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    人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理优质导学案

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    这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理优质导学案,文件包含二项式定理-讲义教师版docx、二项式定理-讲义教师版pdf、二项式定理-讲义学生版docx、二项式定理-讲义学生版pdf等4份学案配套教学资源,其中学案共60页, 欢迎下载使用。

    二项式定理
    一、 课堂目标
    1.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式及其应用.
    2.掌握二项式系数的性质,并能够利用其性质对相关问题进行求解.
    3.掌握二项式定理的应用.
    二、 知识讲解
    1. 二项式定理
    知识精讲
    (1)二项式定理

    其中右边的多项式叫做的二项展开式,各项的系数叫做二项式系数.
    (2)二项展开式的特征
    ①二项展开式共有项;
    ②二项式系数依次为组合数:

    ③各项次数都等于二项式的幂指数,即为 ;
    ④字母 的指数由 开始按降幂排列到 ,字母 的指数由 开始按升幂排列到 .
    (3)二项式定理通常有如下变形
    ①;
    ②.
    注意:一个二项展开式的某一项二项式系数 与这一项的系数是两个不同的概念,二项式系数一定为正值,而项的系数可以是正值,也可以是负值,还可以是 .
    经典例题
    1. 用二项式定理展开:.
    2. 设,,则的值为(
    ).
    A.B.C.D.
    巩固练习
    3.,则 等于( ).
    A.B.
    C.D.
    2. 二项展开式的通项公式
    知识讲解
    展开式中的项叫做二项展开式的通项,通项是展开式的第项,记作 ,
    即:(,,).
    上面的这个公式叫做二项展开式的通项公式.注意:
    ①是第项,而不是第 项;
    ②字母 的指数和组合数的上标相同, 与 的指数之和为 ;③二项式系数与二项展开式的系数不一定相等,如:
    的二项展开式的第项为,相应的系数是,而二项式系数是 ;
    ④通项公式中含有五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.
    知识点睛
    求展开式中的指定项或其系数
    解决此类问题可以分成两步:
    第一步,根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数,求解时要注意二项式系数中
    和 的隐含条件( 为正整数, 为非负整数,);
    第二步,根据所求的指数,再求所求解的项或项的系数.
    经典例题
    4.的展开式中的常数项为( ).
    A.B.C.D.
    巩固练习
    5. 在的展开式中,常数项为.(用数字作答)
    经典例题
    6. 设常数
    .若
    的二项展开式中 项的系数为 ,则

    巩固练习
    7. 若展开式的常数项为 ,则 的值为( ).
    A.B.C.D.
    经典例题
    8.的展开式中, 的系数是.(用数字填写答案)
    巩固练习
    9. 在
    的二项展开式中, 的系数为

    经典例题
    10.的展开式中 的系数为( ).
    A.B.C.D.
    巩固练习
    11.的展开式中 的系数为( ).
    A.B.C.D.
    经典例题
    12.的展开式中常数项为.
    巩固练习
    13.的展开式中, 的系数是.(用数字填写答案)
    3. “杨辉三角”与二项式系数
    知识精讲
    杨辉三角
    因为,所以可以把对应的二形式系数看成是 .
    把对应的二形式系数逐个写出,并排成数表的形式.
    1
    上表称为“杨辉三角”.
    知识精讲
    二项式系数的性质
    (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即

    (2)增减性与最大值:①增减性:当
    时,二项式系数逐渐增大,由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间
    取得最大值;
    ②最大值:当 是偶数时,中间一项的二项式系数
    取得最大值;当 是奇数时,中间两项的二项式系
    数,相等,且同时取得最大值.
    (3)各二项式系数和:
    在二项展开式中各二项式系数之和为

    (4)奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等:

    经典例题
    14. 在二项式的展开式中,所有项的二项式系数之和是,含 项的系数是.
    巩固练习
    15. 若
    展开式中的所有二项式系数和为 ,则该展开式中的常数项为

    经典例题
    16.的展开式中,仅有第六项的二项式系数取得最大值,则展开式中 项的系数
    是.
    巩固练习
    17. 在
    的二项展开式中,仅有第 项的二项式系数最大,则在该二项展开式中含 项的系
    数为.
    经典例题
    18. 已知的展开式中第 项与第 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ).
    A.B.C.D.
    巩固练习
    19.展开式中所有奇数项系数之和为,则展开式中各项系数的最大值是( ).
    A.B.C.D.
    知识讲解
    求二项展开式系数和——赋值法
    (1)对形如
    的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,
    只需令即可;
    (2)对形如
    的式子求其展开式的各项系数之和,只需令
    即可.
    (3)一般地,若,则:
    ①展开式中各项系数之和为 ;
    ②奇数项系数之和为;
    ③偶数项系数之和为.
    经典例题
    20. 设,求值:
    ( 1 ) .
    ( 2 ).
    ( 3 ).
    巩固练习
    21. 已知,则,

    22. 在的展开式中,求:
    ( 1 )各项系数的和.
    ( 2 )奇数项系数与偶数项系数和.
    经典例题
    23. 已知
    ,求:

    巩固练习
    24. 已知

    ,则

    经典例题
    25. 若,则的值为( ).
    A.B.C.D.
    巩固练习
    26. 若
    ,则

    4. 二项式定理的应用
    知识精讲
    整除或取余问题
    利用二项式定理处理整除或求余问题,通常把被除数写成以除数为变量的一次函数形式,然后展开,这
    样,只需要考虑不含除数的个别项即可.
    建议:一次函数形式转化为除数倍数加减1的形式,否则需二次展开.
    经典例题
    27.除以 的余数是.
    巩固练习
    28. 求 除以 的余数.
    经典例题
    29.除以 的余数是.
    巩固练习
    30. 已知
    ,则 除以 所得的余数是

    经典例题
    31. 设,且,若能被 整除,则.
    巩固练习
    32. 若能被 整除,则 ( ).
    A.B.C.D.
    知识精讲
    用于近似计算
    当 的绝对值与1相比很小且n
    不太大时,常用近似公式
    .展开式中保留的
    项,以最后一项小数位满足要求标准.
    经典例题
    33. 求的近似值.
    ( 1 )精确到 .
    ( 2 )精确到.
    巩固练习
    34.的计算结果精确到 的近似值是( ).
    A.B.C.D.
    三、 思维导图
    你学会了吗?画出思维导图总结本课所学吧!
    四、 出门测
    35. 在的展开式中, 的系数为.
    36. 若的展开式的所有奇数项二项式系数之和为 ,则.
    37. 设,则等于( ).
    A.B.
    C.D.
    8

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