠E∠G=∠BAECF=BE，
∴△GCF≌△ABE(AAS)，
∴GF=AE，
∴GF−AF=AE−AF，
∴AG=FE，
∴DE=DF=12FE=12AG，
∴S△BDE=12DE⋅BE=12×12AG⋅CF=12S△AGC，
∴S△BDES△AGC=12，
故答案为：12.
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，证明△BED≌△CFD是解答该题的关键．
2.等腰直角△ABC在平面直角坐标系中如图所示，AC=BC，∠ACB=90°，A(3,0)，C(1,0)，则点B的坐标为 ______ .
【答案】见解析;
【分析】过B作BE⊥x轴于点E，证明△CAO≌△BCE(AAS)，由全等三角形的性质得出OA=CE=3，OC=EB=1，则可得出答案．
【解析】解：过B作BE⊥x轴于点E，

∵A(3,0)，C(1,0)，
∴OA=3，OC=1，
∵AO⊥OC，BE⊥x轴，
∴∠AOC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠BCE=90°，
又∵∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BCE，
∵AC=BC，
在△CAO和△BCE中，
{∠AOC=∠BEC∠OAC=∠BCEAC=BC，
∴△CAO≌△BCE(AAS)，
∴OA=CE=3，OC=EB=1，
∴OE=CO+CE=1+3=4，
∴点B的坐标为(4,1)，
故答案为：(4,1).
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解答该题的关键．
3．（14-15八年级上·四川自贡·期末）如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．

【答案】见解析
【分析】运用截长补短的方法，在上取点F，使，由角平分线定义得，，可证，得，结合平行线的性质可证，进一步证得，所以，得证结论．
【详解】在上取点F，使

∵，分别是，的平分线
∴，
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质；运用截长补短的方法构造全等三角形求证线段相等是解题的关键．

1.如图，点A，D，C，F在同一条直线上，∠A=∠EDF，AB=DE.有下列三个条件：①∠B=∠E，②BC=EF，③∠ACB=∠F.请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF.
(1)你选取的条件为 ______ (填写序号，只选一个条件)；
(2)根据你选取的条件给出证明.
【答案】见解析
【详解】(1)解：选取的条件为①或③，选②不能得△ABC≌△DEF，
故答案为：①或③；
(2)证明：选①，
在△ABC和△DEF中，
{∠A=∠EDFAB=DE∠B=E，
∴△ABC≌△DEF(ASA)；
证明：选③，
在△ABC和△DEF中，
{∠A=∠EDF∠ACB=FAB=DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
2．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，点D、E分别在、上，，、相交于点O，，求证：，小聪同学的证明过程如下：

任务：
(1)小聪同学的证明过程中依据①是______，依据②是_____；
(2)按小聪同学的思路将证明过程补充完整；
(3)图中共有______对全等三角形，它们是______．
【答案】(1)（语言表述正确也可）；全等三角形的对应边相等
(2)见解析
(3)4；和，和，和，和．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
（1）根据全等三角形的判定定理和性质补充即可；
（2）由小聪同学的证明过程得到，进而证明，即可得到结论；
（3）根据全等三角形的判定和性质分析即可．
【详解】（1）解：小聪同学的证明过程中依据①是，依据②是全等三角形的对应边相等，
故答案为：；全等三角形的对应边相等；
（2）证明：在和中，

，
，
,
在和中，
，
，
．
（3）解：由（1）和（2）可知，，，
，，，，
，，
，，
图中共有4对全等三角形，它们是和，和，和，和，
故答案为：4；和，和，和，和．
3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）利用三角形全等测距离．
【答案】任务一：见解析；任务二：设计方案；第一步：在平地上取一个可以到达的点；第二步：连接，并延长，使，，连接；证明见解析；
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，熟练的利用全等三角形的性质解决问题是关键；
任务一：根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可；
任务二：根据全等三角形的性质设计方案；第一步：在平地上取一个可以到达的点；
第二步：连接，并延长，使，，连接；再画图，最后证明即可；
【详解】任务一：
解：∵，，
∴，
又∵，，
∴（），
∴．
任务二：
方案：
第一步：在平地上取一个可以到达的点；
第二步：连接，并延长，使，，连接；
如图，则的长度即为的长度；

理由：∵，，，
∴，
∴．

1.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，BE//AC，DE交AB于点M.若点M是AB边的中点，AC=8，BC=6，则四边形BCDE的面积等于()
A. 12B. 14C. 24D. 48
【答案】C
【分析】由∠C=90°，AC=8，BC=6，求得S△ABC=12AC⋅BC=24，由BE//AC，得∠E=∠ADM，而∠BME=∠AMD，BM=AM，即可根据“AAS”证明△BME≌△AMD，则S△BME=S△AMD，即可推导出S四边形BCDE=S△ABC=24，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×8×6=24，
∵BE//AC，
∴∠E=∠ADM，
∵点M是AB边的中点，
∴BM=AM，
在△BME和△AMD中，
{∠E=∠ADM∠BME=∠AMDBM=AM，
∴△BME≌△AMD(AAS)，
∴S△BME=S△AMD，
S四边形BCDE=S四边形BCDM+S△BME=S四边形BCDM+S△AMD=S△ABC=24，
故选：C.
【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△BME≌△AMD是解答该题的关键．
2.如图AD=AE，增添一个条件不能使△ABE≌△ACD的条件是()
A. AB=ACB. BE=CDC. ∠C=∠BD. ∠ADC=∠AEB
【答案】B;
【详解】解：∵AD=AE，∠A=∠A，
添加AB=AC，根据SAS可证△ABE≌△ACD，
故A选项不符合题意；
添加BE=CD，不能判定△ABE≌△ACD，
故B选项符合题意；
添加∠C=∠B，根据AAS可证△ABE≌△ACD，
故C选项不符合题意；
添加∠ADC=∠AEB，根据ASA可证△ABE≌△ACD，
故D选项不符合题意，
故选：B.
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答该题的关键．
3.如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF.则下列结论：
①∠FAN=∠EAM；②△ACN≌△ABM；③EM=FN；④CD=DN；
⑤△MDC≌△NDB.其中正确的有 ______ .
(请把正确答案的序号填在横线上)
【答案】见解析;
【详解】
解：∵ {∠E=∠F=90°∠B=∠CAE=AF，
∴△AEB≌△AFC；(AAS)
∴∠FAM=∠EAN，
∴∠EAN−∠MAN=∠FAM−∠MAN，即∠EAM=∠FAN；(故①正确)
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，
∴△EAM≌△FAN；(ASA)
∴EM=FN；(故③正确)
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；(故②正确)
∵AC=AB，AM=AN，
∴CM=BN，
∵∠C=∠B，∠CDM=∠BDN，
∴△CDM≌△BDN，(故⑤正确)，
由于条件不足，无法证得④CD=DN；故正确的结论有①②③⑤；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，做题时要从最容易，最简单的开始，由易到难．
证明：在和中，
（依据①______）
（依据②______）
……
任务1
目测出操场上与你距离相等的两个点
方案
第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点；
第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点．
示意图

原理
∵，，∴______，
又∵，，∴（______），∴______．
任务2
测量输电线路长度
任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图．
方案
第一步：______；
第二步：______；
（可适当添加步骤）……
示意图（请按方案补充完整）